Analyse des pôles et des zéros et analyse transitoire dans la conception de circuits

Dans le cadre de la conception de circuits, il est toujours conseillé d'effectuer une analyse de circuit dans le domaine fréquentiel, temporel ou de Laplace pour comprendre le comportement du circuit. Le domaine temporel et le domaine de Laplace sont liés dans un domaine : l'analyse transitoire, où nous examinons ce qui arrive à un circuit lorsqu'il subit des changements rapides dans son excitation. En regardant une fonction de transfert dans le domaine de Laplace ou fréquentiel, il peut ne pas être évident quel est le comportement transitoire.

L'analyse des pôles et des zéros implique la décomposition de la fonction de transfert pour un circuit linéaire invariant dans le temps afin de déterminer la vitesse à laquelle sa réponse transitoire décroît. Finalement, le circuit atteint un équilibre et présente son comportement en régime permanent. Bien que cela puisse être visualisé dans le domaine temporel avec une simulation transitoire, ces simulations peuvent prendre beaucoup de temps et doivent avoir le bon réglage de résolution temporelle pour obtenir des résultats précis. L'analyse des pôles et des zéros est une alternative rapide qui fonctionne dans le domaine de Laplace, et il est simple d'accéder à cela via le moteur de simulation SPICE dans Altium Designer.

Analyse des Pôles-Zéros dans l'Analyse Transitoire

L'analyse Pole-Zero permet de déterminer la stabilité d'un système linéaire à entrée unique et sortie unique, en calculant les pôles et/ou les zéros dans la fonction de transfert en petit signal AC pour le circuit. Le point de fonctionnement DC du circuit est trouvé puis linéarisé, des modèles en petit signal pour tous les dispositifs non linéaires dans le circuit sont déterminés. Ce circuit est ensuite utilisé pour trouver les pôles et zéros qui satisfont la fonction de transfert.

La fonction de transfert peut soit montrer le gain en tension (tension de sortie/tension d'entrée) soit l'impédance (tension de sortie/courant d'entrée). L'approche traditionnelle est de montrer le gain en tension. Dans l'analyse Pole-Zero, nous contournons en fait la fonction de transfert pour obtenir trois informations importantes :

• La constante d'amortissement pour la réponse transitoire
• La fréquence d'oscillation naturelle pour la réponse transitoire
• Les fréquences d'excitation qui présentent une réponse nulle

Si vous êtes familier avec les fonctions de transfert et les transformations de Laplace, alors vous connaissez déjà l'idée des pôles et des zéros dans la réponse d'un circuit. L'analyse des pôles est basée sur le calcul de la constante d'amortissement et de la fréquence d'oscillation dans un circuit, vous montrant effectivement les maxima dans la fonction de transfert. Comme la plupart des circuits impliquent uniquement des dérivées du premier ou du second ordre de la charge dans le circuit, le résultat d'une simulation pôle-zéro révélera généralement deux pôles possibles dans votre circuit. Les circuits d'ordre supérieur peuvent avoir beaucoup plus de pôles et/ou de zéros (3 ou plus). Calculer ces valeurs à la main directement à partir de la fonction de transfert pour un circuit très complexe peut être difficile car cela peut nécessiter de résoudre un polynôme de troisième degré ou plus élevé, et le problème peut devenir inextricable.

L'analyse pôle-zéro automatise ce processus pour vous. L'exemple ci-dessous montre le résultat d'une analyse pôle-zéro. Si nous regardons le graphique, nous voyons qu'il y a deux pôles et un zéro. Notez que les parties réelles de ces valeurs sont négatives. Les deux pôles sont des conjugués complexes l'un de l'autre (comme ils devraient l'être), et le zéro se trouve le long de l'axe réel.

Exemple et Configuration

Un exemple de circuit qui peut être analysé avec l'analyse pôle-zéro est montré ci-dessous

Dans Altium Designer, l'analyse pôle-zéro fonctionne avec les résistances, les condensateurs, les inductances, les sources contrôlées linéairement, les sources indépendantes, les diodes, les BJTs, les MOSFETs et les JFETs. Les lignes de transmission ne sont pas prises en charge mais elles pourraient être modélisées dans le schéma comme un circuit à éléments concentrés tant que les valeurs RLCG sont connues. Le circuit ci-dessus est supposé avoir les propriétés suivantes :

• Valeurs des éléments de circuit invariantes dans le temps
• E1 fonctionne dans la plage linéaire (pas de saturation)

L'analyse pôle-zéro est configurée dans la zone déroulante Configuration & Exécution de l'analyse dans le Tableau de bord de Simulation (descendez jusqu'à #3, cliquez sur l'entrée Analyse Pôle-Zéro dans la section Avancée). Un exemple de configuration pour ce type d'analyse est montré dans l'image ci-dessous :

Un calcul d'analyse pôle-zéro nécessite les définitions de paramètres suivantes :

• Noeud d'Entrée - le noeud d'entrée positif pour le circuit.
• Noeud de Référence d'Entrée - le noeud de référence pour l'entrée du circuit (Par défaut = 0 (GND)).
• Noeud de sortie - le noeud de sortie positif pour le circuit.
• Noeud de référence de sortie - le noeud de référence pour la sortie du circuit (Par défaut = 0 (GND)).
• Type de fonction de transfert - définit le type de fonction de transfert en petit signal alternatif à utiliser pour le circuit lors du calcul des pôles et/ou des zéros. Il existe deux types disponibles :
• V(sortie)/V(entrée) - Fonction de transfert de gain de tension.
• V(sortie)/I(entrée) - Fonction de transfert d'impédance.
• Type d'analyse - vous permet de préciser davantage le rôle de l'analyse. Choisissez de trouver tous les pôles qui satisfont à la fonction de transfert pour le circuit (Pôles uniquement), tous les zéros (Zéros uniquement), ou à la fois les Pôles et les Zéros.

La méthode utilisée dans l'analyse est une recherche numérique sous-optimale. Pour les grands circuits, cela peut prendre un temps considérable ou échouer à trouver tous les pôles et zéros. Pour certains circuits, la méthode devient "perdue" et trouve un nombre excessif de pôles ou de zéros. Si il y a une non-convergence dans la recherche des pôles et des zéros, affinez l'analyse pour calculer uniquement les pôles ou uniquement les zéros.

Les résultats de la simulation sont affichés dans l'onglet Analyse Pôle-Zéro de la fenêtre d'Analyse de Forme d'Onde.

Exemple de sortie de l'analyse pôle-zéro dans le cadre de l'analyse transitoire

Interprétation des Résultats

Les valeurs sur l'axe imaginaire sont les fréquences naturelles et l'axe réel indique le taux de décroissance transitoire (constante d'amortissement). La position des pôles nous indique quatre choses dans l'analyse transitoire.

1. La partie réelle du pôle est la constante d'amortissement dans le circuit. Dans le graphique ci-dessus, la partie réelle des pôles est négative, signifiant que les réponses transitoires vont décroître avec le temps.
2. La partie imaginaire est la fréquence à laquelle la réponse transitoire va osciller (environ 1 kHz). Dans ce cas, la réponse transitoire produira une oscillation sous-amortie. Notez que, si les pôles étaient situés sur la moitié droite du graphique (c'est-à-dire, la partie réelle des pôles était positive), alors ce système serait instable avec un cycle limite divergent, et la réponse transitoire augmenterait avec le temps.
3. Les pôles situés à x = 0 sont des fréquences de résonance qui correspondent à une excitation harmonique avec un signal AC.
4. Les zéros d'une fonction de transfert se réfèrent à des fréquences spécifiques qui produisent une sortie nulle dans le circuit.

Si vous effectuez une analyse pôle-zéro et que vous constatez que votre circuit présente une réponse indésirable (c'est-à-dire, une réponse sous-amortie dans un réseau d'adaptation d'impédance), vous pouvez itérer à travers différentes valeurs de composants dans votre circuit pour déterminer les valeurs de composants qui produisent la réponse souhaitée. Cela vous permet d'amortir de manière critique la réponse dans votre circuit de sorte que vous pouvez éliminer le dépassement/sous-dépassement.

Lorsque vous travaillez avec les outils de simulation de circuit dans Altium Designer^®, vous n'aurez pas à effectuer l'analyse transitoire à la main. Les outils de mise en page et de simulation de niveau industriel sont idéaux pour la conception de circuits, la simulation de circuits, la mise en page de PCB, et bien plus encore. Ces outils sont intégrés dans une seule plateforme, ce qui permet de les incorporer rapidement dans votre flux de travail.

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