Monte-Carlo-Analyse mit Übertragungsfunktionen in kaskadierten Schaltungen

Professionelle Schaltkreisdesigner arbeiten nicht nur mit parallel und in Reihe geschalteten Komponenten, wenn sie Schaltungen entwerfen. Eine Möglichkeit, Schaltkreise aufzubauen, sind Schaltnetze, die über Ein- und Ausgänge verfügen. Was in den einzelnen Netzwerken geschieht, kann auf herkömmliche Weise analysiert werden (SPICE, von Hand usw.); wichtig ist jedoch, dass das Netzwerk ein Eingangsspannungs-/Strompaar auf ein Ausgangsspannungs-/Strompaar abbildet. Mathematisch wird dies mit einer Übertragungsfunktion quantifiziert.

Bei der Arbeit an hochzuverlässigen Entwürfen ist es wichtig zu verstehen, wie sich Varianzen in einem Teil Ihres Systems bis hin zum Ausgang des Systems ausbreiten. Das geschieht nicht immer intuitiv. Es sind einige mathematische Ableitungen von Hand erforderlich, oder es müssen einige Simulationen durchgeführt werden, um die Variabilität des elektrischen Verhaltens in einem System zu bestimmen.

In diesem Artikel werde ich zeigen, wie Sie Monte-Carlo-Simulationsdaten verwenden können, um zu untersuchen, wie sich Bauteiltoleranzen auf das elektrische Verhalten eines kaskadierten Schaltkreisnetzes auswirken. Aus mathematischer Sicht sind ein paar Punkte aus der Wahrscheinlichkeitstheorie relevant, die jeder kennen sollte, aber das Endergebnis und der Prozess sind einfach in SPICE und Excel zu implementieren.

Theorie: Varianzen in kaskadierten Netzwerken

Das Ziel der Theorie, die ich im Folgenden vorstelle, besteht darin, eine Aussage abzuleiten, die Schwankungen in der Ausgangsspannung eines kaskadierten Netzwerks zu Schwankungen in den einzelnen Übertragungsfunktionen in jedem Netzwerk definiert. Die Schwankungen in den Übertragungsfunktionen eines Netzwerks werden ausschließlich auf Bauteiltoleranzen zurückgeführt, obwohl man dies leicht auf Fälle aufgrund von Temperatur oder zufälligem Rauschen ausdehnen kann.

Betrachten wir zunächst das unten gezeigte kaskadierte Netzwerk. In diesem Netzwerk betrachten wir einen Fall, in dem jedes Netzwerk 2 Ports hat (Eingang und Ausgang). Die Erweiterung auf 3 Ports ist etwas komplexer, aber wir können die hier gezeigte Theorie immer noch anwenden, wenn die anderen Ports nur Stromeingänge sind, die sich nicht verändern. Jedes dieser Netzwerke in meiner Kaskade hat die Übertragungsfunktion H.

Die Beziehung zwischen dem Eingang und Ausgang des Netzwerks wird in Gl. (1) dargestellt. In dieser Gleichung ist die Übertragungsfunktion des gesamten Netzwerks das Produkt der Übertragungsfunktionen für jedes Netzwerk:

Gl. (1): Definition der Übertragungsfunktion in kaskadierten Netzwerken.

In Gl. (1) haben wir uns die Tatsache zunutze gemacht, dass seriell kaskadierte Netzwerke wie die oben gezeigten eine Gesamtübertragungsfunktion haben, die das Produkt aller einzelnen Übertragungsfunktionen ist. Dies gilt für eine Vielzahl von Schaltkreisen, die als 2-Port-Netzwerke gebaut sind. Nun können wir die statistischen Schwankungen in der Übertragungsfunktion auf einen bestimmten Toleranzwert für Komponenten untersuchen.

Schwankungen in Übertragungsfunktionen

Die Bauteiltoleranzen in jedem Netzwerk führen zu Schwankungen in der Übertragungsfunktion in jedem Netzwerk. Wir wollen nun die Varianz in der Übertragungsfunktion definieren.

Gl. (2): Übertragungsfunktion für jedes Netzwerk, definiert durch einen konstanten Anteil (Mittelwert) und einen zufälligen Anteil (Standardabweichung).

In Gl. (2) ist Hi eine Zufallsvariable, die mit der zufälligen Schwankung in der Übertragungsfunktion für Netzwerk i (ẟHi) zusammenhängt. Damit diese Aussage wahr ist, muss die Verteilung ẟHi diese Art der linearen Transformation ermöglichen. Im Allgemeinen gilt dies für Gaußsche Verteilungen und gleichmäßige Verteilungen, also gilt es in den beiden Hauptfällen, die oft in Monte-Carlo-Simulationen betrachtet werden.

Wir haben ẟHi nicht mit einer bestimmten Gleichung an Bauteiltoleranzen gebunden. Wenn Sie jedoch die Toleranzen für alle Bauteile in einem Schaltkreisnetz kennen, können Sie ẟHi mit einer Monte-Carlo-Simulation bestimmen. Richten Sie einfach eine Simulation für das einzelne Netzwerk ẟHi ein und führen Sie eine Monte-Carlo-Simulation durch, um die Veränderung in der Übertragungsfunktion ẟHi zu bestimmen.

Schwankungen der Ausgangsspannung

Nachdem wir nun zufällige Schwankungen in einzelnen Übertragungsfunktionen definiert haben, können wir die Schwankung in der Ausgangsspannung definieren, indem wir dieselbe lineare Transformation, die in Gl. (2) angezeigt wird, auf das Transferfunktionsprodukt in Gl. (1) anwenden. Ich habe dies als Produkt in Gl. (3) geschrieben:

Gl. (3): Schwankung der Ausgangsspannung.

Hier hat die Ausgangsspannung auch einen konstanten Teil (Mittelwert) und einen zufälligen Teil (Standardabweichung). Mit anderen Worten: Vout ist jetzt eine Zufallsvariable, die sich auf ein Produkt zufälliger Variablen bezieht. Die mittlere Ausgangsspannung ist der konstante Begriff auf der rechten Seite:

Gl. (4): Mittlere Ausgangsspannung in Bezug auf die Mittelwerte der Übertragungsfunktionen, aus denen das kaskadierte Netzwerk besteht.

Daraus sollte klar ersichtlich sein, dass das Produkt der Mittelwerte der Übertragungsfunktion das Mittel der gesamten Übertragungsfunktion des Netzwerks ist:

Gl. (5): Mittelwert der Übertragungsfunktion für das gesamte kaskadierte Netzwerk als Mittelwert der Übertragungsfunktion für einzelne Netzwerke in der Kaskade.

Wenn wir das Produkt in Gl. (3) erweitern, haben wir eine Aussage, die Produkte von mehreren ẟHi Größen, Harmonisches Mittel und die Schwankung in der Ausgangsspannung enthält. An dieser Stelle gehen wir davon aus, dass Produkte aller ẟHi Größen sehr klein sind und ignoriert werden können. Dies ist angesichts gängiger Bauteiltoleranzen durchaus akzeptabel, selbst wenn diese bis zu 20 % betragen. Ich überlasse die Zwischenschritte den Lesern, aber Sie kommen zu folgender Gleichung:

Gl. (6): Ausgangsspannung in Bezug auf Mittelwerte der Übertragungsfunktion und zufällige Schwankungen.

Dies mag zwar nicht so aussehen wie die endgültige Antwort, aber Gl. (6) sagt Ihnen alles, was Sie über das zufällige Verhalten der Ausgangsspannung bei einigen Varianzen in den Übertragungsfunktionen wissen müssen! Hier haben wir eine Zufallsvariable (Vout), die als lineare Kombination von Zufallsvariablen definiert ist (die Menge von ẟHi Größen). Aus der multivariaten Wahrscheinlichkeitsrechnung wissen wir, dass die Standardabweichung dieser Summe gleich der Quadratsumme der ẟHi Größen ist. Mit anderen Worten, die Standardabweichung in Vout ist:

Gl. (7): Standardabweichung der Ausgangsspannung in Form von Varianzen der Übertragungsfunktion.

In dieser Gleichung bezieht sich die Operation „st.dev“ auf die Standardabweichung, und der Operator Var bezieht sich auf die Varianz. Mit Gl. (7) können wir einen Simulationsprozess entwickeln, um Schwankungen der Ausgangsspannung mit den Schwankungen der Übertragungsfunktionen in unserem kaskadierten Netzwerk in Beziehung zu setzen.

Das Verfahren

Jetzt können wir ein Verfahren zur Bestimmung der Varianz in der Ausgangsspannung in Bezug auf die Varianz in der Übertragungsfunktion entwickeln. Dafür sind Monte-Carlo-Simulationen und ein einfaches statistisches Analyseprogramm wie Excel Ihr wichtigstes Werkzeug:

1. Nehmen Sie Ihr Schaltungsdesign eines kaskadierten Netzwerks und teilen Sie es in einzelne 2-Port-Netzwerke auf.
2. Führen Sie Monte-Carlo-Simulationen für jedes der Netzwerke in #1 durch.
3. Nehmen Sie die Daten für jedes Netzwerk und berechnen Sie die Übertragungsfunktion für jeden Monte-Carlo-Lauf.
4. Berechnen Sie für jedes Netzwerk den Mittelwert der Ergebnisse der Übertragungsfunktion.
5. Berechnen Sie die Standardabweichung für jede Übertragungsfunktion in #3, um ẟHi für jedes Netzwerk zu erhalten.
6. Nutzen Sie Ergebnisse von #4, #5 und Gl. (7), um die Schwankung der Ausgangsspannung zu erhalten.

Basierend auf der Anzahl der Daten, die Sie in diesem Verfahren verwendet haben, können Sie einen Schritt weiter gehen und ein Konfidenzintervall für Ihre Ergebnisse erhalten.
Beispielrechnung
Warum die ganze Mühe mit einzelnen Übertragungsfunktionen? Um zu sehen warum, sehen wir uns ein Beispiel an.

Nehmen wir an, Sie haben drei Schaltnetze mit unterschiedlichen Bauteiltoleranzen (1 %, 5 % und 10 %) und haben bereits das oben beschriebene Verfahren zur Bestimmung der Schwankung in der Übertragungsfunktion für jedes Netz durchgeführt. Angenommen, diese Bauteiltoleranzwerte werden in die Beispielabweichungen übersetzt, die in der folgenden Grafik dargestellt sind. Mithilfe von Gl. (7) können wir die Schwankungen in der Ausgangsspannung für dieses hypothetische Netzwerk vorhersagen:

Beispiel für eine Standardabweichung der Ausgangsspannungsberechnung für bekannte Bauteiltoleranzen und Schwankungen in Übertragungsfunktionen.

Eine Varianz von 13,63 % ist vielleicht zu viel; dies alles hängt von der Anwendung ab. Daraus können wir beurteilen, ob bestimmte Gruppen von Bauteiltoleranzen reduziert werden sollten.

Nehmen wir nun an, dass die Schwankung der Ausgangsspannung für unsere Anwendung nicht akzeptabel ist und wir eine geringere Schwankung erreichen wollen. Wir beschließen, die 5 %-Toleranzen und 10 %-Toleranzen gegen 1 %-Toleranzen auszutauschen. Ohne neue Simulationen laufen zu lassen, wissen wir sofort, was die Ausgabevariante sein wird. Bei einer linearen Schaltung sollte eine Verringerung der Toleranz um den Faktor 10 die Varianz der Übertragungsfunktion um den Faktor 10 verringern, und so weiter für andere Reduktionsfaktoren. Wir hätten dann folgendes Ergebnis:

Geänderte Standardabweichung der Ausgangsspannungsberechnung für kleinere Bauteiltoleranzen.

Die Senkung der Ausgangsspannung von 13,63 % auf 2,23 % ist eine gewaltige Reduktion, und alles, was wir dafür brauchten, war ein einfacher Komponententausch. Es mussten keine neuen Schaltungen hinzugefügt werden, es waren keine Designänderungen erforderlich, lediglich ein paar alternative Teilenummern mussten ausgewählt werden. Solche Schritte zur Varianzreduktion sind genau das, was Sie in analogen Präzisionsanwendungen benötigen.

Nehmen wir nun an, Sie möchten Ihre Betriebsfrequenz verschieben. In diesem Fall können Sie die Daten der Übertragungsfunktion, die Sie aus Ihren Monte-Carlo-Simulationen erhalten haben, verwenden, um mithilfe derselben Berechnung zu bestimmen, wie sich die Ausgangsspannung bei dieser neuen Frequenz verändern wird.

Zusammenfassung und Vergleich

Wenn Sie wissen, wie sich die Varianz in verschiedenen kaskadierten Netzwerken addiert, um Ihnen eine Gesamtvarianz der Ausgangsspannung zu geben, können Sie direkt bestimmen, wie sich die Ausgangsspannung ändert, wenn Sie eine der folgenden Aktionen ausführen:

• Tauschen Sie Bauteile in einem Netzwerk gegen Teile mit engeren Toleranzen aus
• Tauschen Sie ein Netzwerk gegen ein völlig anderes Netzwerk aus
• Fügen Sie Ihrer Kaskade ein zusätzliches Netzwerk hinzu

Die oben gezeigte Störungsmethode ist nur auf in Reihe geschaltete kaskadierte Filter oder Verstärker anwendbar. Bei parallelen Netzwerken addieren sich deren Übertragungsfunktionen, was die oben gezeigte Varianzanalyse erheblich erleichtert. Sie können diese Idee auch verwenden, um eine Aussage zur Varianz für Kombinationen von Reihen und parallelen Netzwerken abzuleiten. Unabhängig davon, wie Sie Schaltnetze anordnen, um eine Aussage zur Varianz zu erhalten, gilt dieselbe Simulations- und Analysemethode wie oben beschrieben.

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