Las ventajas de los parámetros ABCD para el análisis de PCB

Si consultas un libro de texto de diseño de electrónica de microondas, encontrarás una serie de parámetros que se utilizan para describir las redes con un número n de puertos. Parámetros S, parámetros ABCD y parámetros H: todos tienen su lugar en el diseño y el análisis de PCB. Hoy en día, muchos conceptos importantes en relación con la integridad de las señales analógicas son fundamentales para determinar la integridad de las señales digitales, y las herramientas de análisis utilizadas por los especialistas en microondas deben transferirse a la comunidad digital.

Y aquí es donde entran en escena los parámetros S y los parámetros ABCD de la aplicación. Estos dos conjuntos de parámetros de red brindan a los diseñadores una forma sencilla de describir el comportamiento de la señal en redes de n puertos, aunque la mayoría de los ejemplos solo se planteen para redes de dos puertos. Sin embargo, se pueden convertir entre sí al igual que otros parámetros de línea de transmisión, y el tiempo dedicado a predecir y analizar el comportamiento de la señal puede resultar más efectivo si aplicas los parámetros ABCD para los circuitos y las interconexiones. En este artículo, analizaré algunas de las ventajas de los parámetros ABCD y por qué puede resultar preferible utilizarlos en lugar de los parámetros S para el análisis de PCB.

¿Qué son los parámetros ABCD?

Los parámetros ABCD (también conocidos como parámetros de transmisión) son un conjunto simple de ecuaciones que relacionan la tensión y la corriente en la entrada de una red de n puertos con la tensión y la corriente medidas a la salida de la red. Lo admito, es una definición muy amplia y recuerda bastante a la de los parámetros S. De hecho, los parámetros S se pueden calcular a partir de los parámetros ABCD y viceversa. Sin embargo, son conceptual y matemáticamente diferentes. La definición de una matriz de parámetros ABCD para una red de dos puertos se muestra a continuación.

La aplicación de los parámetros ABCD es sorprendentemente fácil de calcular para elementos de circuito individuales en una red, así como en modelos fenomenológicos que describen su comportamiento. Si quieres un buen recurso que contenga parámetros S y parámetros ABCD para una variedad de redes de dos puertos, echa un vistazo a este documento de Caspers. Se trata de un recurso excelente para el diseño de circuitos de microondas y de líneas de transmisión.

¿Por qué usar parámetros ABCD en lugar de parámetros S?

Francamente, casi todas las discusiones que he escuchado sobre la definición de los parámetros S para redes de dos puertos acaban por dar ecuaciones incoherentes. Esto no quiere decir que todo el mundo esté equivocado, sino que estas descripciones de parámetros S se definen para sistemas muy específicos y la falta de contexto (o incluso de diagramas) crea mucha confusión, especialmente para los principiantes. En ocasiones, hasta hacen que me cuestione mi propia comprensión. La consecuencia es que es fácil acabar utilizando una definición de parámetro S en un sistema en el que no es aplicable. Así pues, no te fíes de la mayoría de las definiciones de parámetros S que encuentres en Internet, porque son pésimas a la hora de comunicar explícitamente dónde se aplica la definición.

La siguiente tabla compara los parámetros S con los parámetros ABCD en varios aspectos. Como puedes ver, ambos conjuntos de parámetros omiten cierta información sobre el comportamiento de la señal y no hay un conjunto de parámetros objetivamente «mejor» que puedas usar.

Teniendo esto en cuenta, hay dos razones principales por las que podrías preferir utilizar los parámetros ABCD en lugar de los parámetros S para algunos análisis de integridad de la señal de la PCB: los cálculos de funciones en cascada y de transferencia.

Definición simple de cascada

Siempre me había parecido que el parámetro ABCD estaba formulado al revés, hasta que empecé a estudiar las redes en cascada. Si miras la definición anterior, es fácil ver cómo se puede crear una matriz ABCD en cascada multiplicando matrices de parámetros ABCD individuales para diferentes elementos de circuito. La siguiente imagen muestra la definición de una matriz de parámetros ABCD en cascada en términos de una red de dos puertos formada a partir de tres elementos independientes.

Fíjate que esta definición se extiende directamente a redes de n puertos o redes con cualquier número de elementos en cascada. Esta definición simple de multiplicación de matrices es una de las ventajas más significativas de los parámetros ABCD, ya que no existe una definición análoga para los parámetros S. De hecho, los programas que pueden calcular matrices de parámetros S en cascada convierten las matrices a lo que son los parámetros ABCD (¿algún fan de MATLAB por aquí?) para obtener los parámetros S para la red en cascada equivalente.

Ya he mencionado que «no hay una definición análoga» para las cascadas de parámetros S. Esto no siempre es cierto: sin duda se pueden encontrar ejemplos de parámetros S que se transmiten en cascada mediante la multiplicación directa. La cuestión es si se observan en la práctica y, sobre todo, en las PCB. Debido a que, en la práctica, la reflexión es distinta a cero y a que las líneas de transmisión reales tienen pérdidas distintas a cero, en la realidad, los canales para señales de alta velocidad en las PCB no podrán conectarse en cascada mediante multiplicación directa.

Cálculo directo de parámetros S, función de transferencia y respuestas a impulso

Tal como señala Jason Ellison en un artículo reciente, todos los parámetros S son un tipo de función de transferencia con un significado físico concreto. Lo mismo puede decirse de la aplicación de los parámetros ABCD, que muestra cómo la tensión y la corriente se transforman entre sí en una red. Sin embargo, también puedes calcular una función de transferencia estándar sin unidades (es decir, en el argot de diseño de circuitos) directamente desde los parámetros ABCD.

Para una red de dos puertos terminada conectada a una impedancia fuente ZS y a una impedancia de carga ZL, la función de transferencia de la red es:

Por ejemplo, con una línea de transmisión, los parámetros ABCD se calculan utilizando la impedancia característica de la línea tal como se describe en este artículo (puedes obtener los parámetros S de los parámetros ABCD en este artículo) o del artículo de Caspers que he enlazado más arriba. Lo bueno de la fórmula anterior es que no depende de una impedancia de referencia, solo en la impedancia característica de la línea.

Para las redes de n puertos es posible calcular una función de transferencia a mano, pero te encontrarás con varias funciones de transferencia que definan la transferencia de las señales entre cada par de puertos. Para un número más elevado de puertos, este problema puede resultar inabordable si se calcula a mano, pero una simple calculadora de ecuaciones lineales (MATLAB, Mathematica, etc.) puede hacerlo por ti.

Una vez que tengas una función de transferencia para una red (o varias funciones de transferencia para redes de n puertos), podrás calcular la función de respuesta al impulso de la red. Esto te permite simular cómo se comportará una señal arbitraria de entrada a tu red en el dominio de tiempo siguiendo un proceso sencillo:

1. Construye una red ABCD en cascada mediante la multiplicación de matrices utilizando las matrices ABCD definidas en el artículo de Caspers.
2. Convierte la matriz ABCD en cascada en una función de transferencia.
3. Convierte tu función de transferencia en una función de respuesta al impulso usando una transformada de Fourier. No te olvides de aplicar la causalidad en la función de transferencia (consulta la referencia a continuación).
4. Calcula la convolución entre la señal de dominio de tiempo de entrada y la función de respuesta a impulsos.

Si quieres ver cómo se procede en la práctica para calcular la función de respuesta al impulso, lee este artículo de Jason Ellison para una explicación en profundidad. También puedes consultar este documento del IEEE para averiguar cómo aplicar la causalidad en una función de transferencia:

J. Zhang, et al. «Modelos RLGC(f) causales para líneas de transmisión a partir de parámetros S medidos». Transacciones del IEEE sobre compatibilidad electromagnética, 2009.

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