Cómo el fenómeno de Gibbs produce artefactos medibles

Zachariah Peterson
|  Creado: November 16, 2021
Fenómeno de Gibbs

Las simulaciones de circuitos, de señales y los cálculos de respuesta de impulso en general operan en un mundo ideal donde los anchos de banda no están limitados o donde los artefactos en las señales no son observables en mediciones reales. Desafortunadamente, las interconexiones reales y las mediciones están limitadas por bandas, y esto puede crear artefactos en las mediciones que pueden causar la aparición de un supuesto problema de integridad en la señal, como rebotes de tierra, circulación de ondas reflejadas, o algún nivel de resonancia en interconexiones cortas.

Un artefacto importante es el del zumbido de Gibbs, algo que fue predicho originalmente en los años cercanos al 1840. Este artefacto se muestra como oscilaciones espurias en las medidas de una señal eléctrica o en las respuestas en el dominio de tiempo calculadas a partir de mediciones limitadas por bandas en el dominio de las frecuencias. El zumbido de Gibbs aparece en áreas más allá del diseño electrónico y las interconexiones, y es un problema muy conocido en la toma de imágenes (MRI, tomografía y óptica de Fourier) Si alguna vez has observado una imagen JPEG de baja calidad que ha sido comprimida varias veces, los píxeles manchados alrededor de los bordes agudos de la imagen son una manifestación del zumbido de Gibbs.

Algunas técnicas de procesamiento de imágenes sofisticadas basadas en IA han sido desarrolladas específicamente para quitar el zumbido de Gibbs de las mediciones y transformaciones de señales, pero no tendrás que usar tales medidas extremas como diseñador de PCBs. El fenómeno del zumbido de Gibbs es generalmente encontrado en dos situaciones:

  • Juntando mediciones limitadas en bandas de una línea de transmisión o una interconexión RF
  • Calculando una respuesta en el dominio de tiempo a partir de parámetros de una red limitada en bandas.

En este artículo, analizaremos el primer punto para discutir si podemos obtener mediciones más precisas al explorar el fenómeno de Gibbs.

El fenómeno de Gibbs y el zumbido en mediciones con osciloscopios

Al mirar la sonda de un osciloscopio, quizás veas un zumbido en el flanco ascendente, y posiblemente luego del flanco de bajada de la señal mostrada en pantalla. Hay algunas razones por las que esto puede estar ocurriendo, que discutiré momentáneamente. Al probar una placa, la meta de un diseñador es la de poder distinguir un artefacto de la medida de un problema real en la integridad de la señal en una interconexión o una sonda compensada pobremente para la medición.

Aquí hay un ejemplo de lo que podrías medir en un osciloscopio. El borde de mayor amplitud de la señal exhibe algo de zumbido:

Fenómeno de Gibbs en serie de Fourier
Ejemplo de zumbido en los bordes de mayor y menor amplitud de un pulso cuadrado calculado a orden 7 con una serie de Fourier.

La imagen de arriba muestra un ejemplo exagerado de lo que quizás veas en una medición en el dominio de tiempo. El zumbido en los bordes superiores e inferiores es el fenómeno de Gibbs (o, sencillamente, zumbido de Gibbs) y ocurre porque hemos sumado únicamente hasta el séptimo armónico de la frecuencia fundamental en el ejemplo de arriba. No hay otros problemas de integridad en la señal en el ejemplo de arriba. Si sumáramos teóricamente el límite de todas las frecuencias infinitas para la onda cuadrada del ejemplo, no verías este zumbido. Esto nos da una pista de por qué vemos el zumbido en una medida: el instrumento de medición corta algunos armónicos en la serie de Fourier de la onda cuadrada. Además, puede haber otros problemas de integridad en la señal que causen un zumbido en una medición real, y que éstos sean enmascarados por el zumbido de Gibbs.

Probablemente, la característica más importante de la imagen de arriba ¡es la oscilación subamortiguada ascendente que se ve antes de que haya una transición en la señal! Esto significa que la señal debe anticiparse a la transición, algo que no es físicamente realizable. Por lo tanto, el fenómeno de Gibbs no es algo que pasa en realidad en un canal limitado en bandas, sino que es un problema matemático que puede ser confundido fácilmente con un efecto real, o tapar un efecto real.

Medidas vs Realidad

El diagrama de aquí abajo muestra un ejemplo en el que se compara una señal inyectada en una línea de transmisión con la respuesta ideal. La línea de transmisión modificará sutilmente la señal inyectada, y suavizará la señal debido a las capacitancias en la línea y la carga. Sin embargo, la señal medida todavía podría exhibir zumbido que no esté ocurriendo realmente en la línea de transmisión. Generalmente no hablamos de esto en el diseño de PCBs porque ocurre en los instrumentos de medición y no debido a un elemento específico en el PCB. Sin embargo, es importante para un ingeniero de pruebas o un ingeniero SI el entender qué es lo que podría estar causando esto, y para determinar si es un problema real.

Respuesta de una línea de transmisión.
Señal de entrada en una línea de transmisión vs. respuesta ideal vs. posible respuesta de la medición en un osciloscopio.

Por supuesto, si quieres medir una señal de forma precisa, querrás evitar el zumbido de Gibbs. ¿Cómo se puede hacer esto? Claramente, no es algo que pueda filtrarse y, de hecho, esto es algo que es causado por el filtrado. En general, consideramos una línea de transmisión, una interconexión corta, o un punto de prueba conectado a uno de éstos. No importa cómo una señal se transmita de algún componente a alguna carga; es posible que el efecto de zumbido pueda ocurrir en la medición de esa señal. Algunas de las razonas por las que podría aparecer el zumbido de Gibbs en una medición incluyen:

De la misma forma en la que una medición puede modificar una señal y producir la aparición del zumbido, el intentar simular la respuesta de un circuito para ciertas entradas utilizando parámetros del modelo también producirá zumbidos aparentes. El hacer coincidir el ancho de banda de tu señal con los límites de ancho de banda de tu circuito y tus parámetros de modelo son cuestiones importantes. Para ver cómo funciona esto, analicemos en primer lugar las mediciones en el dominio del tiempo.

El ancho de banda importa en las mediciones en el dominio del tiempo

Claramente, este es un problema del ancho de banda, por lo que tendrás que considerar el ancho de banda del dominio de frecuencias de tu instrumento al medir una señal con un osciloscopio en el dominio de tiempo. Es importante entender cómo un osciloscopio u otros instrumentos de medición funcionan. Los osciloscopios analógicos suman componentes de la frecuencia de la entrada; no operan como un ADC. Por el otro lado, los osciloscopios digitales usan un ADC con una taza de muestreo elevada, las mejores excediendo las 100 gigamuestras/seg. En cualquier caso, la funcionalidad frontend de la entrada determinará qué artefactos aparecerán durante la medición:

  • Osciloscopio analógico: La filtración en la entrada y los pasos DSP en el diseño producirán zumbidos al cortar contenidos de la frecuencia de la señal de entrada.
  • Osciloscopio digital: Estos osciloscopios realizan interpolaciones para reconstruir una señal. La interpolación en la etapa DSP producirá zumbido de Gibbs.

En cualquier caso, el circuito de muestreo del frontend en un osciloscopio se modela típicamente como un circuito de filtrado de orden elevado. Esta no es la manera en la que un receptor digital u analógico real funcionaría, pero es un modelo conceptual útil dado que ayuda a explicar la limitación en el ancho de bandas en una medida real. La imagen de abajo muestra una comparación de respuestas de circuitos de filtrado Butterworth de primer orden y de órdenes más elevados, los cuales pueden producir el zumbido visto en una medida típica de canal.

Funciones de transferencia para filtros pasabajos
Funciones de transferencia para filtros Butterworth (filtros pasabajos RC)

El filtro de primer orden es el único que no producirá zumbido. Todos los filtros de órdenes más altos producirán un zumbido en las mediciones si su ancho de banda está muy próximo al producto entre el tiempo de subida y el ancho de banda para una señal digital. En general, deberías optar por tener un ancho de banda en tu sistema que sea, al menos, tan grande como el ancho de banda de tu señal utilizando una aproximación gaussiana para el paso de filtrado de la entrada del osciloscopio:

Ecuación del ancho de banda del sistema
Requerimientos en el ancho de banda del sistema y el ancho de banda mínimo para medir el tiempo de subida de una señal digital antes de que se propague en una interconexión.

Aquí, hemos establecido el ancho de bandas del pasabajo como la inversa del tiempo de subida para la señal digital que quieres medir, lo cual bastará con sobras para tu medición. Ten presente que, para un filtro de primer orden, el ancho de banda de la señal es 0.35 dividido por el tiempo de subida (llamado también "knee frequency" o frecuencia de corte), pero los filtros de mayor orden tendrán diferentes valores en el numerador. La regla práctica típica es que el ancho de banda de tu osciloscopio debería ser el doble del ancho de banda de la señal para el orden del filtro presente en el frontend de tu osciloscopio, pero establecer el numerador en 1 da como resultado 3 veces el ancho de banda.

Causas físicamente posibles del zumbido

Si tienes suficiente ancho de banda en la sonda y en tu equipo de medición, y aun puedes ver el zumbido, podría estar causado por lo siguiente:

  • Inductancia parásita en la sonda, fixture o conexión de la sonda a la placa, lo cual tendrá un período de oscilación específico. El mover la sonda puede cambiar este período de oscilación.
  • Rebote de tierra debido a una inductancia en el plano de tierra. Esto está determinado completamente por la construcción del canal, y produce un zumbido con una frecuencia de oscilación específica.
  • Reflexiones, aun en líneas perfectamente coincidentes. En porciones elevadas del canal del ancho de bandas, esto ocurre debido a la capacitancia en la carga, lo cual también establece un límite de ancho de banda en el canal.
  • Parasitarios extremos o retornos positivos no planeados a lo largo de la línea de transmisión, por ejemplo en sistemas de alimentación RF que presentan amplificaciones activas o pasivas.

¿Qué sucede en las interconexiones reales?

Ahora que hemos analizado estos aspectos importantes del zumbido de Gibbs en medidas en el dominio del tiempo, debemos preguntarnos: ¿qué está pasando realmente en la interconexión? ¿Es que este zumbido definido por limitaciones en las bandas ocurre de verdad cuando la señal viaja en una interconexión y llega a un componente de carga?

La transferencia de energía a través de una interconexión no genera un zumbido de Gibbs real porque el zumbido de Gibbs es no causal. Mira el primer gráfico de arriba, y verás que el zumbido transitorio producido en la transición de una señal aparece antes de un flanco ascendente o descendente. Podemos ver qué sucede si miramos un circuito equivalente para una interconexión. Las interconexiones reales están limitadas en bandas, y pueden ser examinadas con el siguiente diagrama de circuito:

Capacitancia de la entrada de una línea de transmisión.
Diagrama de circuito equivalente para una interconexión, que incluye una capacitancia de carga, y una resistencia de terminación.

De este circuito, únicamente considerando la capacitancia de la carga, podemos ver que todas las líneas de transmisión están conectadas a un filtro de primer orden (la entrada en el receptor), lo cual no producirá ningún zumbido de Gibbs. Desafortunadamente, asumir esto es incorrecto si supones que todas las líneas de transmisión tienen la impedancia típica de 50 Ohms. Los factores que determinarán si aparecerá el zumbido de Gibbs son:

Como resultado, una función real de transmisión de una línea de transmisión es aproximadamente de un orden fraccionario, y no de primer orden, dependiendo primariamente de la dispersión y la rugosidad en la interconexión. Esta es un área en la que me encuentro envuelto activamente en la investigación y el modelado, además de extraer parámetros de las mediciones. Todo esto significa que una medición limitada en bandas, aun con una función de transmisión fraccionario, aún requiere de cierta holgura en el ancho de banda de la sonda.

En resumen

Para resumir, el zumbido de Gibbs es enteramente un artefacto de tu instrumento de medición y las operaciones de transformaciones de Fourier/Laplace en parámetros de redes limitados en bandas. Afortunadamente, la explicación anterior del comportamiento de las señales, funciones de transferencia y funcionalidades del osciloscopio te habrá dado las herramientas necesarias para seleccionar el ancho de banda que necesites para tu osciloscopio (ya sea el corte en 3dB o la frecuencia de Nyquist). Para terminar, tenemos las siguientes conclusiones importantes:

  • El fenómeno de Gibbs aparece en el dominio del tiempo debido a la limitación de bandas en los filtros de órdenes elevados
  • Cuando se tienen armónicos de frecuencias más altas en la señal reconstruida en el dominio del tiempo, el zumbido de Gibbs tiene una menor amplitud y un decaimiento más veloz.
  • El zumbido de Gibbs puede ser reducido si el ancho de banda del filtro de entrada (o del paso DSP) de tu osciloscopio es lo suficientemente grande.
  • Una señal más rápida (menores tiempos de subida) tendrá más energía concentrada en frecuencias más altas, por lo que el medirla requerirá un mayor ancho de banda para incluir mayor cantidad de armónicos de mayor orden, y así resolver la señal con menor cantidad de zumbido.

En un próximo artículo, echaremos un vistazo a este fenómeno desde la perspectiva del dominio de frecuencias. Ahí vamos a querer predecir la respuesta del canal dada una entrada particular y determinar si el zumbido presente en una simulación es real, o si es un zumbido de Gibbs.

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Sobre el autor / Sobre la autora

Sobre el autor / Sobre la autora

Zachariah Peterson cuenta con una amplia experiencia técnica en el mundo académico y la industria. Antes de trabajar en la industria de PCB, enseñó en la Universidad Estatal de Portland. Realizó su investigación en Física MS sobre sensores de gas quimisortivo y su doctorado en Física Aplicada sobre teoría y estabilidad del láser aleatorio. Su experiencia en investigación científica abarca temas en láseres de nanopartículas, dispositivos semiconductores electrónicos y optoelectrónicos, sistemas ambientales y análisis financiero. Su trabajo ha sido publicado en varias revistas revisadas por pares y actas de conferencias, y ha escrito cientos de blogs técnicos sobre diseño de PCB para varias empresas. Zachariah trabaja con otras compañías en la industria de PCB proporcionando servicios de diseño e investigación. Es miembro de IEEE Photonics Society y de la American Physical Society.

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