손실이 있는 전송선 임피던스, 필드 솔버 없이

저의 신호 무결성 관련 출판물과 세미나를 따라오신다면, 손실이 있는 전송선 임피던스를 계산하기 위해 분석 공식과 계산기를 사용한 여러 기사를 보셨을 것입니다. 계산기와 몇 가지 수치 기법을 사용하는 것은 3D 전자기장 솔버를 설정하는 것보다 훨씬 간단합니다. 온라인에서 찾을 수 있는 계산기들은 매우 중요한 정보를 생략하므로, 간단한 계산기와 수치 기법을 사용하여 전송선 임피던스를 전자기장 솔버 없이 얻을 수 있는지 조사하는 것이 가치가 있습니다.

온라인에서 사용할 수 있는 계산기는 단일 종단 전송선의 손실이 없는 특성 임피던스를 계산하는 데 사용될 수 있으며, 때로는 차동선에도 사용됩니다. 또한 마이크로 스트립이나 스트립 라인의 차동 임피던스를 얻는 데 일부 경우에 사용될 수 있습니다. 이러한 임피던스 값을 알고 있다면, 전송선의 손실이 있는 임피던스를 어떻게 얻을 수 있을까요?

이 글에서 배울 내용

아래에서 보여주는 것은 이와 같은 주제에 대한 최근의 PCD&F 기사의 축약 버전입니다. 저는 또한 이 주제를 IEEE EPEPS 논문에서 다루었습니다. 그 기사들에서 저는 공식의 전체 유도와 목표 임피던스에 따른 수치 알고리즘 구현 방법을 보여줍니다. 이 글에서는 모든 손실과 분산을 방정식 내부에 직접 포함하는 전송선의 임피던스에 대한 공식을 보여줄 것입니다.

아래의 방정식은 손실이 없는 임피던스를 손실이 있는 임피던스로 변환하는 것을 기반으로 합니다. Altium Designer의 Layer Stack Manager에서 인덕턴스와 커패시턴스 값을 가져와서 제가 제시하는 공식에 사용하여 단일 종단 전송선의 완전한 손실이 있는 임피던스를 얻을 수 있습니다.

손실이 없는 임피던스를 손실이 있는 임피던스로 변환

손실이 있는 전송선 임피던스를 계산하기 위해, 우리는 먼저 손실이 없는 전송선 임피던스로 시작합니다. 아래 방법은 Altium Designer의 Layer Stack Manager에서 인덕턴스와 커패시턴스 값을 사용하므로, 4가지 사전 프로그램된 전송선 스타일과 이 방법을 사용할 수 있습니다:

• 단일 종단 마이크로스트립과 스트립라인
• 단일 종단 공평면 마이크로스트립과 스트립라인
• 차동 마이크로스트립과 스트립라인
• 차동 공평면 마이크로스트립과 스트립라인

시작하려면, 재료와 기하학을 선택하고 Layer Stack Manager를 사용하여 손실이 없는 임피던스를 계산하여 선의 커패시턴스와 인덕턴스를 얻습니다; 아래 스크린샷에서 값을 찾을 것입니다. 아래에 표시된 공식에서, 우리는 이 값을 사용하고 우리의 공식에 적용하여 손실이 있는 임피던스를 얻을 것입니다.

이제 레이어 스택 관리자에서 이 값들을 사용하여, 아래에 표시된 공식과 재료 특성을 사용하여 손실이 있는 전송선 임피던스를 결정합니다. 이들은 기사 끝에 있는 스프레드시트에 구현되어 있습니다.

단일 종단 전송선

아래의 공식을 사용하려면, 손실이 있는 특성 임피던스를 얻기 위해 몇 가지 중요한 재료 및 기하학적 입력이 필요합니다:

• 유전 상수 값 또는 곡선
• 손실 탄젠트 값 또는 곡선
• 예상되는 구리 거칠기 값

이 값들을 아래의 공식과 함께 사용하여 손실이 있는 임피던스, 손실이 있는 전파 상수, 그리고 피부 효과 저항을 계산합니다.

첫 번째로 해야 할 일은 유전 상수에서 거칠기를 고려하는 것입니다. 이를 위해 구리 호일에 대해 지정된 10점 표면 거칠기 측정값(이는 PCB 라미네이트 데이터시트에 있을 수 있음)을 사용하고 거친 구리로 인한 유전 상수를 얻기 위해 추가 방정식을 사용합니다(Dk(eff)에 대한 마이크로스트립의 추가 방정식 참조):

이 값을 레이어 스택 관리자에서 사용하여 손실 없는 임피던스 값을 얻습니다. 레이어 스택 관리자에서 임피던스와 Eq. (1)의 결과를 가져와 Eq. (2)에 대입합니다(W = 트레이스 폭, T = 구리 두께):

Eq. (2)는 스트립라인에 대해 작성되었지만, 마이크로스트립을 사용할 때는 Dk를 Dk(eff) 및 Dk(eff)-rough로 교체하면 됩니다.

모든 치수와 재료 상수에 대해 일관된 단위를 사용하세요! 저는 미터법(mks) 단위를 사용한 다음 인치 단위로 변환하는 것이 좋습니다.

Eq. (2)는 단일 종단 전송선의 손실이 있는 임피던스입니다. K 항은 구리 거칠기 인자를 나타냅니다. 이 거칠기 인자는 특정 구리 거칠기 모델에 대해 수작업으로 계산될 수 있습니다. 자세한 내용은 이 기사를 읽어보세요.

차동 전송선

차동 쌍의 경우, 레이어 스택 관리자에서 용량 및 인덕턴스 값을 가져와 이를 Eq. (3)에 사용합니다:

이 공식 앞의 계수 2는 홀 모드 임피던스에서 차동 임피던스로 변환하기 위한 것입니다. 위에서 했던 것처럼, 차동 마이크로스트립을 사용할 때는 Dk를 Dk(eff)와 Dk(eff)-rough로 교체합니다.

차동 스트립라인의 매끄러운 유전 상수는 재료의 Dk 값입니다. 마이크로스트립의 경우, Layer Stack Manager에서 전파 지연을 속도로 변환한 다음 비율을 취하여 차동 마이크로스트립의 Dk(eff)를 구해야 합니다.

식 (4)에서 매끄러운 마이크로스트립의 Dk(eff) 값은 Layer Stack Manager의 전파 지연과 진공 중의 빛의 속도를 비교하여 식 (4)에서 찾을 수 있습니다. 이는 몇 가지 간단한 단위 변환을 필요로 합니다. Dk(eff)-rough 값은 근사치이지만 구리 호일에서 볼 수 있는 실제 거칠기 값에 대해 매우 정확합니다.

다음으로, 전파 지연이 필요합니다; 단일 종단 트레이스와 차동 트레이스에 대한 방정식은 식 (5)에 정의되어 있습니다.

마지막으로, 전파 상수와 임피던스(특성 임피던스 또는 차동 임피던스 포함)를 사용하여 S-파라미터를 계산합니다. 원한다면, 이 기사의 방정식을 따라 ABCD 파라미터에서 S-파라미터를 결정할 수 있습니다.

기억하세요, 식 (2), (3), 그리고 (5)는 복소수를 생성합니다. 계산을 수행하기 위해 Microsoft Excel 또는 MATLAB과 같은 스크립팅 언어를 사용하는 것이 권장됩니다.

손실 임피던스에서 S-파라미터로

위의 과정을 거치면, S-파라미터와 임펄스 응답을 계산할 수 있으며, 이는 전송선의 신호 무결성을 유지할 수 있는 모든 것을 알려줍니다.

S-파라미터를 계산하기 위한 간단한 과정은 다음과 같습니다:

1. 식 (2) 또는 식 (3)을 사용하여 트레이스의 임피던스를 계산합니다
2. 전파 상수를 계산합니다(아래 식 (5)에서 보여짐)
3. 이러한 값을 ABCD 파라미터에 사용합니다
4. 원하는 기준 임피던스 또는 부하 임피던스에 대한 S-파라미터 행렬을 계산하기 위해 ABCD 파라미터를 사용합니다

더 일반적인 경우, 예를 들어 Port 2를 I/O 버퍼(예: 부하 용량 또는 일반 부하 종단 회로와 같은)에 연결했을 때, 전송선 이론에서 입력 임피던스 방정식을 사용하여 S11을 결정할 수 있습니다:

위의 정의는 단일 종단선에 대한 것이지만, 부하와 전송선(또는 홀 모드 임피던스와 그 종단 값)에 대한 차동 값을 사용할 수도 있으며, 같은 형태의 방정식을 얻을 수 있습니다(이 점에 대한 증명은 Wadell의 교과서를 참조하세요).

S-파라미터를 플로팅할 때, 아래 그래프와 같은 모양을 가질 것입니다.

이 계산들을 포함한 스프레드시트

이 모든 것은 Microsoft Excel 스프레드시트에서 구현하기 충분히 간단합니다; 제 스프레드시트의 스크린샷은 아래와 같습니다. A열의 값은 각각의 주파수에 대한 각주파수입니다. D열의 값은 각 주파수에서 계산된 대략적인 유전 상수입니다. 마지막으로, H열의 값은 A열의 각 주파수 값에서의 손실 임피던스입니다; 이 값들은 복소수이므로 저항 임피던스와 리액턴스를 포함합니다.

• 여기에서 스프레드시트 사본을 다운로드하세요

이제 H열의 값의 실수 부분과 허수 부분을 주파수에 대해 그래프로 나타내면, 아래 그래프와 같은 모양을 얻을 수 있습니다. Simbeor에서의 임피던스 대 주파수 플롯도 비슷한 결과를 줍니다.

원한다면, 재료 데이터시트에서 다양한 주파수 값에 대한 Dk 데이터를 입력하고 이를 사용하여 D열에서 대략적인 Dk 값을 계산할 수 있습니다. 여기에는 두 가지 매우 중요한 결과가 있습니다:

• 임피던스는 주파수에 따라 변하며 손실 없는 임피던스와 같지 않습니다
• 전송선 임피던스에는 항상 약간의 리액티브 성분이 있습니다

이것은 전송선 임피던스 계산에서 결코 다루어지지 않는 중요한 요소를 드러냅니다. 바로 거칠기의 영향으로 인한 분산입니다. PCB 재료는 주파수의 함수로 임피던스의 변화를 가지며, 이를 분산이라고 합니다. 스킨 효과, 거칠기, 유전 상수의 변화는 모두 분산을 생성합니다. 구리 거칠기로 인한 분산은 주로 PCB 내 구리 호일의 형태학에 주로 의존합니다.

과정 요약

요약하자면, 필드 솔버 없이 전송선 임피던스를 계산하는 과정은 다음과 같습니다:

1. 재료 입력값과 선의 기하학적 형태를 수집합니다
2. 데이터 시트에서 수정되지 않은 유전 상수와 원하는 기하학적 형태를 사용하여 손실 없는 임피던스를 계산합니다
3. 수정된 Dk와 손실 없는 임피던스를 계산된 스킨 저항 및 구리 보정 계수와 함께 손실 있는 임피던스 방정식에 사용합니다
4. 전송선의 전파 상수를 계산합니다
5. #3과 #4의 결과를 사용하여 ABCD 파라미터와 S-파라미터를 계산합니다

이제 전송선에 대해 모든 것을 알게 되었습니다. 손실을 포함하지 않으면 일반적으로 GHz 범위에서 손실 없는 임피던스 방정식이 임피던스를 최대 10%까지 과소 평가할 수 있습니다.

수학적으로 능숙한 독자는 선 너비에 대한 손실 있는 임피던스 함수가 정의되어 있고, 선 너비가 여러 분석 함수의 인수라는 것을 알아차릴 것입니다. 이는 그 방정식을 반전시켜 손실 있는 임피던스의 함수로 너비를 얻을 수 없다는 문제를 생성합니다. 결과적으로 손실 없는 임피던스에서 너비를 계산하기 위해 초월 방정식을 풀어야 합니다. 이것이 제가 IEEE EPEPS 논문에서 이를 매개변수로서 선 너비를 가지는 최적화 문제로 제시한 이유입니다. 여기에서 논문을 확인하여 더 알아보십시오.

수학적으로 경향이 없는 디자이너라면, 곧 Altium Designer®에서 Ansys로의 상세한 PCB 레이아웃 시뮬레이션을 위한 가져오기를 가능하게 하는 새로운 협업 기능에 접근할 수 있습니다. 오늘날의 다학제 환경에서 협업을 구현하기 위해, 혁신적인 회사들은 설계 데이터를 쉽게 공유하고 프로젝트를 제조에 투입하기 위해 Altium 365™ 플랫폼을 사용하고 있습니다.

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