Función de transferencia de una línea de transmisión a partir de los parámetros ABCD y S

A los diseñadores de circuitos y placas les gusta utilizar parámetros S para describir el comportamiento de la señal a su paso por una interconexión. Estos importantes parámetros tienden a generalizarse en exceso (en mi opinión), y hay otras magnitudes, también importantes, que pueden ser más fáciles de calcular si se utilizan otros parámetros. Concretamente, la función de transferencia de línea de transmisión es una magnitud importante utilizada para cálculos y simulaciones de integridad de la señal, sobre todo cuando se modela una interconexión en medios con pérdidas.

Una función de transferencia de línea de transmisión también permite simular el comportamiento de la señal para cualquier estímulo de entrada utilizando una función de respuesta al impulso, lo cual es un aspecto importante de las simulaciones de integridad de la señal de alta velocidad y modelos para los estándares de señalización modernos. La eficacia de este método parece haber caído en el olvido para muchos ingenieros de PCB y ha pasado a ser competencia de los ingenieros de CI. A menudo, los diseñadores de PCB utilizan herramientas de simulación predeterminadas para examinar este aspecto del diseño de las interconexiones, lo que inevitablemente produce resultados incorrectos porque no tienen en cuenta todos los efectos de la alta velocidad en un canal real.

A pesar de estos inconvenientes, hay algunos cálculos simples que puedes realizar para obtener una visión precisa de cómo se comportará una señal en líneas de transmisión reales con componentes de carga y terminación reales. Veamos una forma sencilla pero eficaz de calcular la función de transferencia de las líneas de transmisión y conocer mejor el sistema.

Ecuaciones de la función de transferencia de la línea de transmisión

Con diferencia, la forma más sencilla de calcular una función de transferencia de una línea de transmisión es utilizando parámetros ABCD o parámetros S. Yo prefiero utilizar parámetros ABCD porque me dedico a la creación de modelos y porque son más fácilmente generalizables a cualquier línea de transmisión. Al fin y al cabo, se definen directamente a partir de la solución general para una línea de transmisión. Personalmente, creo que los parámetros S se generalizan en exceso y se aplican incorrectamente en situaciones en las que no acaban de encajar del todo conceptualmente. Creo que es importante tener en cuenta que existen otras ecuaciones para convertir entre diferentes tipos de parámetros (por ejemplo, parámetros Z, parámetros Y, etc.), por lo que siempre puedes encontrar la forma de llegar a la función de transferencia de una línea de transmisión.

Al final del artículo repasaré por qué es necesario llegar a una función de transferencia para una línea de transmisión, por si todavía no tienes clara su importancia. Por ahora, solo tienes que saber que, independientemente del enfoque que desees adoptar, los parámetros ABCD y los parámetros S ofrecen algunas ventajas concretas:

• Por qué utilizar parámetros ABCD: Los parámetros ABCD se definen directamente a partir de la solución general para cualquier línea de transmisión (siempre que se trate de un sistema LTI). Son mucho más generalizables que los parámetros S, incluidos los casos con rugosidad de cobre, dispersión causal y pérdidas por trama de fibra o efecto piel. Los parámetros ABCD son los que mejor funcionan con las redes en cascada (por ejemplo, redes del tipo línea + derivación + línea + rama de carga), ya que permiten unir varias matrices de parámetros ABCD. 
   
• Por qué utilizar parámetros S: Los parámetros S son parámetros que normalmente medirías en una configuración estándar para caracterizar canales de alta velocidad con anchos de banda de varios GHz. Por lo tanto, es natural utilizarlos para calcular una función de transferencia de una línea de transmisión, ya que no es necesario hacer otra inversión complicada a partir de las impedancias. Ambos conjuntos de parámetros se pueden generalizar a redes de n puertos, pero los parámetros ABCD requieren la construcción de una matriz de funciones de transferencia, mientras que los parámetros S son fáciles de extender a cualquier número de puertos. 

Si puedes aceptar los argumentos anteriores para utilizar los parámetros ABCD en lo que a la teoría se refiere y seguir con los parámetros S para la parte experimental, significará que ya estás listo para pasar a las ecuaciones importantes que te harán falta.

A partir de los parámetros ABCD

La definición estándar de los parámetros ABCD se muestra a continuación. Estas ecuaciones se aplican a cualquier línea de transmisión, siempre que conozcas su impedancia y constante de propagación:

El término Z0 en la ecuación del parámetro ABCD es la impedancia característica de la línea de transmisión.

Fíjate que la matriz de parámetros ABCD, que es invertible, está definida "al revés" en el sentido de que relaciona la tensión/corriente de entrada (es decir, mirando hacia la carga) con la tensión/corriente de salida. Hasta aquí, todo bien. Para crear una relación que muestre la tensión/corriente de salida como una función de tensión/corriente de entrada, solo tienes que calcular la matriz inversa. No es necesario hacer esto para encontrar la función de transferencia para una línea de transmisión. Puedes usar los parámetros ABCD definidos anteriormente con la siguiente fórmula a fin de obtener la función de transferencia de la línea de transmisión:

Un punto a destacar en este debate es que la función de transferencia de la línea de transmisión y las ecuaciones anteriores para los parámetros ABCD no dependen de una impedancia de referencia. Los términos ZS y ZL en la ecuación de la función de transferencia anterior surgen porque estamos considerando que este circuito está realmente conectado a una impedancia de fuente (ZS) y de carga (ZL) específicas. La impedancia de referencia cobra importancia al analizar las mediciones de los parámetros S porque los VNA dependen de una impedancia de referencia para interpretar dichas mediciones.

A partir de los parámetros S

El otro enfoque para este problema es utilizar parámetros S. Como he mencionado anteriormente, esto es perfecto si dispones de algunas mediciones de los parámetros S de tu canal y quieres obtener la función de transferencia asumiendo que ZS = ZL = impedancia de referencia. En este caso, los parámetros S hacen referencia a una impedancia Z específica en ambos puertos, y puedes utilizar una conversión simple de parámetros S a parámetros ABCD:

Tras la conversión de parámetros S a parámetros ABCD, bastará con introducirlos en la ecuación de la función de transferencia mostrada arriba y habrás terminado. Recuerda que Z en esta ecuación es la impedancia de referencia, que suele tomarse como la carga o la impedancia característica de la línea.

También puedes calcular los parámetros S directamente a partir de los parámetros ABCD en el caso de que no dispongas de las mediciones de los parámetros S. La siguiente fórmula muestra los parámetros S definidos a partir de los parámetros ABCD suponiendo que ambos puertos tengan la misma impedancia de referencia. Puedes utilizarlos para calcular una función de transferencia de línea de transmisión. Una vez más, ten cuidado con la impedancia de referencia en la siguiente fórmula:

La ecuación anterior se utilizaría para predecir lo que se observaría en una medición con una impedancia de referencia específica (Z), como, por ejemplo, con un VNA.

Si tenemos diferentes impedancias de puerto, como una impedancia de fuente específica Z01 = ZS y una impedancia de carga Z02 = ZL, tendremos los parámetros S definidos como:

Finalmente, con cualquiera de las ecuaciones anteriores, podemos calcular la función de transferencia utilizando los parámetros S y los coeficientes de reflexión en la fuente y en la carga (puertos 1 y 2, respectivamente):

Otras funciones de transferencia

Recuerda que un parámetro S es en sí mismo una función de transferencia, pero no en el sentido de que proporcione una respuesta un impulso conceptualmente útil. Se puede decir lo mismo de los parámetros Z y los parámetros Y, que no tienen significados conceptualmente satisfactorios. Por eso se suele utilizar una función de transferencia de la línea de transmisión (a efectos de filtros y amplificadores) para la caracterización de los canales de alta velocidad, ya que su función de respuesta a los impulsos sí que tiene un significado muy concreto en un canal o circuito.

Una vez calculada la función de transferencia de la línea de transmisión, recuerda que es de banda limitada, por lo que tendrás que aplicar una función de ventana para poder calcular la respuesta del canal. Numéricamente, creo que es más fácil obtener la respuesta del canal usando la transformada inversa de Fourier y la función de transferencia con ventana H(f):

Otra posibilidad es calcular la respuesta del canal mediante el teorema de convolución, es decir, con la función de respuesta al impulso del canal. Esto indica exactamente cómo responderá el canal cuando se excite con un estímulo arbitrario. Una vez que hayas encontrado la función de transferencia de la línea de transmisión y estés listo para diseñar tu canal, utiliza las herramientas de diseño y trazado de Altium Designer®. Tendrás a tu disposición todas las funciones de enrutamiento y diseño necesarias para enrutar fácilmente las líneas de transmisión y las geometrías de las guías de ondas.

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