Da Dove Proviene la Formula della Frequenza di Ginocchio?

Continuando con questa breve serie sulle incomprensioni relative all'integrità dei segnali ad alta velocità, c'è una formula che ricorre continuamente nelle discussioni elementari sull'integrità del segnale. Questa formula è quella cosiddetta della frequenza di ginocchio, ed è usata in modo interscambiabile con qualche frequenza a -3 dB. Ciò che è interessante è che questa viene spesso citata come un valore per la massima frequenza contenuta nella larghezza di banda del segnale, il che non è corretto.

Prima di iniziare questa discussione, dobbiamo affrontare un punto molto importante:

La dichiarazione sopra può essere dimostrata con un semplice calcolo della serie di Fourier. Il calcolo è talvolta dato come problema di compito nelle classi di elettronica e nelle classi di matematica intermedia.

La frequenza di ginocchio è un'altra di quelle vecchie linee guida che viene citata in situazioni dove non si applica, e può essere dimostrata essere incorretta nei sistemi reali. Anche la comprensione concettuale di base dietro la frequenza di ginocchio è fraintesa da molti progettisti, inclusi i nuovi progettisti che tentano di affrontare gli argomenti di SI.

Dopo aver chiarito questo punto, approfondiamo il significato della frequenza di ginocchio e le sue origini concettuali.

Perché i progettisti citano la frequenza di ginocchio

La frequenza di ginocchio è spesso citata in due ambiti:

• Test e misurazioni, specificamente con misurazioni di circuiti RC o filtri passa-basso con analizzatori di frequenza o oscilloscopi
• Nella progettazione di PCB ad alta velocità, dove è indicata come il valore di frequenza massima contenuto in un segnale digitale

Gli addetti ai test e alle misurazioni hanno ragione e capiscono ciò che stanno misurando: stanno misurando la risposta di un canale a un certo segnale di ingresso. Il secondo punto è corretto solo in situazioni specifiche ed è attribuito in modo errato al segnale, piuttosto che al canale. Per capire perché è così, dobbiamo tornare a un semplice modello di canale e guardare alla terminazione del canale, poi possiamo derivare la risposta del canale in termini di tempo di salita visto nel canale.

Derivazione della Frequenza di Ginocchio

La frequenza di ginocchio è derivata considerando il tempo di salita di un segnale che viene fornito a un circuito RC. In questa situazione semplice, un'onda quadra perfetta viene fornita a un canale con un circuito RC come carico, come mostrato di seguito. Il motivo per cui si utilizza questo metodo è perché rappresenta efficacemente una linea di trasmissione monoterminale senza perdite con solo una capacità di carico (senza specifica di impedenza); due casi comuni in cui ciò è praticamente importante sono con GPIO veloci e bus SPI.

La resistenza in questo diagramma potrebbe essere un'impedenza resistiva semplice o una linea di trasmissione; questo è in realtà la base per derivare funzioni di trasferimento della linea di trasmissione con impedenze di carico arbitrarie. Leggi l'articolo collegato per saperne di più a riguardo.

Nel caso sopra citato, forniamo un'onda quadra perfetta, il che significa che l'onda quadra ha un tempo di salita di esattamente 0 secondi per definizione. La larghezza di banda di questo segnale è infinita, il che può essere dimostrato guardando la sua serie di Fourier. Se questo fosse un segnale logico perfetto lanciato in un canale che termina con il nostro circuito RC, dovremmo chiederci: come cambierà nel tempo la tensione attraverso il condensatore in risposta?

Questo è un problema semplice da risolvere nel dominio di Laplace utilizzando le funzioni di trasferimento; la tensione all'estremità ricevente del canale (attraverso il condensatore) è data dalla ben nota formula:

dove u(t) è la funzione gradino di Heaviside. Successivamente, possiamo calcolare il tempo di salita dal 10% al 90% di questa tensione in termini della costante di tempo. Se calcoli ln(V(90%)/V(10%)), otterrai il seguente risultato:

Cosa abbiamo appena calcolato? Certamente non era il tempo di salita del segnale che abbiamo inviato nel canale... quello era definito essere zero! Quello che abbiamo calcolato è solo il tempo di salita nella tensione vista al ricevitore solo a causa dell'interazione tra il segnale e il ricevitore. Otterremmo la stessa cosa se modelliamo il ricevitore come terminato all'impedenza target.

Come otteniamo un valore di larghezza di banda da questo? Per questo semplicemente notiamo che la frequenza a -3 dB del suddetto circuito RC (comunemente citata come la larghezza di banda del circuito) è 2𝜋 diviso per la costante di tempo. Quindi abbiamo il seguente risultato:

Alcuni risultati indicano la frequenza di ginocchio con un prefattore di 0,5 invece di 0,35. Indipendentemente dal prefattore utilizzato, dobbiamo interpretare correttamente questo dato. L'interpretazione corretta non è che un segnale digitale contenga solo frequenze fino al valore sopra indicato, ma che questa sia la quantità minima di larghezza di banda di cui un segnale digitale ha bisogno per causare la risposta di avvicinamento esponenziale che si osserva normalmente in un circuito RC.

Questo ci porta alla nostra prima conclusione:

Un altro modo di pensare alla frequenza di ginocchio è il seguente:

In un collegamento reale, dove c'è sempre una certa distanza tra la linea e il carico, ciò non si verifica. Quando la distanza tra il driver e il ricevitore è maggiore, ci sarà una maggiore differenza tra i segnali iniettati e ricevuti.

Qual è la Risposta del Canale con una Linea di Trasmissione?

Il risultato sopra ci indica la larghezza di banda minima necessaria per innescare la risposta di approccio esponenziale. Considera inoltre solo una connessione diretta con impedenza resistiva a una capacità di carico, senza prendere in considerazione alcuna linea di trasmissione. I canali reali potrebbero essere molto diversi, e potresti non trovare un risultato così semplice che relaziona la larghezza di banda richiesta dal canale al suo tempo di risposta, o al tempo di salita del segnale.

Per determinare la risposta del canale, è necessario conoscere:

• L'impedenza e la costante di propagazione del canale
• La funzione di trasferimento del canale o la funzione di risposta all'impulso

Giusto per fare un esempio, diamo un'occhiata a una risposta all'impulso vista su un carico in un canale reale con perdite. Il risultato dell'esempio qui sotto è stato calcolato in Simbeor; mostra gli effetti delle perdite in un canale stripline lungo. Il tasso di salita dell'impulso in ingresso era di 4,5 ns. A causa delle perdite nel canale, l'impulso è stato rallentato a 9,9 ns (ignora le oscillazioni non causali). Nota che in questo canale non abbiamo alcuna capacità di carico; si presume che la terminazione sia perfettamente adattata. Se avessimo avuto della capacità di carico, è possibile che avremmo visto un ulteriore rallentamento del tasso di salita al carico.

Questo significa che la larghezza di banda del segnale è limitata a 35,4 MHz? No; la larghezza di banda del segnale iniettato è sempre infinita. Il canale e il carico limitano semplicemente la larghezza di banda che raggiunge e viene utilizzata dal componente di carico; questo è esattamente il motivo per cui il segnale di ingresso non sembra esattamente come il segnale di uscita, anche in un canale senza perdite.

Qui, abbiamo quattro conclusioni importanti:

Qual è la larghezza di banda di un segnale digitale?

La larghezza di banda di tutti i segnali digitali, anche quando iniettati in un canale e con una velocità di transizione ridotta, è sempre infinita. Non esiste una frequenza massima. Dimostrare ciò è un problema semplice che coinvolge il calcolo dei coefficienti in una serie di Fourier. Per mostrare questo, considera un segnale trapezoidale con tempi di salita e discesa specificati come mostrato nel diagramma sottostante.

Se utilizzi esponenziali complessi come funzioni di base ortonormali nella tua rappresentazione in serie di Fourier, puoi dimostrare che le ampiezze di picco delle frequenze di Fourier seguono una tendenza della funzione sinc; quasi lo stesso risultato si trova con un'onda quadra. Questa funzione contiene armoniche infinite; non esiste una frequenza di taglio superiore come implicato dall'interpretazione tipica della frequenza di ginocchio. Segui questo link per trovare una derivazione (pagine 3-20 a 3-26) dell'involucro sinc.

La domanda da porsi è questa: quanto di quella larghezza di banda infinita conta davvero? Dipende... la larghezza di banda che conta davvero è la quantità di larghezza di banda di cui il ricevitore ha bisogno per interpretare correttamente un segnale digitale. Il canale deve supportare questa quantità minima di larghezza di banda.

Anche in una situazione più realistica, dove la forma di un segnale è approssimata come avente un bordo gaussiano o lorentziano, la larghezza di banda è comunque infinita. Qui abbiamo esaminato solo onde quadrate perfette o onde trapezoidali, ma interfacce di calcolo più avanzate e segnali modulati richiederanno larghezze di banda del canale che non hanno nulla a che fare con il tempo di salita di un segnale.

Ad esempio, ogni flusso di bit PAM mostra questa proprietà, e la comprensione di ciò è molto importante nella maggior parte delle interfacce di calcolo che risalgono fino all'Ethernet. Considerate un altro esempio con PAM-4; se si dovesse utilizzare una stima del 25% UI per il tempo di salita di un flusso di bit PAM-4 da 224G e inserire questo nella formula della frequenza del ginocchio, si troverebbe che la larghezza di banda minima del canale è di circa 157 GHz. In realtà, il canale ha bisogno solo di una larghezza di banda minima di 56 GHz (vedi questo articolo per una spiegazione).

Scopri di più su questo argomento e guarda una derivazione della frequenza del ginocchio in questo video.

Riassunto

Sebbene sia vero che la frequenza di ginocchio è una relazione universale indipendentemente dalla capacità di carico e dall'impedenza, ciò è vero solo per una situazione molto specifica. In generale, non vediamo questa situazione verificarsi nella pratica e le formule del ginocchio/3 dB sono solo approssimazioni. In alcuni casi, come per i flussi di bit PAM citati sopra, queste formule sovrastimano la larghezza di banda richiesta in un canale. Inoltre, non hanno nulla a che fare con la larghezza di banda di un segnale digitale, che è infinita.

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