Skąd pochodzi wzór na częstotliwość kolanową?

Kontynuując tę krótką serię na temat błędnych przekonań dotyczących integralności sygnałów wysokiej prędkości, istnieje jedno równanie, które pojawia się raz za razem w podstawowych dyskusjach na temat integralności sygnału. To równanie to tak zwana formuła częstotliwości kolana, która jest używana zamiennie z pewną częstotliwością -3 dB. Co ciekawe, często podaje się ją jako wartość najwyższej częstotliwości zawartej w pasmie sygnału, co nie jest prawdą.

Zanim nawet zaczniemy tę dyskusję, musimy poruszyć bardzo ważny punkt:

Powyższe stwierdzenie można udowodnić za pomocą podstawowego obliczenia szeregu Fouriera. Obliczenie to czasami jest zadawane jako problem domowy na zajęciach z elektroniki i na zajęciach z matematyki na poziomie średnio zaawansowanym.

Częstotliwość kolana to kolejna z tych starych wytycznych, która jest cytowana w sytuacjach, gdy nie ma zastosowania, i można udowodnić, że jest nieprawidłowa w rzeczywistych systemach. Podstawowe zrozumienie koncepcji stojącej za częstotliwością kolana jest również źle rozumiane przez wielu projektantów, w tym przez nowszych projektantów próbujących swoich sił w tematach SI.

Mając to za sobą, zagłębmy się w znaczenie częstotliwości kolana i jej koncepcyjne pochodzenie.

Dlaczego projektanci przytaczają częstotliwość kolana

Częstotliwość kolana jest często przytaczana w dwóch obszarach:

• Testowanie i pomiary, szczególnie przy pomiarach obwodów RC lub filtrów dolnoprzepustowych za pomocą analizatorów częstotliwości lub oscyloskopów
• W projektowaniu PCB wysokiej prędkości, gdzie jest podawana jako najwyższa wartość częstotliwości zawarta w sygnale cyfrowym

Osoby zajmujące się testowaniem i pomiarami mają rację i rozumieją, co mierzą: mierzą odpowiedź kanału na jakiś sygnał wejściowy. Drugi punkt jest poprawny tylko w określonych sytuacjach i jest błędnie przypisywany sygnałowi, a nie kanałowi. Aby zrozumieć, dlaczego tak jest, musimy wrócić do prostego modelu kanału i przyjrzeć się zakończeniu kanału, a następnie możemy wywnioskować odpowiedź kanału w odniesieniu do czasu narastania obserwowanego w kanale.

Wyprowadzenie częstotliwości kolana

Częstotliwość kolana jest wyznaczana poprzez rozważenie czasu narastania sygnału, który jest dostarczany do obwodu RC. W tej prostej sytuacji, idealna fala kwadratowa jest wprowadzana do kanału z obwodem RC jako obciążenie, jak pokazano poniżej. Powodem, dla którego jest to używane, jest fakt, że skutecznie reprezentuje to bezstratną jednostronną linię transmisyjną tylko z pojemnością obciążenia (bez specyfikacji impedancji); dwie powszechne sytuacje, gdzie ma to praktyczne znaczenie, to szybkie GPIO i magistrale SPI.

Opór w tym schemacie może być prostą impedancją rezystancyjną lub linią transmisyjną; to właśnie stanowi podstawę do wyprowadzania funkcji transferu linii transmisyjnej z dowolnymi impedancjami obciążenia. Przeczytaj powiązany artykuł, aby dowiedzieć się więcej na ten temat.

W powyższym przypadku, wprowadzamy idealną falę kwadratową, co oznacza, że fala kwadratowa ma czas narastania dokładnie 0 sekund według definicji. Pasmo tego sygnału jest nieskończone, co można udowodnić, analizując jego szereg Fouriera. Gdyby to była idealna sygnał logiki wprowadzana do kanału, który jest zakończony naszym obwodem RC, powinniśmy zapytać: jak zmieni się napięcie na kondensatorze w odpowiedzi na przeciąg czasu?

Jest to proste zadanie do rozwiązania w dziedzinie Laplace'a przy użyciu funkcji przenoszenia; napięcie na końcu odbiornika kanału (na kondensatorze) jest dane dobrze znanym wzorem:

gdzie u(t) to funkcja skokowa Heaviside'a. Następnie możemy obliczyć czas narastania od 10% do 90% tego napięcia w terminach stałej czasowej. Jeśli obliczysz ln(V(90%)/V(10%)), to otrzymasz następujący wynik:

Co właśnie obliczyliśmy? Z pewnością nie był to czas narastania sygnału, który wprowadziliśmy do kanału... ten został zdefiniowany jako zero! To, co obliczyliśmy, to tylko czas narastania napięcia widzianego na odbiorniku spowodowany tylko interakcją między sygnałem a odbiornikiem. To samo dostalibyśmy, gdybyśmy modelowali odbiornik jako zakończony na docelowej impedancji.

Jak uzyskujemy z tego wartość pasma przenoszenia? W tym celu po prostu zauważamy, że częstotliwość -3 dB powyższego obwodu RC (często cytowana jako pasmo przenoszenia obwodu) to 2𝜋 podzielone przez stałą czasową. Wtedy otrzymujemy następujący wynik:

Niektóre wyniki podają częstotliwość kolana z prefaktorem 0,5 zamiast 0,35. Bez względu na to, jaki prefaktor jest używany, musimy to interpretować poprawnie. Prawidłowa interpretacja nie jest taka, że sygnał cyfrowy zawiera tylko częstotliwości do wyżej wymienionej wartości, ale że jest to minimalna ilość pasma, jakiej sygnał cyfrowy potrzebuje, aby spowodować eksponencjalne zbliżanie się odpowiedzi, które jest zwykle obserwowane w obwodzie RC.

To prowadzi nas do pierwszego wniosku:

Inny sposób myślenia o częstotliwości kolana jest następujący:

W rzeczywistym połączeniu, gdzie zawsze istnieje pewna odległość między linią a obciążeniem, nie jest to przypadek. Gdy odległość między nadajnikiem a odbiornikiem jest większa, różnica między sygnałem wprowadzonym a odbieranym będzie większa.

Jaka jest odpowiedź kanału przy linii transmisyjnej?

Wynik powyżej informuje nas o minimalnej przepustowości potrzebnej do wywołania odpowiedzi o charakterze wykładniczym. Rozważa on również tylko bezpośrednie połączenie z impedancją rezystancyjną do pojemności obciążenia, nie uwzględniono w ogóle linii transmisyjnej. Rzeczywiste kanały mogą być bardzo różne i możesz nie znaleźć tak prostego wyniku, który odnosi wymaganą przepustowość kanału do jego czasu odpowiedzi, lub do czasu narastania sygnału.

Aby określić odpowiedź kanału, musisz znać:

• Impedancję i stałą propagacji kanału
• Funkcję przenoszenia kanału lub funkcję odpowiedzi impulsowej

Jako przykład, spójrzmy na odpowiedź impulsową obserwowaną przy obciążeniu w rzeczywistym kanale z stratami. Poniższy przykładowy wynik został obliczony w Simbeor; pokazuje on efekty strat w długim kanale typu stripline. Szybkość narastania impulsu na wejściu wynosiła 4,5 ns. Z powodu strat w kanale, impuls został spowolniony do 9,9 ns (ignoruj nierealne oscylacje). Zauważ, że w tym kanale nie mamy pojemności obciążenia; zakłada się, że zakończenie jest idealnie dopasowane. Gdybyśmy mieli jakąś pojemność obciążenia, możliwe jest, że moglibyśmy zobaczyć dalsze spowolnienie szybkości narastania na obciążeniu.

Czy to oznacza, że pasmo sygnału jest ograniczone do 35,4 MHz? Nie; pasmo wstrzykiwanego sygnału jest zawsze nieskończone. Kanał i obciążenie po prostu ograniczają pasmo, które dociera i jest wykorzystywane przez komponent obciążenia; to właśnie dlatego sygnał wejściowy nie wygląda dokładnie jak sygnał wyjściowy, nawet w kanale bezstratnym.

Tutaj mamy cztery ważne wnioski:

Jakie jest pasmo sygnału cyfrowego?

Pasmo wszystkich sygnałów cyfrowych, nawet gdy są wprowadzane do kanału i mają spowolnioną szybkość narastania, jest zawsze nieskończone. Nie ma maksymalnej częstotliwości. Udowodnienie tego jest prostym problemem, który obejmuje obliczenie współczynników w szeregu Fouriera. Aby to pokazać, rozważ sygnał trapezowy z określonymi czasami narastania i opadania, jak pokazano na poniższym diagramie.

Jeśli użyjesz zespolonych eksponent jako funkcji bazowych ortonormalnych w swojej reprezentacji szeregu Fouriera, możesz pokazać, że maksymalne amplitudy częstotliwości Fouriera podążają za trendem funkcji sinc; prawie ten sam wynik znajduje się przy fali kwadratowej. Ta funkcja zawiera nieskończone harmoniczne; nie ma górnej częstotliwości odcięcia, jak sugeruje typowa interpretacja częstotliwości kolana. Śledź ten link, aby znaleźć wyprowadzenie (strony 3-20 do 3-26) koperty sinc.

Pytanie, które należy zadać, brzmi: ile z tego nieskończonego pasma naprawdę ma znaczenie? To zależy… pasmo, które naprawdę ma znaczenie, to ilość pasma, które odbiornik potrzebuje do prawidłowej interpretacji sygnału cyfrowego. Kanał musi obsługiwać to minimalne pasmo.

Nawet w bardziej realistycznej sytuacji, gdy kształt sygnału jest przybliżany jako mający krawędź Gaussa lub Lorentza, pasmo przenoszenia jest nadal nieskończone. Tutaj przyjrzeliśmy się tylko idealnym falom kwadratowym lub trapezowym, ale bardziej zaawansowane interfejsy obliczeniowe i modulowane sygnały będą wymagały pasm kanałów, które nie mają nic wspólnego z czasem narastania sygnału.

Na przykład, każdy strumień bitów PAM wykazuje tę właściwość, i zrozumienie tego jest bardzo ważne w większości interfejsów obliczeniowych sięgających aż do Ethernetu. Rozważmy kolejny przykład z PAM-4; jeśli użyjesz oszacowania 25% UI dla czasu narastania strumienia bitów 224G PAM-4 i wprowadzisz to do wzoru na częstotliwość kolanową, znajdziesz, że minimalne pasmo kanału wynosi około 157 GHz. W rzeczywistości kanał potrzebuje tylko minimalnego pasma 56 GHz (zobacz ten artykuł, aby uzyskać wyjaśnienie).

Dowiedz się więcej na ten temat i obejrzyj wyprowadzenie częstotliwości kolanowej w tym wideo.

Podsumowanie

Chociaż prawdą jest, że częstotliwość kolanowa jest uniwersalną zależnością niezależnie od pojemności obciążenia i impedancji, dotyczy to tylko bardzo specyficznej sytuacji. Ogólnie rzecz biorąc, nie widzimy, aby ta sytuacja pojawiała się w praktyce, a wzory na częstotliwość kolanową/3 dB są tylko przybliżeniami. W niektórych przypadkach, takich jak strumienie bitowe PAM wspomniane powyżej, te wzory przeszacowują wymaganą przepustowość kanału. Nie mają one również nic wspólnego z przepustowością sygnału cyfrowego, która jest nieskończona.

Kiedy będziesz gotowy, aby rozpocząć projektowanie swoich szybkich PCB, upewnij się, że używasz narzędzi do projektowania i analizy w Altium Designer®. Kiedy zakończysz projektowanie i będziesz chciał przekazać pliki swojemu producentowi, platforma Altium 365™ ułatwia współpracę i udostępnianie projektów.

Dotknęliśmy tylko powierzchni możliwości, jakie oferuje Altium Designer na Altium 365. Zacznij swoją darmową próbę Altium Designer + Altium 365 już dziś.