Откуда происходит формула частоты излома?

Продолжая эту небольшую серию статей о заблуждениях, связанных с целостностью высокоскоростных сигналов, существует одна формула, которая снова и снова возникает в начальных обсуждениях целостности сигналов. Эта формула - так называемая формула частоты изгиба, и она используется как взаимозаменяемая с некоторой частотой -3 дБ. Интересно, что ее так часто цитируют как значение для самой высокой частоты, содержащейся в полосе пропускания сигнала, что неверно.

Прежде чем начать это обсуждение, мы должны затронуть очень важный момент:

Вышеупомянутое утверждение может быть доказано с помощью базового расчета ряда Фурье. Этот расчет иногда дают в качестве домашнего задания на занятиях по электронике и на занятиях по математике среднего уровня.

Частота изгиба - это еще одно из тех старых правил, которое цитируется в ситуациях, где оно не применимо, и его некорректность в реальных системах может быть доказана. Базовое концептуальное понимание, стоящее за частотой изгиба, также неправильно понимается многими разработчиками, включая новых разработчиков, пытающихся разобраться в темах СИ.

Итак, давайте глубже погрузимся в значение частоты изгиба и её концептуальные истоки.

Почему дизайнеры упоминают частоту изгиба

Частоту изгиба часто упоминают в двух случаях:

• Тестирование и измерения, в частности при измерениях RC-цепей или низкочастотных фильтров с использованием анализаторов частоты или осциллографов
• В дизайне высокоскоростных печатных плат, где она указывается как максимальное значение частоты, содержащееся в цифровом сигнале

Специалисты по тестированию и измерениям правильно понимают, что они измеряют: они измеряют реакцию канала на некоторый входной сигнал. Второй пункт корректен только в определённых ситуациях и неверно относится к сигналу, а не к каналу. Чтобы понять, почему это так, нам нужно вернуться к простой модели канала и рассмотреть завершение канала, затем мы можем вывести реакцию канала в терминах времени нарастания, наблюдаемого в канале.

Вывод частоты изгиба

Частота изгиба выводится, учитывая время нарастания сигнала, подаваемого на RC-цепь. В этой простой ситуации идеальная прямоугольная волна подается на канал с RC-цепью в качестве нагрузки, как показано ниже. Это используется потому, что эффективно представляет собой безпотерную однопроводную линию передачи только с емкостной нагрузкой (без спецификации импеданса); два распространенных случая, когда это имеет практическое значение, - это быстрые GPIO и шины SPI.

Сопротивление на этой схеме может быть простым резистивным импедансом или линией передачи; это на самом деле основа для вывода функций передачи линии передачи с произвольными импедансами нагрузки. Прочтите связанную статью, чтобы узнать об этом больше.

В вышеуказанном случае мы подаем идеальную прямоугольную волну, что означает, что время нарастания прямоугольной волны по определению составляет ровно 0 секунд. Полоса пропускания этого сигнала бесконечна, что можно доказать, рассмотрев его ряд Фурье. Если бы это был идеальный логический сигнал, запущенный в канал, который завершается нашей RC-цепью, мы должны спросить: как будет изменяться напряжение на конденсаторе со временем в ответ?

Это простая задача для решения в области Лапласа с использованием передаточных функций; напряжение на конце приемника канала (через конденсатор) задается хорошо известной формулой:

где u(t) - функция Хевисайда. Далее мы можем рассчитать время нарастания напряжения с 10% до 90% в терминах постоянной времени. Если вы рассчитаете ln(V(90%)/V(10%)), то получите следующий результат:

Что мы только что рассчитали? Определенно не время нарастания сигнала, который мы подали в канал… оно было определено как нулевое! То, что мы рассчитали, это просто время нарастания напряжения, видимое на приемнике, только из-за взаимодействия между сигналом и приемником. Мы получили бы то же самое, если бы моделировали приемник как закрытый на целевом импедансе.

Как мы получаем значение полосы пропускания из этого? Для этого мы просто замечаем, что частота -3 дБ вышеупомянутой RC-цепи (часто упоминаемая как полоса пропускания цепи) равна 2𝜋, деленной на постоянную времени. Тогда у нас есть следующий результат:

Некоторые результаты указывают частоту изгиба с предфактором 0.5 вместо 0.35. Независимо от используемого предфактора, мы должны интерпретировать это правильно. Правильная интерпретация заключается не в том, что цифровой сигнал содержит только частоты до указанного выше значения, а в том, что это минимальное количество полосы пропускания, которое требуется цифровому сигналу для вызова экспоненциального приближения к ответу, который обычно наблюдается в RC-цепи.

Это приводит нас к первому выводу:

Другой способ думать о частоте изгиба следующий:

В реальном соединении, где всегда есть некоторое расстояние между линией и нагрузкой, это не так. Когда расстояние между драйвером и приемником больше, разница между введенным и принятым сигналами будет больше.

Какова реакция канала с линией передачи?

Вышеуказанный результат говорит нам о минимальной полосе пропускания, необходимой для инициирования экспоненциального подхода к ответу. Также рассматривается только прямое соединение с резистивным импедансом на емкостную нагрузку, линия передачи вообще не учитывалась. Реальные каналы могут сильно отличаться, и вы можете не найти такого простого результата, который связывал бы требования к полосе пропускания канала с его временем отклика или с временем нарастания сигнала.

Чтобы определить отклик канала, вам необходимо знать:

• Импеданс и постоянную распространения канала
• Функцию передачи канала или функцию импульсного отклика

В качестве примера давайте рассмотрим отклик на импульс, наблюдаемый на нагрузке в реальном канале с потерями. Приведенный ниже примерный результат был рассчитан в Simbeor; он показывает эффекты потерь в длинном канале стриплайна. Скорость фронта входного импульса составляла 4,5 нс. Из-за потерь в канале скорость импульса замедлилась до 9,9 нс (не обращайте внимания на непричинные колебания). Обратите внимание, что в этом канале нет емкостной нагрузки; предполагается, что согласование нагрузки идеально. Если бы у нас была некоторая емкостная нагрузка, возможно, мы бы увидели дальнейшее замедление скорости фронта на нагрузке.

Означает ли это, что пропускная способность сигнала ограничена 35,4 МГц? Нет; пропускная способность вводимого сигнала всегда бесконечна. Канал и нагрузка просто ограничивают пропускную способность, которая достигает и используется компонентом нагрузки; именно поэтому входной сигнал не выглядит точно так же, как выходной сигнал, даже в безпотерьном канале.

Здесь у нас есть четыре важных вывода:

Какова пропускная способность цифрового сигнала?

Пропускная способность всех цифровых сигналов, даже когда они подаются в канал и имеют замедленную скорость нарастания/спада, всегда бесконечна. Максимальная частота отсутствует. Доказательство этого - простая задача, включающая расчет коэффициентов в ряду Фурье. Чтобы показать это, рассмотрим трапецеидальный сигнал с указанными временами нарастания и спада, как показано на диаграмме ниже.

Если вы используете комплексные экспоненты в качестве ортонормированных базисных функций в представлении ряда Фурье, вы можете показать, что пиковые амплитуды частот Фурье следуют тенденции функции sinc; почти такой же результат получается с прямоугольной волной. Эта функция содержит бесконечное количество гармоник; верхняя граница частоты отсутствует, как это подразумевается типичной интерпретацией частоты излома. Перейдите по этой ссылке, чтобы найти вывод (страницы 3-20 до 3-26) огибающей sinc.

Вопрос, который следует задать: сколько из этой бесконечной пропускной способности действительно имеет значение? Это зависит… пропускная способность, которая действительно имеет значение, - это количество пропускной способности, необходимое приемнику для правильной интерпретации цифрового сигнала. Канал должен поддерживать этот минимальный объем пропускной способности.

Даже в более реалистичной ситуации, когда форма сигнала аппроксимируется как имеющая гауссово или лоренцево края, полоса пропускания всё равно бесконечна. Здесь мы рассмотрели только идеальные прямоугольные волны или трапециевидные волны, но более продвинутые вычислительные интерфейсы и модулированные сигналы потребуют полос пропускания канала, которые не имеют ничего общего с временем нарастания сигнала.

Например, каждый поток битов PAM демонстрирует это свойство, и понимание этого очень важно в большинстве вычислительных интерфейсов, начиная с Ethernet. Рассмотрим другой пример с PAM-4; если вы используете оценку времени нарастания в 25% UI для потока битов 224G PAM-4 и подставите это в формулу частоты колена, вы обнаружите, что минимальная полоса пропускания канала составляет около 157 ГГц. На самом деле каналу требуется минимальная полоса пропускания всего 56 ГГц (смотрите эту статью для объяснения).

Узнайте больше об этой теме и посмотрите вывод формулы частоты колена в этом видео.

Резюме

Хотя верно, что частота излома является универсальным соотношением независимо от емкостной нагрузки и импеданса, это верно только для очень конкретной ситуации. В общем случае мы не сталкиваемся с этой ситуацией на практике, и формулы для частоты излома/3 дБ являются лишь приближениями. В некоторых случаях, таких как потоки бит PAM, упомянутые выше, эти формулы завышают требуемую пропускную способность канала. Они также не имеют ничего общего с пропускной способностью цифрового сигнала, которая является бесконечной.

Когда вы будете готовы начать проектирование своих высокоскоростных печатных плат, убедитесь, что используете инструменты проектирования и анализа в Altium Designer®. Когда вы закончите свой проект и захотите отправить файлы вашему производителю, платформа Altium 365™ упростит сотрудничество и обмен проектами.

Мы лишь слегка коснулись возможностей, которые открывает Altium Designer на Altium 365. Начните свою бесплатную пробную версию Altium Designer + Altium 365 уже сегодня.