フィールドソルバーなしでの損失性伝送線路インピーダンス

私のシグナルインテグリティに関する出版物やセミナーの内容に従っている場合、損失のある伝送線インピーダンスを解析式や計算機を使って計算する記事をいくつか見たことがあるでしょう。計算機と数値技術を使うことは、3D電磁場ソルバーを設定するよりもはるかに簡単です。オンラインで見つかる計算機は非常に重要な情報を省略するため、簡単な計算機と数値技術を使用してフィールドソルバーなしで完全な伝送線インピーダンスを取得できるかどうかを調査する価値があります。

オンラインで利用可能な計算機は、単一終端伝送線の損失のない特性インピーダンスを計算するために使用でき、場合によっては差動線の計算も可能です。また、マイクロストリップやストリップラインの差動インピーダンスを得るためにも、場合によっては使用できます。これらのインピーダンス値を知っている場合、伝送線の損失のあるインピーダンスをどのように得ることができるでしょうか？

この記事で学べること

以下に示すのは、この同じトピックに関する私の最近のPCD&F記事の簡略版です。また、このトピックについてIEEE EPEPSの論文でも取り上げました。これらの記事では、式の完全な導出と目標インピーダンスに設計するための数値アルゴリズムの実装方法を示しています。この記事では、すべての損失と分散を方程式内に直接含む伝送線のインピーダンスの式を示します。

以下の方程式は、損失のないインピーダンスを損失のあるインピーダンスに変換することに基づいています。Altium DesignerのLayer Stack Managerからインダクタンスとキャパシタンスの値を取り、これらを私が提示する式に使用して、単一終端伝送線の完全な損失のあるインピーダンスを得ることができます。

損失のないインピーダンスを損失のあるインピーダンスに変換する

損失のある伝送線インピーダンスを計算するには、まず損失のない伝送線インピーダンスから始めます。以下の方法では、Altium DesignerのLayer Stack Managerからインダクタンスとキャパシタンスの値を使用するため、4つのプリプログラムされた伝送線スタイルでこの方法を使用できます：

• 単一終端のマイクロストリップとストリップライン
• 単一終端の共面マイクロストリップとストリップライン
• 差動マイクロストリップとストリップライン
• 差動共面マイクロストリップとストリップライン

始めるには、材料とジオメトリを選択し、Layer Stack Managerを使用して損失のないインピーダンスを計算して、以下のスクリーンショットで示される値の線のキャパシタンスとインダクタンスを探します。以下に示す式では、この値を使用して損失のあるインピーダンスを得るために式に代入します。

これらのレイヤースタックマネージャーからの値を使用して、以下に示す式と材料の特性を使って損失を伴う伝送線のインピーダンスを決定します。これらは記事の最後にあるスプレッドシートで実装されています。

単線伝送線

以下の式を使用するには、損失を伴う特性インピーダンスを得るためにいくつかの重要な材料と幾何学的入力が必要です：

• 誘電率の値または曲線
• 損失正接の値または曲線
• 予想される銅の粗さの値

これらの値を以下の式で損失を伴うインピーダンス、損失を伴う伝播定数、およびスキン効果抵抗のために使用します。

まず、誘電率における粗さを考慮する必要があります。これを行うには、銅箔の10点表面粗さ測定（PCBラミネートのデータシートに記載されている可能性があります）を使用し、粗い銅による誘電率を取得します（マイクロストリップのDk(eff)の追加方程式を参照）：

この値をレイヤースタックマネージャーで使用して、損失のないインピーダンス値を取得します。レイヤースタックマネージャーからのインピーダンスと式 (1) の結果を取り、式 (2) に入れます（W = トレース幅、T = 銅の厚さ）：

式 (2) はストリップライン用に書かれていますが、マイクロストリップを使用する場合は、DkをDk(eff)およびDk(eff)-roughに置き換えます。

すべての寸法と材料定数に一貫した単位を使用してください！メートル法（mks）単位の使用をお勧めし、その後インチ単位に変換します。

式 (2) は単線伝送線の損失を伴うインピーダンスです。K項は銅の粗さ係数を指します。この粗さ係数は、特定の銅の粗さモデルに対して手動で計算できます。詳細はこの記事を読んでください。

差動伝送線

差動ペアの場合、レイヤースタックマネージャーからの容量とインダクタンスの値を取り、これらを式 (3) で使用します：

この式の前にある係数2は、奇模インピーダンスから差動インピーダンスへの変換を行います。上で見たように、差動マイクロストリップを使用する場合は、DkをDk(eff)およびDk(eff)-roughに置き換えます。

差動ストリップラインの滑らかな誘電率定数は、材料のDk値そのものです。マイクロストリップの場合、Layer Stack Managerから伝搬遅延を速度に変換し、その比率を取って差動マイクロストリップのDk(eff)を求める必要があります。

式(4)での滑らかなマイクロストリップのDk(eff)値は、Layer Stack Managerの伝搬遅延と真空中の光速とを比較することで求められます。これにはいくつかの単純な単位変換が必要です。Dk(eff)-rough値は近似値ですが、銅箔で見られる実際の粗さ値に対して非常に正確です。

次に、伝搬遅延が必要です。単線トレースと差動トレースの方程式は式(5)で定義されています。

最後に、伝搬定数とインピーダンス（特性インピーダンスまたは差動インピーダンスを含む）を使用してSパラメータを計算します。この記事の方程式に従ってABCDパラメータからSパラメータを決定することもできます。

覚えておいてください、式(2)、(3)、および(5)は複素数を生成します。計算を行うにはMicrosoft ExcelやMATLABのようなスクリプト言語の使用を推奨します。

損失のあるインピーダンスからSパラメータへ

上記のプロセスを経た後、Sパラメータとインパルス応答を計算できます。これにより、伝送線の信号整合性を維持する能力について知る必要があるすべてのことがわかります。

Sパラメータを計算するには、簡単なプロセスを使用します：

1. 式(2)または式(3)を使用してトレースのインピーダンスを計算します
2. 伝搬定数を計算します（式(5)に示されています）
3. これらの値をABCDパラメータに使用します
4. ABCDパラメータを使用して、希望の基準インピーダンスまたは負荷インピーダンスのSパラメータ行列を計算します

より一般的なケースでは、ポート2をI/Oバッファ（負荷容量や一般的な負荷終端回路など）に接続している場合、伝送線理論からの入力インピーダンスの方程式を使用してS11を決定できます：

上記は単線路に対して定義されていますが、負荷と伝送線（または奇モードインピーダンスとその終端値）に対して差動値を使用することもでき、同じ形式の方程式が得られます（この点についての証明はWadellの教科書を参照してください）。

Sパラメータをプロットすると、以下のグラフのようになります。

これらの計算のスプレッドシート

これはMicrosoft Excelのスプレッドシートで実装するのは十分に簡単です。以下に示すのは、私のスプレッドシートのスクリーンショットです。A列の値は角周波数です。D列の値は、各周波数での計算された粗い誘電率です。最後に、H列の値はA列の各周波数値における損失のあるインピーダンスで、これらの値は複素数であるため、抵抗性インピーダンスとリアクタンスを含みます。

• こちらからスプレッドシートのコピーをダウンロードしてください

さて、H列の値の実部と虚部を周波数に対してグラフにすると、以下のグラフのようになります。Simbeorでのインピーダンス対周波数のプロットも同様の結果を与えます。

もしご希望であれば、材料データシートから様々な周波数値のDkデータを入力し、これらを使用してD列の粗いDk値を計算することができます。ここで二つの非常に重要な結果があります：

• インピーダンスは周波数によって変化し、損失のないインピーダンスとは等しくない
• 伝送線インピーダンスには常にわずかなリアクティブ成分が存在する

これは、伝送線のインピーダンス計算では決して対処されない重要な要因を明らかにします。それは、粗さの影響による分散です。PCB材料は周波数の関数としてインピーダンスに変動があり、これを分散と呼びます。スキン効果、粗さ、および誘電率のばらつきはすべて分散を生み出します。銅の粗さによる分散は、PCB内の銅箔の形態に主に依存します。

プロセスの概要

要約すると、フィールドソルバーを使用せずに伝送線のインピーダンスを計算するプロセスは以下の通りです：

1. 材料の入力と線形状を集める
2. データシートからの未修正の誘電率と望ましい形状を使用して、損失のないインピーダンスを計算する
3. 修正されたDkと損失のないインピーダンスを、計算されたスキン抵抗と銅補正係数とともに損失のあるインピーダンス方程式で使用する
4. 伝送線の伝搬定数を計算する
5. #3と#4の結果を使用してABCDパラメータとSパラメータを計算する

これで、伝送線についてのすべてを知ることができました。損失を含めない場合、損失のないインピーダンス方程式はGHz範囲で最大10%までインピーダンスを過小評価することが一般的です。

数学的に精通している読者は、損失のあるインピーダンス関数が線幅の観点で定義されており、その線幅が複数の解析関数の引数であることに気付くでしょう。これは、損失のあるインピーダンスの関数として幅を逆算することができないという問題を生じさせます。その結果、損失のないインピーダンスから幅を計算するためには超越方程式を解く必要があります。これが、私がIEEE EPEPSの論文で、線幅をパラメータとして最適化問題として定式化した理由です。こちらの論文を参照して、さらに詳しく学ぶことができます。

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