Woher kommt die Formel für die Kniefrequenz?

In dieser kurzen Serie über Missverständnisse bezüglich der Signalintegrität bei hohen Geschwindigkeiten taucht immer wieder eine Formel auf, die in grundlegenden Diskussionen zur Signalintegrität verwendet wird. Diese Formel ist die sogenannte Knie-Frequenz-Formel, und sie wird austauschbar mit einer bestimmten -3 dB Frequenz verwendet. Interessant ist, dass sie so oft als Wert für die höchste Frequenz im Bandbreitenspektrum eines Signals zitiert wird, was nicht korrekt ist.

Bevor wir diese Diskussion überhaupt beginnen, müssen wir einen sehr wichtigen Punkt ansprechen:

Die obige Aussage kann mit einer grundlegenden Fourier-Reihen-Berechnung bewiesen werden. Die Berechnung wird manchmal als Hausaufgabe in Elektronikkursen und in Kursen der mittleren Mathematik gestellt.

Die Knie-Frequenz ist eine dieser alten Richtlinien, die in Situationen zitiert wird, in denen sie nicht zutrifft, und es kann bewiesen werden, dass sie in realen Systemen nicht korrekt ist. Das grundlegende konzeptionelle Verständnis hinter der Knie-Frequenz wird auch von vielen Designern missverstanden, einschließlich von neuen Designern, die sich an Themen zur Signalintegrität (SI) versuchen.

Damit das geklärt ist, lassen Sie uns tief in die Bedeutung der Kniefrequenz und ihre konzeptionellen Ursprünge eintauchen.

Warum Designer die Kniefrequenz angeben

Die Kniefrequenz wird oft in zwei Bereichen zitiert:

• Test und Messung, speziell bei Messungen von RC-Schaltungen oder Tiefpassfiltern mit Frequenzanalysatoren oder Oszilloskopen
• Im Hochgeschwindigkeits-PCB-Design, wo sie als höchster Frequenzwert angegeben wird, der in einem digitalen Signal enthalten ist

Die Test- und Messungsexperten haben es richtig verstanden und sie wissen, was sie messen: Sie messen die Reaktion eines Kanals auf ein Eingangssignal. Der 2. Punkt ist nur in spezifischen Situationen korrekt und wird fälschlicherweise dem Signal zugeschrieben, anstatt dem Kanal. Um zu verstehen, warum das so ist, müssen wir zu einem einfachen Kanalmodell zurückkehren und uns die Kanalabschlüsse ansehen, dann können wir die Kanalreaktion in Bezug auf die Anstiegszeit, die im Kanal gesehen wird, ableiten.

Herleitung der Kniefrequenz

Die Knie-Frequenz wird abgeleitet, indem man die Anstiegszeit eines Signals betrachtet, das an einen RC-Kreis angelegt wird. In dieser einfachen Situation wird eine perfekte Rechteckwelle in einen Kanal mit einem RC-Kreis als Last eingespeist, wie unten gezeigt. Der Grund, warum dies verwendet wird, liegt darin, dass es effektiv eine verlustfreie einseitige Übertragungsleitung mit nur einer Lastkapazität (ohne Impedanzspezifikation) darstellt; zwei häufige Fälle, in denen dies praktisch wichtig ist, sind bei schnellen GPIOs und SPI-Bussen.

Der Widerstand in diesem Diagramm könnte eine einfache resistive Impedanz oder eine Übertragungsleitung sein; dies ist tatsächlich die Grundlage für die Ableitung von Übertragungsleitungs-Transferfunktionen mit beliebigen Lastimpedanzen. Lesen Sie den verlinkten Artikel, um mehr darüber zu erfahren.

Im oben genannten Fall speisen wir eine perfekte Rechteckwelle ein, was bedeutet, dass die Rechteckwelle definitionsgemäß eine Anstiegszeit von genau 0 Sekunden hat. Die Bandbreite dieses Signals ist unendlich, was durch Betrachten seiner Fourier-Reihe bewiesen werden kann. Wenn dies ein perfektes Logiksignal wäre, das in einen Kanal eingespeist wird, der mit unserem RC-Kreis abgeschlossen ist, sollten wir fragen: Wie wird sich die Spannung über dem Kondensator im Laufe der Zeit ändern?

Dies ist ein einfaches Problem, das im Laplace-Bereich unter Verwendung von Übertragungsfunktionen gelöst werden kann; die Spannung am Empfängerende des Kanals (über dem Kondensator) wird durch die bekannte Formel gegeben:

wo u(t) die Heaviside-Sprungfunktion ist. Als Nächstes können wir die 10%-90% Anstiegszeit dieser Spannung in Bezug auf die Zeitkonstante berechnen. Wenn Sie ln(V(90%)/V(10%)) berechnen, dann erhalten Sie das folgende Ergebnis:

Was haben wir gerade berechnet? Es war sicherlich nicht die Anstiegszeit des Signals, das wir in den Kanal eingespeist haben... das wurde als null definiert! Was wir berechnet haben, ist nur die Anstiegszeit in der Spannung, die am Empfänger aufgrund der Interaktion zwischen dem Signal und dem Empfänger gesehen wird. Wir würden dasselbe erhalten, wenn wir den Empfänger als am Zielimpedanz abgeschlossen modellierten.

Wie erhalten wir daraus einen Bandbreitenwert? Dafür bemerken wir einfach, dass die -3 dB Frequenz des oben genannten RC-Kreises (häufig als Bandbreite des Kreises zitiert) 2𝜋 geteilt durch die Zeitkonstante ist. Dann haben wir das folgende Ergebnis:

Einige Ergebnisse geben die Kniefrequenz mit einem Vorfaktor von 0,5 anstatt 0,35 an. Unabhängig davon, welcher Vorfaktor verwendet wird, müssen wir dies korrekt interpretieren. Die richtige Interpretation ist nicht, dass ein digitales Signal nur Frequenzen bis zum oben genannten Wert enthält, sondern dass dies die minimale Bandbreite ist, die ein digitales Signal benötigt, um die normalerweise in einem RC-Kreis beobachtete exponentielle Annäherungsreaktion zu verursachen.

Dies führt zu unserer ersten Schlussfolgerung:

Eine andere Betrachtungsweise der Kniefrequenz ist folgende:

In einer realen Verbindung, wo immer ein gewisser Abstand zwischen Leitung und Last besteht, ist dies nicht der Fall. Wenn der Abstand zwischen Treiber und Empfänger länger ist, wird es einen größeren Unterschied zwischen den eingespeisten und empfangenen Signalen geben.

Wie ist die Kanalreaktion mit einer Übertragungsleitung?

Das obige Ergebnis teilt uns die minimale Bandbreite mit, die benötigt wird, um die exponentielle Annäherungsreaktion auszulösen. Es berücksichtigt auch nur eine direkte Verbindung mit resistiver Impedanz zu einer Lastkapazität, es wurde überhaupt keine Übertragungsleitung in Betracht gezogen. Reale Kanäle könnten sehr unterschiedlich sein, und es ist möglich, dass Sie kein so einfaches Ergebnis finden, das die Bandbreitenanforderung des Kanals mit seiner Reaktionszeit oder mit der Anstiegszeit des Signals in Verbindung bringt.

Um die Kanalreaktion zu bestimmen, müssen Sie folgendes wissen:

• Die Impedanz und die Ausbreitungskonstante des Kanals
• Die Übertragungsfunktion oder Impulsantwortfunktion des Kanals

Nur als Beispiel, schauen wir uns eine Pulsantwort an, die an einer Last in einem realen Kanal mit Verlusten gesehen wurde. Das unten gezeigte Beispielergebnis wurde in Simbeor berechnet; es zeigt die Auswirkungen von Verlusten in einem langen Streifenleiterkanal. Die Eingangskantenrate des Pulses betrug 4,5 ns. Aufgrund von Verlusten im Kanal wurde der Puls auf 9,9 ns verlangsamt (ignorieren Sie die nicht-kausalen Wellen). Beachten Sie, dass wir in diesem Kanal keine Lastkapazität haben; es wird angenommen, dass die Abschlussimpedanz perfekt abgeglichen ist. Wenn wir etwas Lastkapazität hätten, ist es möglich, dass wir eine weitere Verlangsamung in der Kantenrate an der Last sehen könnten.

Bedeutet dies, dass die Bandbreite des Signals auf 35,4 MHz begrenzt ist? Nein; die Bandbreite des eingespeisten Signals ist immer unendlich. Der Kanal und die Last begrenzen lediglich die Bandbreite, die die Lastkomponente erreicht und nutzt; genau deshalb sieht das Eingangssignal nicht genau so aus wie das Ausgangssignal, selbst in einem verlustfreien Kanal.

Hier haben wir vier wichtige Schlussfolgerungen:

Was ist die Bandbreite eines digitalen Signals?

Die Bandbreite aller digitalen Signale ist immer unendlich, selbst wenn sie in einen Kanal eingespeist werden und eine verlangsamte Flankensteilheit aufweisen. Es gibt keine maximale Frequenz. Der Beweis hierfür ist ein einfaches Problem, das die Berechnung der Koeffizienten in einer Fourier-Reihe beinhaltet. Um dies zu zeigen, betrachten Sie ein trapezförmiges Signal mit spezifizierten Anstiegs- und Abfallzeiten, wie im Diagramm unten dargestellt.

Wenn Sie komplexe Exponentialfunktionen als die orthonormalen Basisfunktionen in Ihrer Fourier-Reihen-Darstellung verwenden, können Sie zeigen, dass die Spitzenamplituden der Fourier-Frequenzen einem Sinc-Funktionsverlauf folgen; fast das gleiche Ergebnis findet man bei einer Rechteckwelle. Diese Funktion enthält unendliche Harmonische; es gibt keine obere Grenzfrequenz, wie es die typische Interpretation der Knie-Frequenz impliziert. Folgen Sie diesem Link, um eine Ableitung (Seiten 3-20 bis 3-26) der Sinc-Hülle zu finden.

Die Frage, die man sich stellen muss, lautet: Wie viel von dieser unendlichen Bandbreite ist tatsächlich von Bedeutung? Es kommt darauf an… Die Bandbreite, die tatsächlich wichtig ist, ist die Menge an Bandbreite, die der Empfänger benötigt, um ein digitales Signal richtig zu interpretieren. Der Kanal muss diese Mindestmenge an Bandbreite unterstützen.

Auch in einer realistischeren Situation, in der die Form eines Signals als annähernd Gaussian oder Lorentzian betrachtet wird, ist die Bandbreite immer noch unendlich. Hier haben wir uns nur perfekte Rechteckwellen oder Trapezwellen angesehen, aber fortgeschrittenere Rechenschnittstellen und modulierte Signale erfordern Kanalbandbreiten, die nichts mit der Anstiegszeit eines Signals zu tun haben.

Beispielsweise zeigt jeder PAM-Bitstrom diese Eigenschaft, und ein Verständnis davon ist in den meisten Rechenschnittstellen sehr wichtig, die bis zu Ethernet zurückreichen. Betrachten Sie ein weiteres Beispiel mit PAM-4; wenn Sie eine 25% UI-Schätzung für die Anstiegszeit eines 224G PAM-4-Bitstroms verwenden und dies in die Formel für die Knie-Frequenz einsetzen, werden Sie feststellen, dass die minimale Kanalbandbreite etwa 157 GHz beträgt. In Wirklichkeit benötigt der Kanal nur eine minimale Bandbreite von 56 GHz (sehen Sie sich diesen Artikel für eine Erklärung an).

Erfahren Sie mehr über dieses Thema und sehen Sie sich eine Ableitung der Knie-Frequenz in diesem Video an.

Zusammenfassung

Während es wahr ist, dass die Kniefrequenz eine universelle Beziehung ist, unabhängig von der Lastkapazität und Impedanz, gilt dies nur für eine sehr spezifische Situation. Allgemein tritt diese Situation in der Praxis nicht auf, und die Knie-/3-dB-Formeln sind nur Annäherungen. In einigen Fällen, wie den oben zitierten PAM-Bitströmen, überschätzen diese Formeln die in einem Kanal benötigte Bandbreite. Sie haben auch nichts mit der Bandbreite eines digitalen Signals zu tun, die unendlich ist.

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