Fonctions de transfert et analyse de Monte Carlo pour les circuits en cascade

Les concepteurs professionnels ne travaillent pas uniquement avec des composants en parallèle et en série lorsqu'ils conçoivent des circuits. Il est possible, par exemple, d'utiliser des réseaux de circuits, qui auront des ports d'entrée et de sortie.

Ce qui se passe au sein de chaque réseau peut être analysé de manière traditionnelle (SPICE, à la main, etc.), mais ce qui est important, c'est que le réseau associe une paire tension/courant d'entrée à une paire tension/courant de sortie. Mathématiquement, cela est quantifié grâce une fonction de transfert.

Lorsque vous travaillez sur des conceptions à haute fiabilité, il est important de comprendre comment les variances d'une partie de votre système se propagent jusqu'à la sortie du système. Ce n'est pas toujours intuitif. Il est donc nécessaire de réaliser des dérivations mathématiques à la main ou d'effectuer des simulations pour déterminer la variabilité du comportement électrique dans un système.

Dans cet article, je vais vous montrer comment utiliser les données de simulation de Monte Carlo pour étudier la manière dont les tolérances des composants affectent le comportement électrique d'un réseau de circuits en cascade.

Les mathématiques impliquent quelques éléments de la théorie des probabilités que tout le monde devrait connaître, mais le résultat final et le processus impliqué sont simples à mettre en œuvre dans SPICE et Excel.

Théorie : variances dans les réseaux en cascade

L'objectif de la théorie que je présenterai ci-dessous est d'obtenir une expression qui définit les variations de tension en sortie d'un réseau en cascade comme des variations dans les fonctions de transfert individuelles de chaque réseau.

Les variations des fonctions de transfert d'un réseau sont supposées résulter des tolérances des composants uniquement, bien qu'il soit facilement possible de les étendre aux cas impliquant une température ou un bruit aléatoire.

Pour commencer, considérons le réseau en cascade illustré ci-dessous. Dans ce réseau, nous envisageons un cas où chaque réseau possède 2 ports (entrée et sortie).

L'extension à 3 ports est un peu plus complexe, mais nous pouvons toujours utiliser la théorie illustrée ici si les autres ports sont uniquement des entrées d'alimentation qui ne varient pas.

Chacun de ces réseaux dans ma cascade dispose d'une fonction de transfert H.

La relation entre l'entrée et la sortie du réseau est indiquée dans Eq. (1).

Dans cette équation, la fonction de transfert de l'ensemble du réseau est le produit des fonctions de transfert pour chaque réseau :

Eq. (1) : Définition de la fonction de transfert du réseau en cascade.

Dans Eq. (1), nous avons tiré parti du fait que les réseaux en cascade en série tels que ceux présentés ci-dessus auront une fonction de transfert totale qui est le produit de toutes les fonctions de transfert individuelles. Cela s'applique à une grande variété de circuits construits en tant que réseaux à 2 ports.

Nous pouvons maintenant analyser les variations statistiques dans la fonction de transfert pour une valeur de tolérance donnée pour les composants.

Variations dans les fonctions de transfert

Les tolérances des composants dans un réseau créent une certaine variation dans la fonction de transfert de celui-ci. Nous voulons maintenant définir la variance de la fonction de transfert.

Eq. (2) : Fonction de transfert pour chaque réseau définie en termes de portion constante (moyenne) et de portion aléatoire (écart-type).

Dans Eq. (2), Hi est une variable aléatoire liée à la variation aléatoire de la fonction de transfert pour le réseau i (ẟHi). Pour que cette expression soit vraie, la distribution ẟHi doit permettre ce type de transformation linéaire.

En général, c'est le cas pour les distributions gaussiennes et les distributions uniformes, et c'est donc valable dans les deux cas majeurs souvent pris en compte dans les simulations de Monte Carlo.

Nous n'avons pas lié ẟHi aux tolérances de composants avec une équation spécifique. Toutefois, si vous connaissez les tolérances pour tous les composants d'un réseau de circuits, vous pouvez déterminer ẟHi avec une simulation Monte Carlo.

Il suffit de configurer une simulation pour le réseau individuel Hi et d'exécuter une simulation de Monte Carlo pour déterminer la variance de la fonction de transfert ẟHi.

Variations de la tension de sortie

Maintenant que nous avons défini des variations aléatoires dans les fonctions de transfert individuelles, nous pouvons définir la variation dans la tension de sortie en appliquant la même transformation linéaire que celle indiquée dans Eq. (2) au produit de la fonction de transfert dans Eq. (1).

J'ai écrit ceci sous forme de produit dans Eq. (3) :

Eq. (3) : Variation de la tension de sortie.

Ici, la tension de sortie a également une partie constante (moyenne) et une partie aléatoire (écart type). En d'autres termes, Vout est maintenant une variable aléatoire liée à un produit de variables aléatoires.

La tension de sortie moyenne est le terme constant à droite :

Eq. (4) : Tension de sortie moyenne en termes de valeurs moyennes des fonctions de transfert constituant le réseau en cascade.

Il doit donc être clair que le produit de la moyenne de la fonction de transfert est la moyenne de la fonction de transfert totale du réseau :

Eq. (5) : Valeur moyenne de la fonction de transfert pour l'ensemble du réseau en cascade en termes de valeurs moyennes de fonction de transfert pour les réseaux individuels dans la cascade.

Si nous développons le produit dans Eq. (3), nous aurons une expression qui contient les produits de plusieurs termes ẟHi, Hmean et la variance dans la tension de sortie.

À ce stade, nous considèrerons que les produits de tous les termes ẟHi sont très petits et peuvent être ignorés. C'est tout à fait acceptable compte tenu des tolérances courantes des composants, même lorsqu'elles atteignent 20 %.

Je laisserai les étapes intermédiaires aux lecteurs, mais vous arriverez à l'équation suivante :

Eq. (6) : Tension de sortie en termes de moyennes de fonction de transfert et de variations aléatoires.

Cela ne ressemble peut-être pas à la réponse finale, mais Eq. (6) vous dit tout ce que vous devez savoir sur le comportement aléatoire de la tension de sortie compte tenu de certaines variations dans les fonctions de transfert !

Nous avons ici une variable aléatoire (Vout) définie en termes de combinaison linéaire de variables aléatoires (l'ensemble des termes ẟHi).

Grâce à la théorie des probabilités multivariées, nous savons que l'écart type de cette somme est égal à la somme en quadrature des termes ẟHi. En d'autres termes, l'écart type dans Vout est :

Eq. (7) : Écart type de tension de sortie en termes de variances de la fonction de transfert.

Dans cette équation, l'opération st.dev fait référence à l'écart type, et l'opérateur Var à la variance.

Avec Eq. (7), nous pouvons développer un processus de simulation pour relier les variations de la tension de sortie aux variations des fonctions de transfert dans notre réseau en cascade.

Le processus

Nous pouvons maintenant développer un processus pour déterminer la variance de la tension de sortie en termes de variance de la fonction de transfert.

Pour ce faire, votre outil principal sera l'analyse de Monte Carlo accompagnée d'un simple programme d'analyse statistique comme Excel :

1. Prenez votre conception de circuit de réseau en cascade et divisez-la en réseaux individuels à 2 ports
2. Réalisez des simulations de Monte Carlo pour chacun des réseaux de l'étape 1
3. Prenez les données de chaque réseau et calculez la fonction de transfert pour chaque simulation de Monte Carlo
4. Calculez la moyenne des résultats de la fonction de transfert pour chaque réseau
5. Calculez l'écart type pour chaque fonction de transfert de l'étape 3 pour obtenir ẟHi pour chaque réseau
6. Utilisez les résultats des étapes 4, 5 et de Eq. (7) pour obtenir la variation de la tension de sortie.

En fonction du nombre de données que vous avez utilisées dans ce processus, vous pouvez aller plus loin et obtenir un intervalle de confiance pour vos résultats.

Exemple de calcul pour connaître les variations de la fonction de transfert

Si vous vous demandez pourquoi passer en revue tous ces problèmes avec les fonctions de transfert individuelles, le plus simple est de regarder un exemple.

Supposons que vous ayez trois réseaux de circuits avec des tolérances de composants différentes (1 %, 5 % et 10 %) et que vous ayez déjà suivi le processus ci-dessus pour déterminer la variation de la fonction de transfert de chaque réseau. Supposons que ces valeurs de tolérance des composants se traduisent par les variances illustrées dans le graphique ci-dessous.

En utilisant Eq. (7), nous pouvons prédire la variation de la tension de sortie pour ce réseau hypothétique :

Exemple d'écart type du calcul de la tension de sortie pour les tolérances de composants connues et les variations dans les fonctions de transfert.

Une variance de 13,63 % peut être excessive, tout dépend de l'application. À partir de ce chiffre, nous pouvons juger si certains groupes de tolérances de composants doivent être réduits.

Disons que la variation de tension de sortie est inacceptable pour notre application et que nous souhaitons obtenir une variation inférieure.

Nous décidons de remplacer les tolérances de 5 % et de 10 % par des tolérances de 1 %. Sans effectuer de nouvelle simulation, nous savons immédiatement quelle sera la variation de sortie.

Pour un circuit linéaire, la réduction de la tolérance d'un facteur 10 doit réduire la variance de la fonction de transfert par un facteur 10, et ainsi de suite pour les autres facteurs de réduction.

On aurait alors le résultat suivant :

Modification de l'écart type du calcul de la tension de sortie pour les tolérances de composants inférieures.

La diminution de la tension de sortie de 13,63 % à 2,23 % est énorme et il n'a suffi que d'un simple échange de composants pour parvenir à ce résultat.

Aucun nouveau circuit n'a dû être ajouté, aucune modification de conception n'a été nécessaire. Il a suffi de sélectionner d'autres numéros de pièce. Ces types d'étapes de réduction de la variance sont exactement ce dont vous pourriez avoir besoin dans des applications de précision analogiques.

Supposons à présent que vous souhaitiez modifier votre fréquence de fonctionnement. Dans ce cas, vous pouvez utiliser les données de la fonction de transfert obtenues de à partir de vos simulations Monte Carlo afin de déterminer comment la tension de sortie variera à cette nouvelle fréquence en utilisant le même calcul.

Résumé et comparaison

En sachant comment la variance dans différents réseaux en cascade s'additionne pour vous donner une variance totale de la tension de sortie, vous pouvez déterminer directement comment la tension de sortie variera si vous effectuez l'une des opérations suivantes :

• Remplacer les composants d'un réseau par d'autres composants avec des tolérances plus strictes
• Remplacer un réseau par un réseau totalement différent
• Ajouter un réseau supplémentaire à votre cascade

La méthode de perturbation décrite ci-dessus ne s'applique qu'aux filtres en cascade en série ou aux amplificateurs. Si vous avez des réseaux parallèles, leurs fonctions de transfert s'additionnent, ce qui facilite grandement l'analyse de variance présentée ci-dessus.

Vous pouvez également utiliser cette idée pour obtenir une expression de variance pour les combinaisons de séries et de réseaux parallèles. Quelle que soit la manière dont vous organisez les réseaux de circuits pour obtenir une expression de variance, la même méthode de simulation et d'analyse illustrée ci-dessus s'applique.

Si vous souhaitez exécuter des simulations de Monte Carlo et des calculs de fonction de transfert pour vos circuits dans Altium Designer®, vous trouverez ces outils de simulation intégrés au moteur SPICE dans l'éditeur de schémas.

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