Impedância de Linha de Transmissão com Perdas Sem um Solucionador de Campo

Se você segue o que faço em publicações sobre integridade de sinal e em seminários, então provavelmente já viu vários artigos sobre o cálculo da impedância de linhas de transmissão com perdas usando fórmulas analíticas e calculadoras. Usar uma calculadora e algumas técnicas numéricas é muito mais simples do que configurar um solucionador de campos eletromagnéticos 3D. As calculadoras que você encontrará online omitirão informações muito importantes, então vale a pena investigar se você pode usar técnicas numéricas com calculadoras simples para obter a impedância completa da linha de transmissão sem um solucionador de campos. As calculadoras disponíveis online podem ser usadas para calcular uma impedância característica sem perdas para uma linha de transmissão de extremidade única, e às vezes uma linha diferencial. Elas também podem ser usadas em alguns casos para obter a impedância diferencial para microfaixas ou linhas de fita. Se você conhece esses valores de impedância, como você pode obter a impedância com perdas para sua linha de transmissão?

O Que Você Aprenderá Neste Artigo

O que mostro abaixo é uma versão reduzida do meu artigo recente na PCD&F sobre este mesmo tópico. Também abordei este tópico em um artigo da IEEE EPEPS. Nestes artigos, mostro a derivação completa das fórmulas e como implementar um algoritmo numérico para projetar para uma impedância alvo. Neste artigo, o que farei é mostrar fórmulas para a impedância de uma linha de transmissão que inclui todas as perdas e dispersão diretamente dentro das equações. As equações abaixo são baseadas em pegar uma impedância sem perdas e convertê-la em uma impedância com perdas. Você pode pegar os valores de indutância e capacitância do Gerenciador de Pilhas de Camadas e usar estes nas fórmulas que apresento para obter a impedância com perdas completa de uma linha de transmissão de extremidade única.

Converter Impedância Sem Perdas em Impedância Com Perdas

Para calcular a impedância da linha de transmissão com perdas, começamos primeiro com a impedância da linha de transmissão sem perdas. O método abaixo usa os valores de indutância e capacitância do Gerenciador de Pilhas de Camadas no Altium Designer, então você pode usar este método com os 4 estilos de linha de transmissão pré-programados:

• Microfaixas e linhas de fita de extremidade única
• Microfaixas e linhas de fita coplanares de extremidade única
• Microfaixas e linhas de fita diferenciais
• Microfaixas e linhas de fita coplanares diferenciais

Para começar, selecione seus materiais e geometria, e calcule a impedância sem perdas usando o Gerenciador de Pilhas de Camadas para obter a capacitância e indutância da linha; você estará procurando pelo valor na captura de tela abaixo. Nas fórmulas mostradas abaixo, usaremos este valor e o inseriremos em nossas fórmulas para obter a impedância com perdas.

Agora, com esses valores do Gerenciador de Pilhas de Camadas, use a fórmula mostrada abaixo com as propriedades do seu material para determinar a impedância da linha de transmissão com perdas. Essas são implementadas na planilha no final do artigo.

Linha de Transmissão de Extremidade Única

Para usar as fórmulas abaixo, precisamos de algumas entradas importantes de material e geometria para obter a impedância característica com perdas:

• Valor ou curva da constante dielétrica
• Valor ou curva do tangente de perda
• Um valor esperado de aspereza do cobre

Eu uso esses valores com as fórmulas abaixo para a impedância com perdas, constante de propagação com perdas e resistência do efeito pelicular.

A primeira coisa que precisamos fazer é considerar a aspereza na constante dielétrica. Para fazer isso, você pode usar a medição de aspereza superficial de 10 pontos especificada para o seu cobre (isso pode estar na sua folha de dados do laminado de PCB) e usá-la para obter a constante dielétrica devido ao cobre áspero (veja a equação adicional para Dk(eff) para microstrips):

Use esse valor no Gerenciador de Pilhas de Camadas para obter o seu valor de impedância sem perdas. Pegue a impedância do gerenciador de pilhas de camadas e o resultado da Eq. (1) e insira na Eq. (2) (W = largura do traço, T = espessura do cobre):

Eq. (2) é escrita para striplines, mas ao usar microstrips você apenas troca os Dk’s por Dk(eff) e Dk(eff)-áspero.

Certifique-se de usar unidades consistentes para todas as dimensões e constantes de material! Eu recomendo usar unidades métricas (mks), e depois converter para unidades por polegada.

Eq. (2) é a impedância com perdas para uma linha de transmissão de extremidade única. O termo K refere-se ao fator de aspereza do cobre. Este fator de aspereza pode ser calculado manualmente para um modelo específico de aspereza do cobre. Leia este artigo para mais detalhes.

Linha de Transmissão Diferencial

Para um par diferencial, pegue os valores de capacitância e indutância do Gerenciador de Pilhas de Camadas e use-os na Eq. (3):

O fator 2 à frente desta fórmula converte da impedância de modo ímpar para a impedância diferencial. Assim como tivemos acima, troque os Dk’s por Dk(eff) e Dk(eff)-rough quando usar microstrips diferenciais.

A constante dielétrica suave para uma stripline diferencial é apenas o valor de Dk do material. Para microstrips, você precisará converter o atraso de propagação do Gerenciador de Pilha de Camadas em uma velocidade, depois tomar a razão para obter Dk(eff) para os microstrips diferenciais.

O valor de Dk(eff) na Eq. (4) para os microstrips suaves é encontrado na Eq. (4) comparando o atraso de propagação no Gerenciador de Pilha de Camadas com a velocidade da luz no vácuo. Isso requer algumas conversões de unidades simples. O valor de Dk(eff)-rough é uma aproximação, mas é altamente preciso para valores de aspereza práticos vistos em folhas de cobre.

A seguir, você precisará do atraso de propagação; as equações para trilhas de extremidade única e trilhas diferenciais são definidas na Eq. (5).

Finalmente, use a constante de propagação e a impedância (com impedância característica ou impedância diferencial) para calcular os parâmetros S. Se desejar, você pode seguir as equações neste artigo para determinar os parâmetros S a partir dos parâmetros ABCD.

Lembre-se, as Eqs. (2), (3) e (5) produzem quantidades que são números complexos. É recomendado usar o Microsoft Excel ou uma linguagem de script como MATLAB para realizar os cálculos.

De Impedância com Perdas para Parâmetros S

Uma vez que você tenha passado pelo processo acima, você pode calcular os parâmetros S e respostas ao impulso, o que lhe diz tudo o que você precisa saber sobre uma linha de transmissão e sua capacidade de manter a integridade do sinal.

Para calcular os parâmetros S, você pode usar um processo simples:

1. Calcule a impedância para sua trilha, usando a Eq. (2) ou Eq. (3)
2. Calcule a constante de propagação (mostrada abaixo na Eq. (5))
3. Use esses valores nos parâmetros ABCD
4. Use os parâmetros ABCD para calcular a matriz de parâmetros S para sua impedância de referência ou impedância de carga desejada

Para um caso mais geral, como quando você tem a Porta 2 conectada a um buffer de I/O (como uma capacitância de carga ou um circuito de terminação de carga geral), você pode usar a equação de impedância de entrada da teoria de linha de transmissão para determinar S11:

O acima é definido para linhas de extremidade única, mas também poderíamos usar valores diferenciais para a carga e a linha de transmissão (ou a impedância de modo ímpar e seu valor de terminação), e obteríamos equações com a mesma forma (veja o livro didático de Wadell para prova sobre este ponto).

Ao traçar os parâmetros-S, teríamos algo que se parece com o gráfico abaixo.

Planilha Com Estes Cálculos

Tudo isso é simples o suficiente para ser implementado em uma planilha do Microsoft Excel; uma captura de tela da minha planilha é mostrada abaixo. Os valores na coluna A são a frequência angular. Os valores na coluna D são a constante dielétrica aproximada calculada em cada frequência. Finalmente, os valores na coluna H são a impedância com perdas em cada valor de frequência na coluna A; esses valores são números complexos, portanto, incluem uma impedância resistiva e uma reatância.

• Baixe uma cópia da planilha aqui

Agora, se traçarmos a parte real e a parte imaginária dos valores na coluna H versus frequência, obtemos algo que se parece com o gráfico abaixo. Um gráfico de impedância vs. frequência no Simbeor dá um resultado semelhante.

Se desejar, você poderia inserir dados de Dk em vários valores de frequência de uma ficha técnica de materiais e usá-los para calcular os valores aproximados de Dk na coluna D. Aqui existem duas consequências muito importantes:

• A impedância varia com a frequência e não é igual à impedância sem perdas
• Sempre há um componente reativo leve na impedância da linha de transmissão

Isso revela um fator importante que nunca é abordado nos cálculos de impedância de linha de transmissão, que é a dispersão devido aos efeitos da aspereza. Os materiais de PCB têm variação na impedância como função da frequência, o que é conhecido como dispersão. O efeito pelicular, a aspereza e a variação na constante dielétrica criam dispersão. A dispersão devido à aspereza do cobre depende principalmente da morfologia das folhas de cobre no PCB.

Resumo do Processo

Para resumir, o processo para calcular a impedância de linha de transmissão sem um solucionador de campo é o seguinte:

1. Reúna seus materiais de entrada e a geometria da linha
2. Calcule a impedância sem perdas usando a constante dielétrica não corrigida da ficha técnica e sua geometria desejada
3. Use a Dk corrigida e a impedância sem perdas com a resistência da pele calculada e o fator de correção de cobre na equação de impedância com perdas
4. Calcule a constante de propagação das linhas de transmissão
5. Use os resultados de #3 e #4 para calcular os parâmetros ABCD e os parâmetros S

Você agora sabe tudo sobre a linha de transmissão. Sem incluir perdas, você normalmente descobrirá que as equações de impedância sem perdas podem subestimar a impedância em até 10% na faixa de GHz.

O leitor matematicamente astuto notará que temos uma função de impedância com perdas definida em termos de largura da linha, e que a largura da linha é o argumento em múltiplas funções analíticas. Isso cria um problema porque você não pode inverter essas equações para obter a largura como uma função da impedância com perdas. O resultado é que você tem que resolver uma equação transcendental para calcular a largura a partir de sua impedância sem perdas. É por isso que, no meu artigo da IEEE EPEPS, formulei isso como um problema de otimização com a largura da linha como um parâmetro. Você pode acessar o artigo aqui para saber mais.

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