Analisi Monte Carlo con funzioni di trasferimento in circuiti a cascata

I progettisti di circuiti professionisti non lavorano solo con componenti in parallelo e in serie quando progettano circuiti. Un modo per realizzare circuiti consiste nel creare delle reti di circuiti, che avranno porte di ingresso e uscita. Ciò che accade all'interno di ogni rete può essere analizzato nel modo tradizionale (SPICE, manualmente, ecc.), ma è importante che la rete mappi una coppia di tensione/corrente in ingresso su una coppia di tensione e corrente in uscita. Matematicamente, questo processo è quantificato con una funzione di trasferimento.

Quando si lavora su progetti ad alta affidabilità, un fattore importante da comprendere è il modo in cui le varianze in una parte del sistema si propagano in uscita al sistema. Questo non è sempre intuitivo, ma richiede alcune derivazioni matematiche da eseguire manualmente, oppure alcune simulazioni per determinare la variabilità del comportamento elettrico in un sistema.

In questo articolo mostrerò come utilizzare i dati di simulazione Monte Carlo per esaminare in che modo le tolleranze dei componenti influiscono sul comportamento elettrico di una rete di circuiti a cascata. Sul piano matematico, dovremo ricorrere ad alcuni aspetti della teoria della probabilità che credo conosceranno tutti, ma il risultato finale e il processo necessario si possono implementare in semplicità in SPICE ed Excel.

Teoria: varianti nelle reti a cascata

L'obiettivo con la teoria che presenterò di seguito è derivare un'espressione che definisca le variazioni nella tensione di uscita da una rete a cascata alle variazioni nelle singole funzioni di trasferimento in ciascuna rete. Si presume che le variazioni nelle funzioni di trasferimento di rete siano dovute solo alle tolleranze dei componenti, sebbene sia possibile estenderle facilmente a casi che coinvolgono temperatura o rumore casuale.

Per iniziare, consideriamo la rete a cascata mostrata di seguito. In questa rete, prendiamo in considerazione un caso in cui ogni rete abbia 2 porte (ingresso e uscita). L'espansione a 3 porte è un po' più complessa, ma possiamo comunque usare la teoria mostrata qui se le altre porte sono solo ingressi di alimentazione che non variano. Ognuna di queste reti nella mia cascata ha una funzione di trasferimento H.

La relazione tra l'ingresso e l'uscita della rete viene visualizzata in Eq. (1). In questa equazione, la funzione di trasferimento dell'intera rete è il prodotto delle funzioni di trasferimento per ogni rete:

Eq. (1): definizione della funzione di trasferimento di rete a cascata.

In Eq. (1), abbiamo approfittato del fatto che le reti a cascata come quelle sopra indicate avranno una funzione di trasferimento totale, che è il prodotto di tutte le singole funzioni di trasferimento. Questo vale per una vasta gamma di circuiti costruiti come reti a 2 porte. Ora possiamo esaminare le variazioni statistiche nella funzione di trasferimento per un determinato valore di tolleranza per i componenti.

Variazioni nelle funzioni di trasferimento

Le tolleranze dei componenti in ogni rete creeranno alcune variazioni nella funzione di trasferimento in ogni rete. Ora vogliamo definire la varianza nella funzione di trasferimento.

Eq. (2): funzione di trasferimento per ogni rete definita in termini di una porzione costante (media) e una porzione casuale (deviazione standard).

In Eq. (2), Hi è una variabile casuale correlata alla variazione casuale nella funzione di trasferimento per la rete i (ẟHi). Affinché questa espressione sia vera, la distribuzione Hi deve consentire questo tipo di trasformazione lineare. In generale, questo è vero per le distribuzioni gaussiane e le distribuzioni uniformi, quindi è valido nei due casi principali spesso considerati nelle simulazioni Monte Carlo.

Non abbiamo collegato ẟHi alle tolleranze dei componenti con un'equazione specifica. Tuttavia, se si conoscono le tolleranze per tutti i componenti in una rete di circuiti, è possibile determinare ẟHi con una simulazione Monte Carlo. È sufficiente impostare una simulazione per la singola rete Hi ed eseguire una simulazione Monte Carlo per determinare la varianza nella funzione di trasferimento ẟHi.

Variazioni nella tensione di uscita

Ora che abbiamo definito le variazioni casuali nelle singole funzioni di trasferimento, possiamo definire la variazione nella tensione di uscita applicando la stessa trasformazione lineare mostrata in Eq. (2) al prodotto della funzione di trasferimento in Eq. (1). Ho scritto questo come prodotto in Eq. (3):

Eq. (3): Variazione nella tensione di uscita.

Qui la tensione di uscita ha anche una porzione costante (media) e una porzione casuale (deviazione standard). In altre parole, Vout è ora una variabile casuale correlata a un prodotto di variabili casuali. La tensione di uscita media è il termine costante sul lato destro:

Eq. (4): tensione media di uscita in termini di valori medi delle funzioni di trasferimento che compongono la rete a cascata.

Da tutto questo dovrebbe essere chiaro che il prodotto delle medie della funzione di trasferimento è la media della funzione di trasferimento totale della rete:

Eq. (5): valore medio della funzione di trasferimento per l'intera rete a cascata in termini di valori medi della funzione di trasferimento per le singole reti che formano la cascata.

Se espandiamo il prodotto in Eq. (3), avremo un'espressione che contiene prodotti di più termini ẟHi, Hmean, e la varianza nella tensione di uscita. A questo punto, possiamo presupporre per approssimazione che i prodotti di qualsiasi termine ẟHi sono molto piccoli e possono essere ignorati. Ciò è perfettamente accettabile, date le tolleranze comuni dei componenti, anche quando raggiungono il 20%. Lascerò i passi intermedi ai lettori, ma arriverai alla seguente equazione:

Eq. (6): tensione di uscita in termini di medie della funzione di trasferimento e variazioni casuali.

Questa potrebbe non sembrare la risposta finale, ma l'Eq. (6) ti dice tutto ciò che devi sapere sul comportamento casuale della tensione di uscita, date alcune variazioni nelle funzioni di trasferimento! Qui abbiamo una variabile casuale (Vout) definita in termini di una combinazione lineare di variabili casuali (l'insieme dei termini ẟHi). Dalla teoria della probabilità multivariata, sappiamo che la deviazione standard di questa somma è uguale alla somma della quadratura dei termini ẟHi. In altre parole, la deviazione standard in Vout è:

Eq. (7): deviazione standard della tensione di uscita in termini di varianze delle funzioni di trasferimento.

In questa equazione, l'operazione st.dev si riferisce alla deviazione standard, e l'operatore Var si riferisce alla varianza. Con Eq. (7), possiamo sviluppare un processo di simulazione per correlare le variazioni della tensione di uscita alle variazioni delle funzioni di trasferimento nella nostra rete a cascata.

Il processo

Ora possiamo sviluppare un processo per determinare la varianza della tensione di uscita in termini di varianza della funzione di trasferimento. A tale scopo, lo strumento principale saranno le simulazioni Monte Carlo e un semplice programma di analisi statistica come Excel:

1. Prendi il progetto del tuo circuito di rete a cascata e dividilo in singole reti a 2 porte.
2. Esegui le simulazioni Monte Carlo per ciascuna delle reti in #1.
3. Prendi i dati per ogni rete e calcola la funzione di trasferimento per ogni esecuzione Monte Carlo.
4. Calcola la media dei risultati della funzione di trasferimento per ogni rete.
5. Calcola la deviazione standard per ogni funzione di trasferimento in #3 per ottenere ẟHi per ogni rete.
6. Usa i risultati da #4, #5 ed Eq. (7) per ottenere la variazione nella tensione di uscita.

In base al numero di dati utilizzati in questo processo, puoi fare un ulteriore passo avanti e ottenere un intervallo di confidenza per i tuoi risultati.
Esempio di calcolo
Perché risolvere tutti questi problemi con le singole funzioni di trasferimento? Per capire il motivo, vediamo un esempio.

Supponiamo di avere tre reti di circuiti con diverse tolleranze dei componenti (1%, 5% e 10%) e di aver già eseguito il processo precedente per determinare la variazione nella funzione di trasferimento di ciascuna rete. Supponiamo che i valori di tolleranza dei componenti si traducano nelle varianze di esempio mostrate nel grafico seguente. Utilizzando Eq. (7), possiamo prevedere la variazione della tensione di uscita per questa rete ipotetica:

Esempio di deviazione standard del calcolo della tensione di uscita per tolleranze e variazioni di componenti conosciute nelle funzioni di trasferimento.

Una variazione del 13,63% potrebbe essere eccessiva, tutto dipende dall'applicazione. In base a ciò, possiamo valutare se determinati gruppi di tolleranze dei componenti debbano essere ridotti.

Ora, poniamo che la variazione della tensione di uscita sia inaccettabile per la nostra applicazione e che vogliamo ottenere una variazione minore. Decidiamo di sostituire le tolleranze del 5% e le tolleranze del 10% con tolleranze dell'1%. Senza eseguire nuove simulazioni, sappiamo immediatamente quale sarà la variazione di uscita. Per un circuito lineare, la riduzione della tolleranza di un fattore 10 dovrebbe ridurre la varianza della funzione di trasferimento di un fattore 10, e così via per altri fattori di riduzione. Avremmo quindi il seguente risultato:

Modifica della deviazione standard del calcolo della tensione di uscita per tolleranze dei componenti più ridotte.

Ridurre la tensione di uscita dal 13,63% al 2,23% è un passo enorme, e per farlo è stato necessario solo un semplice scambio di componenti. Non serve aggiungere nuovi circuiti e neppure modifiche al progetto, basta selezionare alcuni numeri di parte alternativi. Le fasi di riduzione della varianza di questo tipo sono esattamente la soluzione che potrebbe servirti nelle applicazioni analogiche di precisione.

Supponiamo ora di voler cambiare la frequenza operativa. In tal caso, è possibile utilizzare i dati della funzione di trasferimento ottenuti dalle simulazioni Monte Carlo per determinare in che modo varia la tensione di uscita a seconda della nuova frequenza, utilizzando lo stesso calcolo.

Riepilogo e confronto

Conoscendo l'incremento della varianza nelle diverse reti a cascata per ottenere una varianza totale della tensione di uscita, è possibile determinare direttamente come varierà la tensione di uscita eseguendo una delle seguenti operazioni:

• Sostituire i componenti di una rete con parti dalle tolleranze più strette
• Sostituire una rete con una rete completamente diversa
• Aggiungere un'altra rete alla cascata

Il metodo di perturbazione mostrato sopra è applicabile solo ai filtri o agli amplificatori nelle serie a cascata. Se hai delle reti parallele, le funzioni di trasferimento si sommano, rendendo molto più semplice l'analisi della varianza mostrata sopra. Inoltre, è possibile utilizzare questa idea per derivare un'espressione di varianza per combinazioni di reti in serie e in parallelo. Indipendentemente da come si organizzano le reti di circuito per ottenere un'espressione di varianza, si applica lo stesso metodo di simulazione e analisi mostrato in precedenza.

Se sei interessato a eseguire simulazioni Monte Carlo e i calcoli della funzione di trasferimento per i tuoi circuiti all'interno di Altium Designer®, troverai questi strumenti di simulazione integrati nel motore SPICE nell'editor dello schematico. Una volta che hai completato il tuo PCB e sei pronto per condividere le tue progettazioni con collaboratori o produttori, puoi condividere le tue progettazioni completate tramite la piattaforma Altium 365™. Tutto ciò di cui hai bisogno per progettare e produrre elettronica avanzata è disponibile in un unico pacchetto software.

Questo è solo un assaggio di tutto ciò che è possibile fare con Altium Designer su Altium 365. Inizia oggi stesso la tua prova gratuita di Altium Designer + Altium 365.