Impédance de ligne de transmission avec pertes sans solveur de champ

Si vous suivez ce que je fais dans les publications sur l'intégrité des signaux et dans les séminaires, alors vous avez probablement vu plusieurs articles sur le calcul de l'impédance des lignes de transmission avec pertes en utilisant des formules analytiques et des calculateurs. Utiliser un calculateur et quelques techniques numériques est beaucoup plus simple que de configurer un solveur de champs électromagnétiques 3D. Les calculateurs que vous trouverez en ligne omettront des informations très importantes, il est donc intéressant de se demander si vous pouvez utiliser des techniques numériques avec des calculateurs simples pour obtenir l'impédance complète de la ligne de transmission sans solveur de champs. Les calculateurs disponibles en ligne peuvent être utilisés pour calculer une impédance caractéristique sans pertes pour une ligne de transmission à extrémité unique, et parfois une ligne différentielle. Ils peuvent également être utilisés dans certains cas pour obtenir l'impédance différentielle pour des microbandes ou des lignes en ruban. Si vous connaissez ces valeurs d'impédance, comment pouvez-vous obtenir l'impédance avec pertes pour votre ligne de transmission ?

Ce que vous apprendrez dans cet article

Ce que je montre ci-dessous est une version réduite de mon récent article dans PCD&F sur le même sujet. J'ai également abordé ce sujet dans un article IEEE EPEPS. Dans ces articles, je montre la dérivation complète des formules et comment implémenter un algorithme numérique pour concevoir une impédance cible. Dans cet article, ce que je vais faire, c'est montrer des formules pour l'impédance d'une ligne de transmission qui inclut toutes les pertes et la dispersion directement dans les équations. Les équations ci-dessous sont basées sur la prise d'une impédance sans pertes et sa conversion en une impédance avec pertes. Vous pouvez prendre les valeurs d'inductance et de capacité du Gestionnaire de Configuration des Couches et les utiliser dans les formules que je présente pour obtenir l'impédance complète avec pertes d'une ligne de transmission à extrémité unique.

Convertir l'Impédance Sans Pertes en Impédance Avec Pertes

Pour calculer l'impédance de la ligne de transmission avec pertes, nous commençons d'abord avec l'impédance de la ligne de transmission sans pertes. La méthode ci-dessous utilise les valeurs d'inductance et de capacité du Gestionnaire de Configuration des Couches dans Altium Designer, vous pouvez donc utiliser cette méthode avec les 4 styles de lignes de transmission pré-programmés :

• Microbandes et lignes en ruban à extrémité unique
• Microbandes et lignes en ruban coplanaires à extrémité unique
• Microbandes et lignes en ruban différentielles
• Microbandes et lignes en ruban coplanaires différentielles

Pour commencer, sélectionnez vos matériaux et géométrie, et calculez l'impédance sans pertes en utilisant le Gestionnaire de Configuration des Couches pour obtenir la capacité et l'inductance de la ligne ; vous chercherez la valeur dans la capture d'écran ci-dessous. Dans les formules présentées ci-dessous, nous utiliserons cette valeur et l'insérerons dans nos formules pour obtenir l'impédance avec pertes.

Maintenant, avec ces valeurs du Gestionnaire de pile de couches, utilisez la formule ci-dessous avec les propriétés de votre matériau pour déterminer l'impédance de la ligne de transmission avec pertes. Celles-ci sont implémentées dans le tableur à la fin de l'article.

Ligne de transmission à extrémité unique

Pour utiliser les formules ci-dessous, nous avons besoin de quelques entrées matérielles et géométriques importantes pour obtenir l'impédance caractéristique avec pertes :

• Valeur ou courbe de la constante diélectrique
• Valeur ou courbe de la tangente de perte
• Une valeur de rugosité du cuivre attendue

J'utilise ces valeurs avec les formules ci-dessous pour l'impédance avec pertes, la constante de propagation avec pertes, et la résistance due à l'effet de peau.

La première chose à faire est de tenir compte de la rugosité dans la constante diélectrique. Pour cela, vous pouvez utiliser la mesure de rugosité de surface à 10 points spécifiée pour votre feuille de cuivre (cela pourrait être dans la fiche technique de votre stratifié PCB) et l'utiliser pour obtenir la constante diélectrique due au cuivre rugueux (voir l'équation supplémentaire pour Dk(eff) pour les microstrips) :

Utilisez cette valeur dans le Gestionnaire de pile de couches pour obtenir votre valeur d'impédance sans pertes. Prenez l'impédance du gestionnaire de pile de couches et le résultat de l'Eq. (1) et insérez-le dans l'Eq. (2) (W = largeur de la trace, T = épaisseur du cuivre) :

L'Eq. (2) est écrite pour les lignes striplines, mais lors de l'utilisation de microstrips, vous échangez simplement les Dk pour Dk(eff) et Dk(eff)-rugueux.

Assurez-vous d'utiliser des unités cohérentes pour toutes les dimensions et constantes matérielles ! Je recommande d'utiliser les unités métriques (mks), puis de convertir en unités par pouce.

L'Eq. (2) est l'impédance avec pertes pour une ligne de transmission à extrémité unique. Le terme K se réfère au facteur de rugosité du cuivre. Ce facteur de rugosité peut être calculé à la main pour un modèle de rugosité du cuivre particulier. Lisez cet article pour plus de détails.

Ligne de transmission différentielle

Pour une paire différentielle, prenez les valeurs de capacité et d'inductance du Gestionnaire de pile de couches et utilisez-les dans l'Eq. (3) :

Le facteur 2 devant cette formule permet de convertir de l'impédance en mode impair à l'impédance différentielle. Tout comme nous l'avons vu précédemment, échangez les Dk par Dk(eff) et Dk(eff)-rugueux lors de l'utilisation de microbandes différentielles.

La constante diélectrique lisse pour une ligne de transmission différentielle est simplement la valeur Dk du matériel. Pour les microbandes, vous devrez convertir le délai de propagation à partir du Gestionnaire de Pile de Couches en une vitesse, puis prendre le rapport pour obtenir Dk(eff) pour les microbandes différentielles.

La valeur Dk(eff) dans l'Eq. (4) pour les microbandes lisses est trouvée dans l'Eq. (4) en comparant le délai de propagation dans le Gestionnaire de Pile de Couches à la vitesse de la lumière dans le vide. Cela nécessite quelques conversions d'unités simples. La valeur Dk(eff)-rugueux est une approximation mais est très précise pour les valeurs de rugosité pratiques observées dans les feuilles de cuivre.

Ensuite, vous aurez besoin du délai de propagation ; les équations pour les traces à terminaison unique et les traces différentielles sont définies dans l'Eq. (5).

Enfin, utilisez la constante de propagation et l'impédance (avec impédance caractéristique ou impédance différentielle) pour calculer les paramètres S. Si vous le souhaitez, vous pouvez suivre les équations dans cet article pour déterminer les paramètres S à partir des paramètres ABCD.

Rappelez-vous, les Eq. (2), (3), et (5) produisent des quantités qui sont des nombres complexes. Il est recommandé d'utiliser Microsoft Excel ou un langage de script comme MATLAB pour effectuer les calculs.

De l'Impédance avec Pertes aux Paramètres S

Une fois que vous avez suivi le processus ci-dessus, vous pouvez calculer les paramètres S et les réponses impulsionnelles, ce qui vous indique tout ce que vous devez savoir sur une ligne de transmission et sa capacité à maintenir l'intégrité du signal.

Pour calculer les paramètres S, vous pouvez utiliser un processus simple :

1. Calculez l'impédance de votre trace, soit en utilisant l'Eq. (2) soit l'Eq. (3)
2. Calculez la constante de propagation (montrée ci-dessous dans l'Eq. (5))
3. Utilisez ces valeurs dans les paramètres ABCD
4. Utilisez les paramètres ABCD pour calculer la matrice des paramètres S pour votre impédance de référence ou impédance de charge désirée

Pour un cas plus général, comme lorsque vous avez le port 2 connecté à un tampon d'E/S (comme une capacité de charge ou un circuit de terminaison de charge général), vous pouvez utiliser l'équation de l'impédance d'entrée de la théorie des lignes de transmission pour déterminer S11 :

Ce qui précède est défini pour les lignes à extrémité unique, mais nous pourrions également utiliser des valeurs différentielles pour la charge et la ligne de transmission (ou l'impédance en mode impair et sa valeur de terminaison), et nous obtiendrions des équations de la même forme (voir le manuel de Wadell pour une preuve sur ce point).

Lors de la représentation graphique des paramètres S, nous aurions quelque chose qui ressemble au graphique ci-dessous.

Feuille de calcul avec ces calculs

Tout cela est assez simple à mettre en œuvre dans une feuille de calcul Microsoft Excel ; une capture d'écran de ma feuille de calcul est montrée ci-dessous. Les valeurs de la colonne A sont la fréquence angulaire. Les valeurs de la colonne D sont la constante diélectrique approximative calculée à chaque fréquence. Enfin, les valeurs de la colonne H sont l'impédance avec pertes à chaque valeur de fréquence de la colonne A ; ces valeurs sont des nombres complexes, donc elles incluent une impédance résistive et une réactance.

• Téléchargez une copie de la feuille de calcul ici

Maintenant, si nous traçons la partie réelle et la partie imaginaire des valeurs de la colonne H par rapport à la fréquence, nous obtenons quelque chose qui ressemble au graphique ci-dessous. Un tracé de l'impédance vs fréquence dans Simbeor donne un résultat similaire.

Si vous le souhaitez, vous pourriez insérer des données Dk à différentes valeurs de fréquence à partir d'une fiche technique de matériaux et les utiliser pour calculer les valeurs Dk approximatives dans la colonne D. Ici, il y a deux conséquences très importantes :

• L'impédance varie avec la fréquence et n'est pas égale à l'impédance sans pertes
• Il y a toujours une légère composante réactive dans l'impédance de la ligne de transmission

Cela révèle un facteur important qui n'est jamais abordé dans les calculs de l'impédance des lignes de transmission, qui est la dispersion due aux effets de la rugosité. Les matériaux des PCB présentent une variation de l'impédance en fonction de la fréquence, ce qui est connu sous le nom de dispersion. L'effet de peau, la rugosité et la variance de la constante diélectrique créent tous une dispersion. La dispersion due à la rugosité du cuivre dépend principalement de la morphologie des feuilles de cuivre dans le PCB.

Résumé du processus

Pour résumer, le processus de calcul de l'impédance des lignes de transmission sans solveur de champ est le suivant :

1. Rassemblez vos entrées de matériaux et la géométrie de la ligne
2. Calculez l'impédance sans pertes en utilisant la constante diélectrique non corrigée de la fiche technique et votre géométrie souhaitée
3. Utilisez la Dk corrigée et l'impédance sans pertes avec la résistance de peau calculée et le facteur de correction du cuivre dans l'équation de l'impédance avec pertes
4. Calculez la constante de propagation des lignes de transmission
5. Utilisez les résultats des points #3 et #4 pour calculer les paramètres ABCD et les paramètres S

Vous savez maintenant tout sur la ligne de transmission. Sans inclure les pertes, vous trouverez généralement que les équations d'impédance sans pertes pourraient sous-estimer l'impédance jusqu'à 10 % dans la gamme des GHz.

Le lecteur mathématiquement averti remarquera que nous avons une fonction d'impédance avec pertes définie en termes de largeur de ligne, et que la largeur de ligne est l'argument dans plusieurs fonctions analytiques. Cela crée un problème car vous ne pouvez pas inverser ces équations pour obtenir la largeur en fonction de l'impédance avec pertes. Le résultat est que vous devez résoudre une équation transcendante pour calculer la largeur à partir de votre impédance sans pertes. C'est pourquoi, dans mon article IEEE EPEPS, j'ai formulé cela comme un problème d'optimisation avec la largeur de ligne comme paramètre. Vous pouvez accéder à l'article ici pour en savoir plus.

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