Análisis de Montecarlo con funciones de transferencia en circuitos en cascada

Los diseñadores de circuitos profesionales no solo trabajan con componentes en paralelo y en serie cuando diseñan circuitos. Una manera de construir circuitos es con redes de circuito, que tendrán puertos de entrada y salida. Lo que sucede dentro de cada red se puede analizar de la manera tradicional (SPICE, a mano, etc.), pero lo importante es que la red asigne un par de voltaje-corriente de entrada a un par de voltaje de salida y corriente. Matemáticamente, esto se cuantifica con una función de transferencia.

Al trabajar en diseños de alta fiabilidad, un factor importante que debes entender es cómo las variaciones en una parte del sistema se propagan hasta la salida del sistema. Esto no siempre es intuitivo. Requiere algunas derivaciones matemáticas manuales o algunas simulaciones para determinar la variabilidad en el comportamiento eléctrico en un sistema.

En este artículo, voy a mostrar cómo puedes usar los datos de simulación de Montecarlo para examinar cómo afectan las tolerancias de los componentes al comportamiento eléctrico de una red de circuitos en cascada. Las matemáticas incluyen algunos puntos de la teoría de probabilidades que creo que todo el mundo debería conocer, pero el resultado final y el proceso implicados son fáciles de aplicar en SPICE y Excel.

Teoría: Varianzas en redes en cascada

El objetivo de la teoría que presentaré a continuación es derivar una expresión que defina las variaciones en el voltaje de salida de una red en cascada en función de las variaciones en las funciones de transferencia individuales en cada red. Se supone que las variaciones en las funciones de transferencia de red se deben únicamente a las tolerancias de los componentes, aunque puedes ampliarlo fácilmente a casos de temperatura o ruido aleatorios.

Para empezar, fíjate en la red en cascada que se muestra a continuación. En esta red, estamos considerando un caso en el que cada red tiene dos puertos (entrada y salida). La expansión a tres puertos es un poco más compleja, pero aún podemos usar la teoría que se muestra aquí si los otros puertos son solo entradas de alimentación que no varían. Cada una de las redes en mi cascada tiene una función de transferencia H.

La relación entre la entrada y la salida de la red se muestra en la Ec. (1). En esta ecuación, la función de transferencia de toda la red es el producto de las funciones de transferencia para cada red:

Ec. (1): definición de la función de transferencia de red en cascada.

En la Ec. (1), hemos aprovechado el hecho de que las redes en cascada en serie, como las que se muestran arriba, tendrán una función de transferencia total igual al producto de todas las funciones de transferencia individuales. Esto se aplica a una amplia variedad de circuitos que se construyen como redes de dos puertos. Ahora podemos examinar las variaciones estadísticas en la función de transferencia para un valor determinado de la tolerancia de los componentes.

Variaciones en las funciones de transferencia

Las tolerancias de los componentes en cada red crearán alguna variación en la función de transferencia de cada una de ellas. Ahora podemos definir la varianza en la función de transferencia.

Ec. (2): función de transferencia para cada red definida en términos de una porción constante (media) y una porción aleatoria (desviación estándar).

En la Ec. (2), Hi es una variable aleatoria que está relacionada con la variación aleatoria en la función de transferencia para la red i (ẟHi). Para que esta expresión sea verdadera, la distribución ẟHi debe permitir este tipo de transformación lineal. En general, esto es cierto para distribuciones gaussianas y distribuciones uniformes, por lo que es válido en los dos casos principales que a menudo se consideran en las simulaciones de Montecarlo.

No hemos vinculado ẟHi a las tolerancias de los componentes con una ecuación específica. Sin embargo, si se conocen las tolerancias de todos los componentes de una red de circuitos, se puede determinar ẟHi con una simulación de Montecarlo. Simplemente configura una simulación para la red individual Hi y ejecuta una simulación de Montecarlo para determinar la varianza en la función de transferencia ẟHi.

Variaciones en el voltaje de salida

Ahora que hemos definido variaciones aleatorias en las funciones de transferencia individuales, podemos definir la variación en el voltaje de salida aplicando la misma transformación lineal mostrada en la Ec. (2) al producto de la función de transferencia en la Ec. (1). He escrito esto como un producto en la Ec. (3):

Ec. (3): variación en el voltaje de salida.

Aquí el voltaje de salida también tiene una porción constante (media) y una porción aleatoria (desviación estándar). En otras palabras, Vout es ahora una variable aleatoria que está relacionada con un producto de variables aleatorias. El voltaje promedio de salida es la constante en el lado derecho:

Ec. (4): voltaje promedio de salida en términos de valores medios de las funciones de transferencia que conforman la red en cascada.

De esto debe quedar claro que el producto de las medias de la función de transferencia es la media de la función de transferencia total de la red:

Ec. (5): valor promedio de la función de transferencia para toda la red en cascada en términos de valores medios de la función de transferencia para redes individuales en la cascada.

Si ampliamos el producto en la Ec. (3), tendremos una expresión que contiene productos de varios términos ẟHi, la H media y la varianza en el voltaje de salida. En este punto, consideraremos que los productos de cualquier término de ẟHi son muy pequeños y pueden ignorarse. Esto es perfectamente aceptable dadas las tolerancias comunes de los componentes, incluso cuando estas llegan al 20%. Dejaré los pasos intermedios a los lectores, pero llegarás a la siguiente ecuación:

Ec. (6): voltaje de salida en términos de las medias de la función de transferencia y las variaciones aleatorias.

Puede que esta no parezca la respuesta final, pero Ec. (6) te dice todo lo que necesitas saber sobre el comportamiento aleatorio en el voltaje de salida teniendo en cuenta algunas variaciones en las funciones de transferencia. Aquí tenemos una variable aleatoria (Vout) definida en términos de una combinación lineal de variables aleatorias (el conjunto de términos ẟHi ). De la teoría de la probabilidad multivariante sabemos que la desviación estándar de esta suma es igual a la suma de los cuadrados de los términos ẟHi . En otras palabras, la desviación estándar en Vout es:

Ec. (7): desviación estándar del voltaje de salida en términos de varianzas de la función de transferencia.

En esta ecuación, la operación st.dev se refiere a la desviación estándar y el operador Var se refiere a la varianza. Con la Ec. (7), podemos desarrollar un proceso de simulación para relacionar las variaciones en el voltaje de salida con las variaciones en las funciones de transferencia en nuestra red en cascada.

El proceso

Ahora podemos desarrollar un proceso para determinar la varianza del voltaje de salida en términos de varianza de la función de transferencia. Para ello, tu herramienta principal serán las simulaciones de Montecarlo y un sencillo programa de análisis estadístico como Excel:

1. Toma el diseño de tu circuito de red en cascada y divídelo en redes individuales de dos puertos.
2. Ejecuta simulaciones de Montecarlo para cada una de las redes del n.º 1.
3. Coge los datos de cada red y calcula la función de transferencia para cada ejecución de Montecarlo.
4. Calcula la media de los resultados de la función de transferencia para cada red.
5. Calcula la desviación estándar para cada función de transferencia del n.º 3 para obtener el ẟHi de cada red.
6. Utiliza los resultados de los números 4 y 5 y de la Ec. (7) para obtener la variación en el voltaje de salida.

Según la cantidad de datos que has utilizado en este proceso, puedes ir un paso más allá y obtener un intervalo de confianza para tus resultados.

Ejemplo de cálculo

¿Por qué pasar por todos estos problemas con las funciones de transferencia individuales? Veamos un ejemplo.

Supongamos que tienes tres redes de circuitos con diferentes tolerancias para los componentes (1%, 5% y 10%) y que ya has realizado el proceso anterior para determinar la variación en la función de transferencia de cada red. Supongamos que esos valores de tolerancia de los componentes se traducen en las varianzas del ejemplo que se muestran en el gráfico a continuación. Usando la Ec. (7), podemos predecir la variación en el voltaje de salida para esta red hipotética:

Ejemplo de cálculo de la desviación estándar del voltaje de salida para tolerancias de componentes conocidas y variaciones en las funciones de transferencia.

Una variación del 13,63% puede ser excesiva, todo depende del uso que se le vaya a dar. A partir de ahí, podemos valorar si ciertos grupos de tolerancias de los componentes deben reducirse.

Supongamos que la variación del voltaje de salida es inaceptable para el uso previsto y queremos conseguir una variación más pequeña. Decidimos cambiar las tolerancias del 5% y del 10% por 1%. Sin necesidad de hacer nuevas simulaciones, podemos saber inmediatamente cuál será la variación de salida. Para un circuito lineal, la reducción de la tolerancia en un factor 10 debería reducir la varianza de la función de transferencia en un factor 10 y así sucesivamente para otros factores de reducción. Tendríamos entonces el siguiente resultado:

Desviación estándar modificada del cálculo de voltaje de salida para tolerancias de componentes más pequeñas.

Disminuir el voltaje de salida del 13,63% al 2,23% es una reducción enorme y todo lo que se ha necesitado ha sido un simple cambio de componentes. No es necesario añadir nuevos circuitos ni alterar el diseño, basta con seleccionar algunos componentes alternativos. Este tipo de pasos para la reducción de la varianza son exactamente lo que podrías necesitar en aplicaciones analógicas de precisión.

Ahora supongamos que quieres cambiar la frecuencia de funcionamiento. En ese caso, puedes utilizar los datos de la función de transferencia que obtuviste de las simulaciones de Montecarlo para determinar cómo variará el voltaje de salida a esta nueva frecuencia utilizando el mismo cálculo.

Resumen y comparación

Al saber cómo se añade la varianza en diferentes redes en cascada para darte una varianza total en el voltaje de salida, puedes determinar directamente cómo variará el voltaje de salida si realizas alguna de las siguientes acciones:

• Intercambiar componentes en una red por otros con tolerancias más estrictas.
• Cambiar una red por otra totalmente diferente.
• Añadir una red adicional a tu cascada.

El método de perturbación que se muestra arriba solo se aplica a filtros o amplificadores en serie. Si tienes redes en paralelo, sus funciones de transferencia se suman, lo que facilita mucho el análisis de varianza que se muestra arriba. También podrías utilizar esta idea para derivar una expresión de varianza para combinaciones de redes en serie y en paralelo. Independientemente de cómo organices las redes del circuito para obtener una expresión de la varianza, se aplica el mismo método de simulación y análisis mostrado anteriormente.

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