Formules de conception de circuits à filtre en pi et calculatrice

Je dirais que le type de circuit de filtrage le plus courant que je rencontre dans les conceptions de PCB et les schémas est le filtre en pi, plus précisément un filtre en pi Butterworth passif à double terminaison. Un circuit de filtre en pi composé d’éléments L et C peut facilement être mis à l’échelle vers un filtrage d’ordre supérieur. Ces circuits de filtrage sont également très faciles à simuler, et les résultats sont simples à interpréter. Qu’il s’agisse d’une simple solution EMI ou d’un filtre dans un circuit analogique, les filtres LC sont souvent le premier choix à envisager et à évaluer lors de la conception de circuits.

Dans cet article, je vais montrer comment concevoir, simuler et analyser un circuit de filtre en pi. Un calculateur est également inclus pour faire évoluer votre circuit de filtre en pi vers un filtrage d’ordre supérieur. La procédure d’analyse dans SPICE sera également présentée en termes de fonctions de transfert, bien que vous puissiez aussi utiliser les paramètres S.

Conception d’un circuit de filtre en pi LC

Les filtres en pi LC existent en deux variantes : filtres passe-haut ou passe-bas. À mon avis, le filtre en pi LC passe-bas est le type de filtre en pi le plus couramment utilisé. Les deux topologies de circuit pour les fonctions passe-haut et passe-bas sont illustrées dans l’image ci-dessous.

En tant que système entièrement passif, linéaire et invariant dans le temps (LTI), ces circuits prennent en charge les méthodes d’analyse par fonction de transfert, même lorsqu’ils sont étendus à un nombre infini d’éléments. Le plus souvent, vous utiliserez un circuit de filtre en pi LC à trois éléments, dans une configuration passe-haut ou passe-bas.

Une topologie alternative qui produit la même fréquence à -3 dB, la même impédance caractéristique et la même pente d’atténuation est le filtre en T, qui utilise lui aussi trois éléments. Il existe également des filtres actifs passe-bas ou passe-haut utilisant des amplificateurs opérationnels et pouvant réaliser un filtrage d’ordre supérieur sans ondulation dans la bande passante. Ces filtres seront abordés dans un prochain article.

Topologies de filtre en pi LC

Les filtres en pi LC peuvent être conçus selon deux configurations principales : les topologies Butterworth et Chebyshev. Les circuits de filtre en pi Butterworth sont très simples à concevoir et reposent sur deux formules de base pour déterminer les valeurs de L et C. Les filtres en pi Chebyshev nécessitent un paramètre supplémentaire appelé ondulation de bande passante, qui sera présenté ci-dessous.

Formules de conception d’un filtre en pi passif Butterworth

Tous les filtres en pi possèdent une valeur d’impédance caractéristique et une valeur de fréquence de coupure. Lorsque les éléments en dérivation sont égaux entre eux, les impédances d’entrée et de sortie du circuit correspondent à l’impédance sélectionnée (double terminaison). La valeur de fréquence est une fréquence de résonance, mais la présence d’une résonance à facteur Q élevé dans la fonction de transfert dépend de la valeur de la charge, comme nous le verrons plus loin.

La méthode de conception consiste à sélectionner une fréquence (f) et une valeur d’impédance (Z), puis à les utiliser pour déterminer les valeurs de L et C.

Pour un circuit de filtre en pi passe-bas, l’inductance et la capacité totale sont déterminées par :

Valeurs d’inductance et de capacité totale du filtre en pi passe-bas

Les valeurs individuelles de C1​ et C2 sont :

Valeurs de capacité du filtre en pi passe-bas

Pour un circuit de filtre passe-haut, on utilise des relations légèrement différentes pour l’inductance et la capacité :

Valeurs d’inductance totale et de capacité du filtre en pi passe-haut

L’inductance totale (L) est liée aux inductances individuelles comme suit :

Valeurs d’inductance du filtre en pi passe-haut

Cette procédure simple complète la conception. Pour vérifier le fonctionnement en termes de fonction de transfert, nous avons besoin d’une impédance de source et d’une impédance de charge, puis de simuler la fonction de transfert afin de déterminer la tension qui atteint la charge.

Simulation d’un filtre en pi LC Butterworth

Pour simuler un filtre en pi LC Butterworth, reportez-vous au schéma ci-dessous. Ce schéma comprend une source de tension simple connectée au circuit de filtre en pi ainsi qu’une charge de 50 ohms. En injectant les valeurs de L et C dans les équations ci-dessus, on constate que ce circuit de filtre LC passe-bas possède une impédance caractéristique de 50 ohms et vise une fréquence d’atténuation de 100 MHz.

L’amplitude de la fonction de transfert est calculée en divisant la tension aux bornes de la charge par la tension d’entrée au nœud de C1​. Notez que s’il existe une impédance de source, la tension d’entrée sera différente au nœud C1, car l’impédance de source forme un diviseur de tension avec le circuit chargé ; elle a donc été omise du schéma par souci de simplicité.

Pour observer l’impact de l’impédance de charge sur la fonction de transfert, la charge est modifiée selon cinq valeurs différentes. Les résultats montrent qu’une impédance de charge plus élevée entraîne une résonance à facteur Q plus élevé et un gain de tension plus important. Cela est évident sur la courbe à 1 kOhm.

On voit facilement que charger suffisamment le filtre en pi suffit à amortir la résonance LC observée. On pourra à juste titre noter que les parasites des composants affecteront également la résonance, mais c’est un exercice que nous laisserons aux lecteurs.

Calculateurs de filtre en pi Butterworth

Pour les filtres d’ordre supérieur, une procédure itérative peut être utilisée pour calculer les éléments L et C. Bien que le filtre en pi puisse théoriquement être étendu à n’importe quel nombre d’éléments, la plupart des conceptions pratiques s’arrêtent à cinq ou sept éléments. Même si les calculs manuels sont possibles, un calculateur de filtre en pi simplifie le processus.

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Le calculateur de filtre passe-haut fonctionne de manière similaire, en prenant l’impédance cible, la fréquence de coupure et le nombre de composants pour calculer les valeurs de L et C requises.

Filtres Butterworth vs Chebyshev

Les résultats de simulation montrent que le filtre en pi LC Butterworth présente une réponse plate dans la bande passante, maintenue même dans les conceptions d’ordre supérieur. Il s’agit d’un avantage majeur par rapport aux autres topologies de filtre, qu’elles soient actives ou passives.

Les filtres Chebyshev, en particulier pour le filtrage d’ordre supérieur, présentent une pente d’atténuation plus marquée au-delà de la fréquence de coupure, mais introduisent une ondulation dans la bande passante. La limite d’ondulation de la bande passante est spécifiée en décibels et constitue un paramètre de conception critique. Les configurations passe-bande pour les deux types de filtres seront également abordées dans un prochain article.

Comparaison des filtres en pi passe-bas Butterworth et Chebyshev. Source de l’image : The Open University.

Restez à l’écoute pour des discussions plus détaillées sur les conceptions de filtres Chebyshev dans les prochains articles.

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