Impedancia de Línea de Transmisión con Pérdidas Sin un Solucionador de Campos

Si sigues lo que hago en publicaciones sobre integridad de señal y en seminarios, entonces probablemente has visto varios artículos sobre el cálculo de la impedancia de líneas de transmisión con pérdidas usando fórmulas analíticas y calculadoras. Usar una calculadora y algunas técnicas numéricas es mucho más simple que configurar un solucionador de campos electromagnéticos 3D. Las calculadoras que encontrarás en línea omitirán información muy importante, por lo que vale la pena investigar si puedes usar técnicas numéricas con calculadoras simples para obtener la impedancia completa de la línea de transmisión sin un solucionador de campos. Las calculadoras que están disponibles en línea se pueden usar para calcular una impedancia característica sin pérdidas para una línea de transmisión de extremo único, y a veces una línea diferencial. También se pueden usar en algunos casos para obtener la impedancia diferencial para microstripes o striplines. Si conoces estos valores de impedancia, ¿cómo puedes obtener la impedancia con pérdidas para tu línea de transmisión?

Lo que Aprenderás en Este Artículo

Lo que muestro a continuación es una versión reducida de mi reciente artículo en PCD&F sobre este mismo tema. También abordé este tema en un artículo de IEEE EPEPS. En esos artículos, muestro la derivación completa de las fórmulas y cómo implementar un algoritmo numérico para diseñar a una impedancia objetivo. En este artículo, lo que haré es mostrar fórmulas para la impedancia de una línea de transmisión que incluye todas las pérdidas y dispersión directamente dentro de las ecuaciones. Las ecuaciones a continuación se basan en tomar una impedancia sin pérdidas y convertirla en una impedancia con pérdidas. Puedes tomar los valores de inductancia y capacitancia del Administrador de Capas de Apilamiento y usarlos en las fórmulas que presento para obtener la impedancia con pérdidas completa de una línea de transmisión de extremo único.

Convertir Impedancia Sin Pérdidas a Impedancia Con Pérdidas

Para calcular la impedancia de la línea de transmisión con pérdidas, primero comenzamos con la impedancia de la línea de transmisión sin pérdidas. El método a continuación utiliza los valores de inductancia y capacitancia del Administrador de Capas de Apilamiento en Altium Designer, por lo que puedes usar este método con los 4 estilos de línea de transmisión preprogramados:

• Microstripes y striplines de extremo único
• Microstripes y striplines coplanares de extremo único
• Microstripes y striplines diferenciales
• Microstripes y striplines coplanares diferenciales

Para comenzar, selecciona tus materiales y geometría, y calcula la impedancia sin pérdidas usando el Administrador de Capas de Apilamiento para obtener la capacitancia y la inductancia de la línea; estarás buscando el valor en la captura de pantalla a continuación. En las fórmulas que se muestran a continuación, usaremos este valor y lo introduciremos en nuestras fórmulas para obtener la impedancia con pérdidas.

Ahora, con estos valores del Administrador de Capas de Apilamiento, utiliza la fórmula mostrada a continuación con las propiedades de tu material para determinar la impedancia de la línea de transmisión con pérdidas. Estas se implementan en la hoja de cálculo al final del artículo.

Línea de Transmisión de Extremo Único

Para usar las fórmulas a continuación, necesitamos algunos datos importantes de material y geometría para obtener la impedancia característica con pérdidas:

• Valor o curva de la constante dieléctrica
• Valor o curva del tangente de pérdida
• Un valor esperado de rugosidad del cobre

Utilizo estos valores con las fórmulas a continuación para la impedancia con pérdidas, la constante de propagación con pérdidas y la resistencia por efecto pelicular.

Lo primero que necesitamos hacer es tener en cuenta la rugosidad en la constante dieléctrica. Para hacer esto, puedes usar la medición de rugosidad superficial de 10 puntos especificada para tu lámina de cobre (esto podría estar en la hoja de datos de tu laminado de PCB) y usarla para obtener la constante dieléctrica debido al cobre rugoso (ver la ecuación adicional para Dk(eff) para microstrip):

Usa este valor en el Administrador de Capas de Apilamiento para obtener tu valor de impedancia sin pérdidas. Toma la impedancia del administrador de capas de apilamiento y el resultado de la Ec. (1) e introdúcelo en la Ec. (2) (W = ancho de traza, T = grosor del cobre):

La Ec. (2) está escrita para striplines, pero cuando se usan microstrips simplemente se cambian los Dk por Dk(eff) y Dk(eff)-rugoso.

¡Asegúrate de usar unidades consistentes para todas las dimensiones y constantes de materiales! Recomiendo usar unidades métricas (mks), y luego convertirlas a unidades por pulgada.

La Ec. (2) es la impedancia con pérdidas para una línea de transmisión de extremo único. El término K se refiere al factor de rugosidad del cobre. Este factor de rugosidad se puede calcular manualmente para un modelo de rugosidad de cobre particular. Lee este artículo para más detalles.

Línea de Transmisión Diferencial

Para un par diferencial, toma los valores de capacitancia e inductancia del Administrador de Capas de Apilamiento y úsalos en la Ec. (3):

El factor 2 al principio de esta fórmula convierte de la impedancia en modo impar a la impedancia diferencial. Tal como teníamos arriba, intercambia los Dk por Dk(eff) y Dk(eff)-rough cuando se usan microstrip diferenciales.

La constante dieléctrica suave para una línea de transmisión diferencial es simplemente el valor de Dk del material. Para microstrips, necesitarás convertir el retraso de propagación desde el Gestor de Apilado de Capas en una velocidad, luego tomar la proporción para obtener Dk(eff) para los microstrips diferenciales.

El valor de Dk(eff) en la Ecuación (4) para los microstrips suaves se encuentra en la Ecuación (4) comparando el retraso de propagación en el Gestor de Apilado de Capas con la velocidad de la luz en el vacío. Esto requiere algunas conversiones de unidades simples. El valor de Dk(eff)-rough es una aproximación pero es altamente preciso para los valores de rugosidad prácticos vistos en láminas de cobre.

A continuación, necesitarás el retraso de propagación; las ecuaciones para trazas de extremo único y trazas diferenciales están definidas en la Ecuación (5).

Finalmente, usa la constante de propagación y la impedancia (con impedancia característica o impedancia diferencial) para calcular los parámetros S. Si lo deseas, puedes seguir las ecuaciones en este artículo para determinar los parámetros S a partir de los parámetros ABCD.

Recuerda, las Ecuaciones (2), (3) y (5) producen cantidades que son números complejos. Se recomienda usar Microsoft Excel o un lenguaje de script como MATLAB para realizar los cálculos.

De la Impedancia con Pérdidas a los Parámetros S

Una vez que hayas pasado por el proceso anterior, puedes calcular los parámetros S y las respuestas impulsivas, lo que te dice todo lo que necesitas saber sobre una línea de transmisión y su capacidad para mantener la integridad de la señal.

Para calcular los parámetros S, puedes usar un proceso simple:

1. Calcular la impedancia para tu traza, ya sea usando la Ecuación (2) o la Ecuación (3)
2. Calcular la constante de propagación (mostrada abajo en la Ecuación (5))
3. Usar estos valores en los parámetros ABCD
4. Usar los parámetros ABCD para calcular la matriz de parámetros S para tu impedancia de referencia o impedancia de carga deseada

Para un caso más general, como cuando tienes el Puerto 2 conectado a un búfer de E/S (como una capacitancia de carga o un circuito de terminación de carga general), puedes usar la ecuación de impedancia de entrada de la teoría de líneas de transmisión para determinar S11:

Lo anterior se define para líneas de extremo único, pero también podríamos usar valores diferenciales para la carga y la línea de transmisión (o la impedancia de modo impar y su valor de terminación), y obtendríamos ecuaciones con la misma forma (ver el libro de texto de Wadell para prueba de este punto).

Al graficar los parámetros S, tendríamos algo que se ve como el gráfico a continuación.

Hoja de cálculo con estos cálculos

Todo esto es lo suficientemente simple como para implementarlo en una hoja de cálculo de Microsoft Excel; a continuación, se muestra una captura de pantalla de mi hoja de cálculo. Los valores en la columna A son la frecuencia angular. Los valores en la columna D son la constante dieléctrica aproximada calculada en cada frecuencia. Finalmente, los valores en la columna H son la impedancia con pérdidas en cada valor de frecuencia en la columna A; estos valores son números complejos, por lo que incluyen una impedancia resistiva y una reactancia.

• Descarga una copia de la hoja de cálculo aquí

Ahora, si graficamos la parte real e imaginaria de los valores en la columna H versus la frecuencia, obtenemos algo que se ve como el gráfico a continuación. Un gráfico de impedancia vs. frecuencia en Simbeor da un resultado similar.

Si lo deseas, podrías ingresar datos de Dk a varios valores de frecuencia de una hoja de datos de materiales y usar estos para calcular los valores aproximados de Dk en la columna D. Aquí hay dos consecuencias muy importantes:

• La impedancia varía con la frecuencia y no es igual a la impedancia sin pérdidas
• Siempre hay un componente reactivo leve en la impedancia de la línea de transmisión

Esto revela un factor importante que nunca se aborda en los cálculos de impedancia de líneas de transmisión, que es la dispersión debido a los efectos de la rugosidad. Los materiales de PCB tienen variación en la impedancia como función de la frecuencia, lo que se conoce como dispersión. El efecto piel, la rugosidad y la variación en la constante dieléctrica crean dispersión. La dispersión por la rugosidad del cobre depende principalmente de la morfología de las láminas de cobre en el PCB.

Resumen del Proceso

Para resumir, el proceso para calcular la impedancia de línea de transmisión sin un solucionador de campo es el siguiente:

1. Reúna sus materiales de entrada y la geometría de la línea
2. Calcule la impedancia sin pérdidas usando la constante dieléctrica no corregida de la hoja de datos y su geometría deseada
3. Use la Dk corregida y la impedancia sin pérdidas con la resistencia de la piel calculada y el factor de corrección de cobre en la ecuación de impedancia con pérdidas
4. Calcule la constante de propagación de las líneas de transmisión
5. Use los resultados de #3 y #4 para calcular los parámetros ABCD y los parámetros S

Ahora sabe todo sobre la línea de transmisión. Sin incluir pérdidas, normalmente encontrará que las ecuaciones de impedancia sin pérdidas podrían subestimar la impedancia hasta en un 10% en el rango de GHz.

El lector matemáticamente astuto notará que tenemos una función de impedancia con pérdidas definida en términos de ancho de línea, y que el ancho de línea es el argumento en múltiples funciones analíticas. Esto crea un problema porque no puede invertir esas ecuaciones para obtener el ancho como función de la impedancia con pérdidas. El resultado es que tiene que resolver una ecuación trascendental para calcular el ancho a partir de su impedancia sin pérdidas. Es por esto que, en mi artículo de IEEE EPEPS, formulé esto como un problema de optimización con el ancho de línea como parámetro. Puede acceder al artículo aquí para aprender más.

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