Широтно-импульсная модуляция. Часть 2: Как «продеть нитку в иголку» в контексте изменения энергии?

Мы продолжаем исследовать магию преобразования энергии с помощью широтно-импульсной модуляции. Почему магию? Теоретически в ШИМ-преобразователе процесс преобразования энергии происходит без потерь, разве это не волшебство? ШИМ-преобразователь, как портной с ножницами, разрезает «ткань энергии» на куски, а затем, как швейная машинка, сшивает части энергии в одно целое – величину постоянного тока.

Что же это за волшебный компонент и как его получить? Давайте проведём исследование!

Сигнал с широтно-импульсной модуляцией - это «кусочки энергии»

Как было сказано в предыдущей части, с помощью ключевых функций ШИМ энергию можно делить на порции в виде прямоугольных импульсов. У них будут новые свойства и характеристики, которые мы должны понимать, чтобы эффективно применять их. Цель – получить величину постоянного тока ШИМ-сигнала.

Рассмотрим несимметричный периодический прямоугольный сигнал относительно горизонтальной оси:

Где:

• Am – амплитуда импульса сигнала
• Т – период сигнала
• tw – длительность импульса. Когда вы меняете его, то есть ширину импульса без изменения T, сигнал модулируется – поэтому его называют широтно-импульсной модуляцией – ШИМ.

Отношение ширины импульса tw к его периоду T называется коэффициентом заполнения D, а противоположное значение – скважностью S:

D = 1/S = tw/T

На практике удобнее использовать коэффициент заполнения для сигнала той же частоты, который часто выражается в процентах путем умножения D на 100.

Поскольку сигнал прямоугольный и асимметричный, его величина постоянного тока напрямую зависит от D, и поэтому она находится в строгой линейной зависимости от D и амплитуды (Am):

Величина постоянного тока = Am * D

Это важное свойство используется на практике и позволяет использовать ключевой режим рабочего элемента при применении ШИМ для нашей основной цели: получения величины постоянного тока из прямоугольного сигнала.

Давайте изучим, как работает ШИМ. Для этого нарисуем схему ШИМ-генератора:

V1 – источник постоянного напряжения, который в данном случае устанавливает D в диапазоне от 0 до 1 В (0-100%). Мы устанавливаем его значение равным 250 мВ (т.е. 25%).

U1 – это программируемый генератор сигналов ШИМ (название библиотеки: PWM Generator) с выходным сигналом в виде прямоугольных импульсов с заданной частотой. Ширина импульса линейно зависит от входного напряжения V1 (цепь Vin), которое определяет значение D.

Настраиваемые параметры генератора ШИМ следующие:

• Входное (программируемое) напряжение Vin должно находиться в диапазоне от MODLOW (соответствует 0%) до MODHIGH (соответствует 100%).
• Частота выходных импульсов MODFREQ
• Амплитуда импульсов на выходе Vout. Минимальное значение: PWMLOW, максимальное значение: PWMHIGH.

Ширина импульсов tw автоматически рассчитывается внутри имитатора по формуле:

ШИРИНА = Vin / ((MODHIGH - MODLOW) * MODFREQ)

Настроим U1 для удобства:

Напряжение постоянного тока 0,25 В (D = 25%) подается на вход U1 от V1, из чего следует что, согласно формуле, длительность импульса должна составлять 25 мс.

Теперь посмотрим на результат. В этом случае нам нужно посмотреть на сигнал во временной области. В имитаторе мы можем сделать это с помощью типа анализа Transient (виртуальный осциллограф), который необходимо настроить. Сигнал Vout отображается во временном интервале от 0 до 200 мс с шагом 100 мкс.

Запустим расчет переходного процесса (Run), посмотрим на диаграмму и убедимся, что формула и модель схемы верны:

Когда мы смотрим на сигнал, мы видим величину постоянного тока, которую можно вычислить с помощью калькулятора, но в данном случае это не полная информация о сигнале. Поскольку сигнал состоит не только из одной величины постоянного тока, но и из ряда гармоник (количество гармоник одного сигнала является спектром сигнала).

Мы должны учитывать их при практическом применении и знать их точный состав. В имитаторе есть еще один отличный инструмент, позволяющий быстро показать спектр сигнала – анализ Фурье. Он находится внутри анализа переходных процессов и активируется установкой флажка в соответствующем поле анализа Фурье на вкладке переходных процессов:

Есть две настройки для анализа Фурье:

• Fundamental frequency (Основная частота) – этим параметром мы указываем периодичность сигнала, в нашем случае это 10 Гц;
• Number of Harmonics (Число гармоник) – сколько гармоник мы хотим видеть на графике спектра.

После настройки анализа Фурье снова запустим анализ Transient (переходный процесс), и рядом с окном переходного процесса появится окно анализа Фурье:

Посмотрите, на нулевой частоте вертикальная красная линия составляет 250 мВ, это постоянная составляющая, которую мы установили в начале, а справа находятся другие составляющие спектра. Давайте посмотрим на сигнал и его спектр в противоположном случае, когда D = 75% (V1 = 750 мВ), ширина импульса должна быть 75 мс, а постоянная составляющая должна быть 750 мВ:

Тщательно сравните спектр: постоянная составляющая изменилась с 250 мВ до 750 мВ, но другие спектральные составляющие не изменились вообще.

Таким образом, для решения проблемы преобразования энергии, как мы уже говорили, нас интересует только постоянная составляющая. Следовательно, необходимо отфильтровать его от ВСЕХ ненулевых спектральных составляющих, а это можно сделать только с помощью фильтра низких частот.

Фильтр низких частот – удивительная «швейная машинка»

Подобно игле в руках портного, фильтр в преобразователе вяжет нить из ткани энергии…

Фильтр низких частот можно реализовать двумя основными способами:

• с интегрирующей схемой RC – этот метод широко используется, когда вы хотите выбрать постоянную составляющую в качестве носителя информации, и не подходит для преобразования энергии, потому что энергия будет рассеиваться (т.е. просто теряться) в сопротивлении R в виде тепла, следовательно этот способ не подходит для решения поставленной задачи.
• с LC-цепью – в этой схеме нет тепловыделения и, следовательно, нет потерь, это схема, используемая для преобразования энергии, и сейчас мы ее рассмотрим.

Создайте в новом проекте следующую схему фильтра «Работа ФНЧ»:

Для наглядности и удобства дальнейшего анализа схема разделена пунктирными линиями на три части.

Назначение фильтра низких частот – уменьшить все ненулевые гармоники спектра (чередующиеся составляющие) сигнала при распределении величины постоянного тока для нагрузки. Если мы рассмотрим LC-контур отдельно от источника питания, то, учитывая, что внутреннее сопротивление идеального источника питания равно нулю, LC-контур будет параллельным колебательным контуром с резонансной частотой f0, равной:

Конечно, чтобы выделить постоянную составляющую, резонансная частота f0 этого контура должна быть ниже, чем частота первой гармоники (также известной как основная гармоника) сигнала ШИМ. При подключении источника питания LC станет L-образным фильтром низких частот с частотой среза его АЧХ, равной f0 эквивалентного колебательного контура.

Также необходимо учитывать не прямую характеристику, а добротность Q фильтра низких частот и нагрузки в целом, потому что при высоком добротности в нагрузке могут быть паразитные излучения на f0.

В нашем случае добротность (Q) рассчитывается по следующей формуле:

Q = R1 / (√L / C), где ρ = √L / C — характеристическое сопротивление контура, то есть: Q = R1 / ρ

Теория утверждает, что в зависимости от добротности контура Q различают четыре режима его работы: колебательный, квазиколебательный, критический и апериодический:

• Колебательные, квазиколебательные режимы наблюдаются при Q > 0,5, в этих режимах наблюдаются резонансные явления;
• Критический режим при Q = 0,5;
• Апериодический режим при Q <0,5.

Для корректного подавления гармоник ШИМ-сигнала фильтр низких частот должен работать в докритическом режиме, т.е. когда не возникают резонансные явления.

Давайте изучим это с помощью имитатора, но имитатор должен рассчитывать значения L и C самостоятельно, исходя из требований к сопротивлению нагрузки R1, частоты сигнала ШИМ f0 и общего коэффициента добротности Q.

После анализа и преобразований получаем следующее:

1. Частота среза ФНЧ ftr (предварительно) в 2 раза меньше f0: ftr = f0 / 2;
2. ρ = R1/Q, а поскольку резонансная частота контура или отсечки фильтра низких частот:

• Lf = XL/ (2* ПИ *ftr) = ρ/ (2* ПИ *ftr);
• Cf = 1/(XC * 2* ПИ *ftr) = 1/(ρ * 2* ПИ *ftr).

В нашей задаче появились новые переменные, которые не отображают эквивалентные значения компонентов на схеме, но напрямую (исходя из формул) влияют на них. В имитаторе есть отличный инструмент для их применения (новые переменные и формулы на их основе): Text Frame это текстовая область, в которой имитатор принимает информацию для дополнительного описания схемы и моделирования в виде глобальных параметров и зависимостей на их основе.

В нашем случае f0, Q, ftr, Ro, Lf, Cf и значение R1 — Rload являются глобальными параметрами, в то время как ftr, Ro, Lf и Cf также являются результатом расчета формул, которые включают глобальные параметры: f0, Q, Rload.

Чтобы указать глобальные переменные, необходимо добавить область текстового фрейма в любое удобное место схемы в главном меню Text Frame или щелкнув на значок в раскрывающемся списке на панели инструментов. Затем необходимо указать следующее:

(Примечание: * Знак «+» в SPICE является знаком продолжения предыдущей строки. Нельзя использовать какие-либо другие символы перед знаком «+», включая пробел.)

После создания и заполнения Text Frame присвоим значения глобальных параметров Lf, Cf L1, C1 согласно схеме, а в свойствах V1 присваиваем AC Magnitude значение, равное 1 (AC Magnitude – необходимый параметр для запуска расчета переменного тока):

Чтобы увидеть АЧХ низкочастотного фильтра на графике, нам необходимо настроить и применить следующий тип расчета (AC Sweep).

Зная, что f0 = 10 Гц, необходимо проверить АЧХ низкочастотного фильтра в точке Vload, по крайней мере, в 10-кратном масштабе от этой частоты в обоих направлениях, то есть от 1 Гц до 100 Гц, при вычислении 100 точек на декаду частоты. (т.е. диапазон изменения частоты в 10 раз):

Запустим расчет (Run) AC Sweep и проверим график:

Примечание. Частотная шкала графика показана в логарифмическом диапазоне. Выразим масштаб амплитуд также в логарифмическом диапазоне. Для этого выберите функцию Magnitude (dB) в окне Add Output Expression:

Обратите внимание, что в выходном выражении функция Vload была обновлена новой функцией dB (Vload), которая логарифмирует наш график. Снова нажмите (Run) AC Sweep и посмотрим на новый график:

График отражает асимптоту правой наклонной части графика. Но что на левой стороне? Нам тоже нужно там все видеть. Для этого мы просто немного изменим начальную частоту развертки переменного тока с 1 Гц на 0,01 Гц (т.е. 10 мГц):

Если нам известны исходные данные, мы можем проверить, верны ли данные полученные в ходе эксперимента. Для этого мысленно начертим на графике две пересекающиеся асимптоты (на рисунке ниже: две зеленые линии вдоль прямых участков графика). Точка пересечения будет на частоте 5 Гц, которая является частотой среза фильтра.

ftr = f0 / 2 = 10/2 = 5 Гц, что соответствует исходным данным, а значит, наши соображения и предварительные расчеты верны.

Глядя на этот график, мы можем сделать еще один интересный вывод/проверку. Любая схема с n реактивными компонентами (то есть схема n-го порядка) может дать максимальный (нерезонансный) наклон частотной характеристики: n*20 дБ/декаду. В нашем случае фильтр низких частот 2-го порядка, имеющий наклон правой части АЧХ по касательной к графику, равен: (-10 дБ (10 Гц) — (-50 дБ (100 Гц):(-10 дБ (при 10 Гц)-(-50 дБ (при 100 Гц))=40 дБ/декада, что хорошо коррелирует с предложенной формулой.

А что будет, если повысить добротность Q? Для этого достаточно отредактировать строку +Q = 0.5 в Text Frame, изменить Q в 10 раз: + Q = 5 и запустить расчет:

Сравним график с предыдущим:

Назначение фильтра низких частот – подавить все гармоники, начиная с основной (f = 10 Гц). При Q = 0,5 основная гармоника ослабилась примерно на 14 дБ, а при Q = 5 затухание уменьшилось до 10 дБ, т.е. характеристики фильтра низких частот ухудшились.

Когда частота среза была ftr = 5 Гц, появлялся крайне нежелательный сильный резонанс. Это может вызвать неожиданную обратную связь в схеме, которая может изменить режимы работы всей схемы.

Крутизна правой резонансной части АЧХ осталась прежней -40 дБ / декада.

Мы видели что влияние добротности на систему ФНЧ + Нагрузка, и колебательного режима на характеристики ФНЧ, является критичным. И мы можем сделать основной вывод о его применении в нашем случае. При разработке низкочастотного фильтра для выделения постоянной составляющей в ШИМ-сигнале необходимо, чтобы частота среза была ниже, чем основная гармоника Сигнала, а также должны быть исключены псевдоколебательные и колебательные режимы работы.