Was ist eine Impulsantwort-Funktion?

Handschriftliche Formel mit kleinen Zeichnungen

Ich las das erste Mal über Impulsantwort-Funktionen im Zusammenhang mit stochastischen Analysen, als ich mich mit Portfoliomanagement beschäftigte – noch bevor ich in der Elektronikbranche zu arbeiten begann. Zwar stieg ich nicht so tief in die Materie ein, Impulsantwort-Funktionen zu extrahieren, um zu untersuchen, wie plötzliche Asset-Preisänderungen miteinander in Beziehung stehen, aber das zugrunde liegende Konzept ist überaus nützlich für das Verständnis physikalischer Systeme. Als ich begann, mich mit kausalen Kanalmodellierungs- und Designtechniken zu beschäftigen, erkannte ich, wie wichtig es ist, die Impulsantwort-Funktionen für verschiedene Kanalparameter zu verstehen.

Was ist also eine Impulsantwort-Funktion? Wie der Name vermuten lässt, definiert diese Funktion, wie ein physikalisches System auf ein Eingangsimpuls reagiert. Es mag vielleicht etwas eigenwillig klingen, aber der Begriff „Impuls“ hat eine wohl definierte mathematische Bedeutung, die wir zur Charakterisierung eines Übertragungskanals, z. B. auf einer High-Speed-Leiterplatte, verwenden. Mögliche Anwendungsbereiche sind jegliche Art von Ethernet-Anwendungen, SerDes-Kanäle, Lichtwellenleiter, Koaxialkabel usw. Hier erfahren Sie, wie Sie eine Impulsantwort-Funktion für einen High-Speed-PCB-Kanal ermitteln und diese nutzen können, um Ihre Schaltung besser zu verstehen.

Was ist eine Impulsantwort-Funktion?

Ein lineares, zeitinvariantes System (LTI) – was PCBs zweifellos sind, solange wir keine magnetischen Substrate verwenden – zeigt eine definierte Reaktion, wenn es mit einem bestimmten Eingangssignal beaufschlagt wird (egal ob es sich dabei um Spannungen, Ströme oder Leistungen handelt). Bei den gegenwärtig verfügbaren PCB-Materialien sind alle High-Speed-Kanäle auf einem PCB-Substrat lineare Systeme, und sie sind sicherlich zeitinvariant (d. h., die Materialparameter ändern sich über die Zeit nicht). Stellen Sie sich eine unterdämpfte RLC-Schaltung vor: Die Reaktion am Schaltungsausgang ist eine gedämpfte abklingende Schwingung, die sich einem endgültigen Spannungswert asymptotisch annähert. Die vorliegende Wellenform im Zeitbereich lässt sich direkt berechnen, wenn Sie die Impulsantwort-Funktion der Schaltung kennen.

Dies gilt nicht nur für RLC-Netzwerke. Sie können die Impulsantwort eines Kanals oder einer Schaltung auf ein beliebiges Eingangssignal einfach mit der Impulsantwort-Funktion des Systems simulieren. Die Antwort R(t) des Kanals auf ein gegebenes Eingangssignal S(t) wird durch eine Faltung mit der Impulsantwort-Funktion h(t) des Kanals definiert:

Die Kanalantwort R(t) und das Eingangssignal S(t) sind durch die Impulsantwort-Funktion miteinander verbunden.

Beachten Sie, dass jedes Programm mit grundlegenden Signalverarbeitungsfähigkeiten (wie Mathematica oder MATLAB) Ihnen Faltungsfunktionen zur Verfügung stellen und das obige Integral für Sie berechnen können. Dieses Integral sagt einem buchstäblich alles, was man über den Kanal wissen muss: Egal, welches Signal in den Kanal eingespeist wird, ich kann vorhersagen, wie das Signal am Kanalausgang aussehen wird, solange mir h(t) bekannt ist. Dies ist entscheidend für die Bewertung der folgenden Effekte bei High-Speed-PCBs:

• Fasergewebebedingte Effekte (gewebebedingter Versatz, Hohlraumresonanz-Leistungsverluste durch periodische Belastung)
• Dispersion (Abflachung eines Signals aufgrund der Frequenzabhängigkeit der Lichtgeschwindigkeit und frequenzabhängiger Verluste)
• Ecken, Biegungen und Lagenübergänge (z. B. Via-Ausführung bei mmWave-Frequenzen)
• Alle anderen Quellen von Signalverzerrungen

Wenn Sie eine Impulsantwort-Funktion grafisch darstellen, sieht sie wie ein Impuls aus, der einen Kanal durchlaufen hat und schnell auf null abklingt. Beachten Sie, dass dies nur ein mathematisches Hilfsmittel ist, das Ihnen sagt, wie der Kanal auf eine Delta-Funktion bei t = 0 reagiert. Es handelt sich nicht um die tatsächliche Signalform im Zeitbereich für R(t). Um eine Impulsantwort-Funktion für Ihr System zu erhalten, bedarf es ein wenig Mathematik und einer fundierten Interpretation.

Ermittlung einer Impulsantwort-Funktion aus Messungen

Obwohl es sich bei einer Impulsantwort-Funktion um eine Zeitfunktion handelt, können Sie diese nicht präzise durch direkte Messung ermitteln. Bei einer Messung der Impulsantwort im Zeitbereich wird diese immer bandbreitenbegrenzt sein, da ein in einem High-Speed-Kanal eingespeister Impuls niemals eine Anstiegs-/Abfallzeit von null aufweisen kann. Sie müssten dafür immer noch eine Übertragungsfunktion berechnen, diese anschließend in den Zeitbereich konvertieren und jede Konvertierung erzeugt nicht-kausale Fehler (mehr zu Kausalität weiter unten).

Aus diesem Grund bevorzugen wir Messungen im Frequenzbereich und konvertieren die Ergebnisse dann zurück in den Zeitbereich, um die Impulsantwort-Funktion eines Kanals zu messen. Wenn Sie die Netzwerkparameter des Kanals haben (S-, Y-, Z-, T-, ABCD- oder H-Parameter), können Sie die Impulsantwort-Funktion aus diesen Parametern mithilfe einer inversen Fourier-Transformation berechnen:

1. Messen Sie die relevanten Netzwerkparameter für Ihren Kanal (S-, Y-, Z-, T-, ABCD- oder H-Parameter).
2. Berechnen Sie Ihre Übertragungsfunktion aus diesen Parametern (Hinweis: ein S-Parameter ist in Wirklichkeit eine Übertragungsfunktion).
3. Ermitteln Sie die inverse Fourier-Transformation der Übertragungsfunktion (ich habe diese als Matrix für ein MIMO-System geschrieben):

Allgemeine Form einer Impulsantwortmatrix h in Form einer Parametermatrix P.

Glückwunsch! Sie haben Ihre Netzwerkparameter gemessen und daraus die Impulsantwort-Funktion berechnet, die sich auf Ihre spezielle Parametermatrix bezieht. Die Interpretation einer solchen Impulsantwort-Funktion ist jedoch eine ganz andere Sache, denn nicht alle sind gleich beschaffen.

Interpretation einer Impulsantwort-Funktion

Hier treten vermutlich die meisten Unklarheiten im Zusammenhang mit Impulsantwort-Funktionen auf. Wenn Sie einfach eine Übertragungsfunktion aus Ihren Parametern berechnen, ist es egal, welche Parameter Sie dafür verwenden. Die verschiedenen Parameter, die Sie messen können (am häufigsten S-Parameter), sind jedoch selbst Übertragungsfunktionen. Zum Beispiel messen S-Parameter, wie die von einer elektromagnetischen Welle übertragene Leistung durch einen Kanal oder ein Schaltungsnetzwerk übertragen wird. 

Eine Impulsantwort-Funktion, die z. B. aus einem Z-Parameter berechnet wird, hat nicht die gleiche physikalische Repräsentation wie die Impulsantwort, die z. B. aus den S-Parametern des Kanals berechnet wird. Genau genommen haben sie nicht einmal die gleichen Einheiten! Zum Beispiel hat die aus einem Z-Parameter berechnete Impulsantwort-Funktion die Einheit Ohm/s. Der vielleicht wichtigste Punkt, den frisch gebackene SI-Ingenieure oft nicht kennen, ist: Die Impulsantwort-Funktion sagt nichts darüber aus, wie sich die Impedanz oder ein anderer Systemparameter über die Zeit verändert (wir haben es hier mit einem LTI-System zu tun; daher ist die Impedanz definitionsgemäß nicht zeitabhängig). Jede Impulsantwort-Funktion hat eine genaue mathematische Bedeutung, die nicht buchstäblich als physikalische Repräsentation genommen werden sollte.

Kaskadierte Netzwerke

Was ist mit hintereinandergeschalteten Netzwerken? Wenn Sie mit der Netzwerktheorie vertraut sind, dann wissen Sie, dass eine Parametermatrix für ein kaskadiertes Netz durch die Multiplikation der Matrizen der einzelnen Netze gefunden werden kann. S-Parameter müssen jedoch zunächst in T-Parameter oder ABCD-Parameter umgerechnet, die entsprechenden Matrizen für diese neuen Netzwerkparameter multipliziert und dann wieder in die S-Parameter für das kaskadierte Netzwerk umgerechnet werden. Betrachten wir als Beispiel die ABCD-Parameter von zwei Netzwerken (A verbunden mit B): Die Äquivalenzmatrix für ein Signal, das über die Strecke Eingang → A → B → Ausgang übertragen wird, ist einfach das Produkt der jeweiligen ABCD-Parametermatrizen, wie unten dargestellt.

Die Impulsantwort-Funktion für ein kaskadiertes Netzwerk (C) würde einfach die inverse Fourier-Transformation der S-Parameter in der C-Matrix verwenden.

Eine ähnliche Beziehung können Sie mit T-Parametern ableiten. Tatsächlich nutzt MATLAB bei der Berechnung der kaskadierten S-Parameter die ABCD-Parameter zur Bestimmung der entsprechenden S-Parameter des kaskadierten Netzwerkes. Um in ABCD-Parameter oder T-Parameter für ein S-Parameter-Netzwerk umzurechnen, beachten Sie die folgenden Ausführungen von Caspers (Anhang 1). Dort finden Sie einige einfache Formeln, die Sie verwenden können. Ferner enthält dieser IEEE-Artikel auch einige Beispiele für kaskadierte S-Parameter.

Was ist mit Kausalität?

Die obige Diskussion hat einen entscheidenden Punkt der Signalintegritätssimulationen und der Modellierung von Kanalantworten zunächst vernachlässigt: die Kausalität. Prinzipiell bedeutet Kausalität, dass ein Kanal an seinem Ausgang erst dann auf ein Eingangssignal reagieren kann, wenn dieses am Kanaleingang eintrifft.

Um die Kausalität Ihrer Kanalparameter (seien es S-, Y-, Z-, T- oder H-Parameter) zu überprüfen, müssen Sie sich nur die Impulsantwort-Funktion ansehen. Ist die Impulsantwort-Funktion zu jedem Zeitpunkt vor t = 0 ungleich Null, dann ist die Impulsantwort-Funktion nicht kausal. Mit anderen Worten, die Impulsantwort-Funktion gibt an, dass der Kanal auf das Eingangssignal bereits reagiert, bevor dessen Übertragung über den Kanal begonnen hat, was offensichtlich inkorrekt ist.

Im Allgemeinen werden gemessene Impulsantwort-Funktionen nicht kausal sein, da jede Messung bandbreitenbegrenzt ist. Jason Ellison erörtert dies alles sehr gut in einem kürzlich erschienenen Blog-Beitrag, weshalb ich seine Anmerkungen hier nicht wiederholen möchte. Werfen Sie einen Blick auf seinen Blog, um mehr über Kausalkorrekturen zu erfahren.

Signalverarbeitung ist zwar nicht ganz einfach, aber sobald Sie verstehen, was eine Impulsantwort-Funktion ist und was sie für Ihr PCB bedeutet, können Sie das benötigte Design in Altium Designer® implementieren. Altium Designer auf Altium 365® bietet ein in der Elektronikindustrie bisher nie dagewesenes Maß an Integration. Bislang war diese ausschließlich der Welt der Softwareentwicklung vorbehalten, sodass Entwickler nun von zu Hause aus arbeiten und ein noch nie dagewesenes Maß an Produktivität erreichen können.

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