Simulation en régime transitoire et analyse spectrale

1. Introduction

Dans les deux articles précédents, nous avons vu comment créer un modèle puis comment extraire des données de celui-ci dans un contexte de simulation transitoire. Au moment de la configuration d’une telle simulation, des paramètres d’analyse de Fourier ont été évoqués mais cet aspect de la simulation temporelle n’a pas été exploité. Nous allons nous y intéresser dans le présent article en nous appuyant sur un nouvel exemple de circuit électronique où on a couramment besoin de caractériser les performances en analysant le contenu harmonique de la sortie produite par le montage lorsqu’un signal purement sinusoïdal est appliqué en entrée. Il s’agit de traiter d’un amplificateur de classe B dédié à des applications audio pour lequel nous allons analyser deux variantes et les comparer du point de vue de leur taux de distorsion harmonique (THD ou THD-F).

2. Contenu spectral et taux de distorsion harmonique

2.1. Série et transformée de Fourier

Tout signal T-périodique f(t) est décomposable en une somme (potentiellement infinie) de sinusoïdes (appelée série de Fourier) comme l’indique l’équation ci-dessous

où les coefficients réels a0, ak et bk sont définis à l’aide des formules suivantes :

Cette écriture peut être “simplifiée” en utilisant la formule :

avec des coefficients complexes tels que où * est l’opération de conjugaison.

L’intérêt de cette écriture complexe est d’être assez proche de la transformée de Fourier qui généralise les série de Fourier aux signaux non périodiques. Dans ce cas, on associe à un signal x(t) un contenu spectral X(f) contenant un continuum de :

possédant, comme les une symétrie hermitienne X(-f)=X*(f).

Le calcul analytique s’avère problématique mais il peut être approché numériquement de manière très efficace (en temps de calculs par un algorithme de transformée de Fourier rapide (ou FFT en anglais pour Fast Fourier Transform). Le calcul de FFT est une fonctionnalité particulièrement utile par exemple pour analyser le niveau de non-linéarité d’un amplificateur réel qui ne peut, en pratique, être parfaitement linéaire : pour un signal parfaitement sinusoïdal de fréquence en entrée (comportant d’une une composante fréquentielle unique), la sortie présente un contenu spectral plus riche avec non seulement une composante de fréquence appelée fondamentale mais aussi des termes de fréquences multiples entiers k de celle-ci appelés harmoniques. C’est précisément par ce biais que l’on analyse la bonne (ou mauvaise) performance avec un taux de distorsion harmonique défini dans la section suivante.

2.2. Taux de distorsion harmonique - définition et exemple

Comme évoqué au paragraphe précédent, un signal périodique quelconque est décomposable en une somme discrète de sinusoïdes (ou d’exponentielles complexes) dont le terme de rang k=1 est appelé composante fondamentale tandis que ceux de rangs . La valeur efficace   d’un signal étant défini (conformément au nom anglais Root Mean Square - RMS) comme la racine carrée de la moyenne du carré de ce signal :

Il est alors aisé de montrer que pour une sinusoïde d’amplitude , sa valeur efficace sera . On peut aussi facilement démontrer pour une série de Fourier que les seuls termes de à valeur moyenne non-nulle sont ceux pour lesquels les fréquences mises en jeu dans les deux facteurs sont les mêmes et cela conduit à l’égalité suivante (connue sous le nom de formule de Parseval-Plancherel) :

Souvent le terme constant a0 n’est pas présent et on peut se focaliser que sur le fondamental (k=1) et les harmoniques . On remarquera alors que le terme générique

où sont respectivement l’amplitude et la valeur efficace de l’harmonique de rang k (incluant le fondamental si k=1).

Cette formule est particulièrement utile pour calculer de manière indirecte la valeur efficace totale des harmoniques de rang car elle évite d’évaluer une somme infinie (ce qui peut être long…) en notant que pour un signal à moyenne nulle (a0=0), on a simplement :

A partir de ce constat, le calcul d’un taux de distorsion harmonique ne pose plus aucune difficulté, quelle que soit sa définition car il en existe deux :

• Tout d’abord le THD (pour Total Harmonic Distortion) en % et dont la définition conduit à un résultat toujours inférieur ou égal à 100 % :

• Mais aussi le THD-F lorsque le dénominateur se limite à la valeur efficace du fondamental et pouvant donc conduire à un résultat inférieur ou supérieur à 100% :

3. Amplificateur audio de classe B

3.1. Un premier montage

Le but de cet article n’est pas de présenter un montage à haute performance pour l’amplification audio mais plutôt d’illustrer l’utilisation de la simulation SPICE sous Altium Designer afin d’évaluer la performance d’un montage par rapport à un autre avec un critère chiffré (le THD) que l’on extrait des simulations avec les outils disponibles pour l’analyse spectrale. Pour cela, il est souhaitable de commencer avec un montage simple dont le défaut est particulièrement visible et évaluable analytiquement pour valider les résultats numériques. Pour cela, nous allons nous appuyer sur le montage d’amplificateur de classe B le plus rudimentaire possible tel que présenté à la figure 1.

Figure 1. Amplificateur de classe B simple

3.2. Un montage amélioré

Nous allons maintenant effectuer le même test avec le montage amélioré de la figure 2. On notera que la seule modification apportée réside dans la rétroaction de l’amplificateur opérationnel.

Figure 2. Amplificateur de classe B (légèrement) amélioré

La distorsion de croisement naturellement présente dans le montage push-pull est alors compensée (tout du moins partiellement) du fait de son inclusion dans la boucle de rétroaction alors qu’elle étaient en “boucle ouverte” dans le premier montage.

4. Résultats de simulation

Les résultats des simulations des deux montages sont donnés à la figure 3. On peut y voir directement sur les formes d’ondes temporelles une nette amélioration du signal de sortie pour le 2^ème montage (output2) par rapport à celui du 1^er montage (output).

Figure 3. Résultats temporels de simulation

Figure 4. Contenus fréquentiels des signaux de sortie des deux montages

L’analyse spectrale permet également d’évaluer le contenu fréquentiel des signaux et on peut voir à la figure 4 ceux des sorties des deux montages. Un post-traitement est alors nécessaire et une solution plus ou moins automatisée pour cela est présentée à la figure 5.

Figure 5. Post-traitement des résultats obtenus par simulation

5. Conclusion

Cet article présentait l’exploitation d’une simulation en régime transitoire en vue d’une analyse spectrale par FFT. L’exemple utilisé nous a permis de voir une démarche conduisant à l’évaluation d’un critère de performance classique des amplificateurs linéaires : le taux de distorsion harmonique. Les résultats obtenus par simulation montrent bien évidemment l’amélioration apportée par le deuxième montage par rapport au premier (ce qui était déjà évident par une observation des signaux dans le domaine temporel) mais cela a conduit à une évaluation chiffrée indispensable pour valider des spécification.

Figure 6. Comparaison d’un THD “numérique” avec un résultat analytique

On notera pour finir que le résultat obtenu avec le signal out02 (courbe jaune à la figure 3) pour le deuxième montage peut être comparé à un résultat théorique appliqué à une sinusoïde (d’amplitude 5 V) à laquelle on ajoute un signal carré dont l’amplitude correspond à la tension de seuil d’une jonction PN (en l’occurrence 0,7 V dans cette simulation). Le THD d’un tel signal peut être évalué théoriquement (cf. figure 6) mais surestime le THD du fait d’une non-linéarité pas nécessairement plus conforme à la réalité que le circuit simulé.