Formeln und Rechner für den Entwurf von Pi-Filter-Schaltungen

Ich würde vermuten, dass der beliebteste Typ von Filterschaltung, dem ich in PCB-Designs und Schaltplänen begegne, ein Pi-Filter ist, insbesondere ein doppelt abgeschlossenes passives Butterworth-Pi-Filter. Eine Pi-Filterschaltung aus L- und C-Elementen lässt sich leicht auf Filter höherer Ordnung skalieren. Diese Filterschaltungen sind außerdem sehr einfach zu simulieren, und die Ergebnisse lassen sich unkompliziert interpretieren. Ob als einfache EMI-Lösung oder als Filter in einer Analogschaltung – LC-Filter sind beim Schaltungsentwurf oft die erste Wahl, die man in Betracht zieht und bewertet.

In diesem Artikel zeige ich, wie man eine Pi-Filterschaltung entwirft, simuliert und analysiert. Außerdem ist ein Rechner enthalten, mit dem sich Ihre Pi-Filterschaltung auf Filter höherer Ordnung hochskalieren lässt. Das Analyseverfahren in SPICE wird ebenfalls anhand von Übertragungsfunktionen vorgestellt, obwohl Sie auch S-Parameter verwenden könnten.

Entwurf von LC-Pi-Filterschaltungen

LC-Pi-Filter gibt es in zwei Varianten: Hochpass- oder Tiefpassfilter. Meiner Meinung nach ist der LC-Tiefpassfilter die am häufigsten verwendete Art von Pi-Filter. Die beiden Schaltungstopologien für Hochpass- und Tiefpassfunktion sind in der folgenden Abbildung dargestellt.

Als vollständig passives lineares zeitinvariantes (LTI-)System unterstützen diese Schaltungen Methoden zur Analyse von Übertragungsfunktionen, selbst wenn sie auf eine unendliche Anzahl von Elementen skaliert werden. Meistens verwenden Sie eine dreielementige LC-Pi-Filterschaltung entweder in einer Hochpass- oder Tiefpasskonfiguration.

Eine alternative Topologie, die dieselbe -3-dB-Frequenz, dieselbe charakteristische Impedanz und dieselbe Flankensteilheit erzeugt, ist das T-Filter, das ebenfalls drei Elemente verwendet. Es gibt auch aktive Tiefpass- oder Hochpassfilter, die Operationsverstärker verwenden und Filter höherer Ordnung ohne Welligkeit im Durchlassband erreichen können. Diese Filter werden in einem zukünftigen Artikel behandelt.

Pi-LC-Filtertopologien

Pi-LC-Filter können in zwei Hauptkonfigurationen ausgelegt werden: Butterworth- und Chebyshev-Topologien. Butterworth-Pi-Filterschaltungen sind sehr einfach zu entwerfen und umfassen zwei grundlegende Entwurfsformeln zur Bestimmung der Werte von L und C. Chebyshev-Pi-Filter erfordern einen zusätzlichen Parameter namens Durchlassbandwelligkeit, der weiter unten erläutert wird.

Entwurfsformeln für passive Butterworth-Pi-Filter

Alle Pi-Filter besitzen einen Wert für die charakteristische Impedanz und einen Wert für die Grenzfrequenz. Wenn die Parallelzweigelemente gleich groß sind, stimmen die Ein- und Ausgangsimpedanzen der Schaltung mit der gewählten Impedanz überein (doppelt abgeschlossen). Der Frequenzwert ist eine Resonanzfrequenz, aber das Vorhandensein einer Resonanz mit hohem Q-Faktor in der Übertragungsfunktion hängt vom Wert der Last ab, wie wir später sehen werden.

Der Entwurfsansatz besteht darin, einen Frequenzwert (f) und einen Impedanzwert (Z) auszuwählen und diese zur Bestimmung der L- und C-Werte zu verwenden.

Für eine Tiefpass-Pi-Filterschaltung werden die Induktivität und die Gesamtkapazität bestimmt durch:

Induktivitäts- und Gesamtkapazitätswerte des Tiefpass-Pi-Filters

Die Einzelwerte von C1​ und C2 sind:

Kapazitätswerte des Tiefpass-Pi-Filters

Für eine Hochpass-Filterschaltung werden leicht abweichende Beziehungen für Induktivität und Kapazität verwendet:

Gesamtinduktivitäts- und Gesamtkapazitätswerte des Hochpass-Pi-Filters

Die Gesamtinduktivität (L) steht mit den einzelnen Induktivitäten wie folgt in Beziehung:

Induktivitätswerte des Hochpass-Pi-Filters

Dieses einfache Verfahren schließt den Entwurf ab. Um die Funktionalität anhand der Übertragungsfunktion zu verifizieren, benötigen wir eine Quell- und Lastimpedanz und simulieren die Übertragungsfunktion, um die Spannung zu bestimmen, die an der Last ankommt.

Simulation eines Butterworth-LC-Pi-Filters

Zur Simulation eines Butterworth-LC-Pi-Filters betrachten Sie den unten gezeigten Schaltplan. Dieser Schaltplan enthält eine einfache Spannungsquelle, die mit der Pi-Filterschaltung und einer 50-Ohm-Last verbunden ist. Setzt man die L- und C-Werte in die obigen Gleichungen ein, zeigt sich, dass diese LC-Tiefpassfilterschaltung eine charakteristische Impedanz von 50 Ohm besitzt und auf eine Flankenfrequenz von 100 MHz ausgelegt ist.

Der Betrag der Übertragungsfunktion wird berechnet, indem die Spannung über der Last durch die Eingangsspannung am Knoten von C1​ geteilt wird. Beachten Sie, dass bei Vorhandensein einer Quellimpedanz die Eingangsspannung am C1-Knoten anders ausfällt, da die Quellimpedanz mit der belasteten Schaltung einen Spannungsteiler bildet; der Einfachheit halber wurde sie daher im Schaltplan weggelassen.

Um die Auswirkung der Lastimpedanz auf die Übertragungsfunktion zu beobachten, wird die Last über fünf verschiedene Werte variiert. Die Ergebnisse zeigen, dass eine höhere Lastimpedanz zu einer Resonanz mit höherem Q-Faktor und zu höherer Spannungsverstärkung führt. Dies ist an der 1-kOhm-Kurve deutlich zu erkennen.

Wir können leicht erkennen, dass eine ausreichend starke Belastung des Pi-Filters ausreicht, um die beobachtete LC-Resonanz zu dämpfen. Man kann zu Recht darauf hinweisen, dass sich auch parasitäre Effekte in den Bauteilen auf die Resonanz auswirken, aber das ist eine Übung, die wir den Lesern überlassen.

Rechner für Butterworth-Pi-Filter

Für Filter höherer Ordnung kann ein iteratives Verfahren verwendet werden, um die L- und C-Elemente zu berechnen. Während sich der Pi-Filter theoretisch auf beliebig viele Elemente skalieren lässt, enden die meisten praktischen Entwürfe bei fünf oder sieben Elementen. Obwohl man die Berechnungen von Hand durchführen kann, vereinfacht ein Pi-Filter-Rechner den Prozess.

Nachfolgend haben wir die Rechner-Apps von CalculatorEdge.com eingebettet. Wir empfehlen allen, die einfach zu bedienende Online-Rechner für den Ingenieurbereich suchen, ausdrücklich, die Website von CalculatorEdge.com zu besuchen.

Der Hochpassfilter-Rechner arbeitet ähnlich und verwendet Zielimpedanz, Grenzfrequenz und die Anzahl der Komponenten, um die benötigten L- und C-Werte zu berechnen.

Butterworth- vs. Chebyshev-Filter

Simulationsergebnisse zeigen, dass das Butterworth-Pi-LC-Filter im Durchlassband einen flachen Frequenzgang aufweist, der auch bei Entwürfen höherer Ordnung erhalten bleibt. Dies ist ein großer Vorteil gegenüber anderen Filtertopologien, egal ob aktiv oder passiv.

Chebyshev-Filter zeigen, insbesondere bei Filtern höherer Ordnung, eine stärkere Flankensteilheit jenseits der Grenzfrequenz, führen jedoch Welligkeit im Durchlassband ein. Die Grenzvorgabe für die Durchlassbandwelligkeit wird als Dezibelwert angegeben und ist ein kritischer Entwurfsparameter. Bandpasskonfigurationen für beide Filtertypen werden ebenfalls in einem zukünftigen Artikel behandelt.

Vergleich von Butterworth- und Chebyshev-Tiefpass-Pi-Filtern. Bildquelle: The Open University.

Bleiben Sie dran für weitere detaillierte Erläuterungen zu Chebyshev-Filterentwürfen in kommenden Artikeln.

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