Công thức Tần số Gối đến từ đâu?

Tiếp tục với loạt bài ngắn về những hiểu lầm liên quan đến tính toàn vẹn tín hiệu tốc độ cao, có một công thức xuất hiện đi đi lại lại trong các cuộc thảo luận cơ bản về tính toàn vẹn tín hiệu. Công thức này chính là công thức tần số gối, và nó được sử dụng thay thế cho tần số -3 dB nào đó. Điều thú vị là công thức này thường xuyên được trích dẫn như một giá trị cho tần số cao nhất chứa trong băng thông tín hiệu, điều này không chính xác.

Trước khi bắt đầu cuộc thảo luận này, chúng ta cần phải nhấn mạnh một điểm rất quan trọng:

Phát biểu trên có thể được chứng minh bằng một phép tính chuỗi Fourier cơ bản. Phép tính này đôi khi được giao làm bài tập về nhà trong các lớp học điện tử và trong các lớp toán học trung cấp.

Tần số gối là một trong những hướng dẫn cũ được trích dẫn trong các tình huống không áp dụng, và nó có thể được chứng minh là không chính xác trong các hệ thống thực tế. Sự hiểu biết cơ bản về tần số gối cũng bị hiểu lầm bởi nhiều nhà thiết kế, bao gồm cả những nhà thiết kế mới thử sức với các chủ đề về SI.

Với việc đó đã được giải quyết, hãy cùng tìm hiểu sâu về ý nghĩa của tần số gối và nguồn gốc khái niệm của nó.

Tại sao Các Nhà Thiết Kế Trích Dẫn Tần Số Gối

Tần số gối thường được trích dẫn trong hai lĩnh vực:

• Kiểm tra và đo lường, cụ thể là với các phép đo mạch RC hoặc bộ lọc thông thấp với các máy phân tích tần số hoặc máy hiện sóng
• Trong thiết kế PCB tốc độ cao, nơi nó được nêu là giá trị tần số cao nhất có trong một tín hiệu số

Nhóm kiểm tra và đo lường hiểu đúng và họ biết họ đang đo cái gì: họ đang đo phản ứng của một kênh đối với một tín hiệu đầu vào nào đó. Điểm thứ 2 chỉ đúng trong các tình huống cụ thể và được gán nhầm cho tín hiệu, thay vì cho kênh. Để hiểu tại sao lại như vậy, chúng ta cần quay lại với một mô hình kênh đơn giản và xem xét việc kết thúc kênh, sau đó chúng ta có thể suy ra phản ứng của kênh dựa trên thời gian tăng thấy trong kênh.

Phái Sinh Tần Số Gối

Tần số gối được xác định bằng cách xem xét thời gian tăng của tín hiệu được cung cấp cho mạch RC. Trong tình huống đơn giản này, một sóng vuông hoàn hảo được cung cấp vào một kênh với mạch RC làm tải, như được hiển thị dưới đây. Lý do sử dụng phương pháp này là bởi vì nó thực sự đại diện cho một đường truyền đơn cuối không mất mát với chỉ có dung kháng tải (không có thông số trở kháng); hai trường hợp phổ biến khi điều này thực sự quan trọng là với GPIOs nhanh và các bus SPI.

Trở kháng trong sơ đồ này có thể là một trở kháng đơn giản hoặc một đường truyền; thực tế đây là cơ sở để suy ra các hàm chuyển đường truyền với các trở kháng tải tùy ý. Đọc bài viết liên kết để tìm hiểu thêm về điều này.

Trong trường hợp trên, chúng ta cung cấp một sóng vuông hoàn hảo, nghĩa là sóng vuông có thời gian tăng chính xác là 0 giây theo định nghĩa. Băng thông của tín hiệu này là vô hạn, điều này có thể được chứng minh bằng cách nhìn vào chuỗi Fourier của nó. Nếu đây là một tín hiệu logic hoàn hảo được phóng vào một kênh kết thúc với mạch RC của chúng ta, chúng ta nên hỏi: điện áp qua tụ điện sẽ thay đổi như thế nào theo thời gian phản ứng?

Đây là một vấn đề đơn giản để giải quyết trong miền Laplace sử dụng các hàm chuyển đổi; điện áp ở đầu nhận của kênh (qua tụ điện) được cho bởi công thức nổi tiếng:

trong đó u(t) là hàm bước Heaviside. Tiếp theo, chúng ta có thể tính thời gian tăng từ 10% đến 90% của điện áp này theo hằng số thời gian. Nếu bạn tính ln(V(90%)/V(10%)), sau đó bạn sẽ nhận được kết quả sau:

Chúng ta vừa tính toán cái gì? Chắc chắn đó không phải là thời gian tăng của tín hiệu mà chúng ta đã đưa vào kênh... điều đó đã được xác định là bằng không! Những gì chúng ta tính toán chỉ là thời gian tăng trong điện áp thấy ở đầu nhận chỉ do sự tương tác giữa tín hiệu và đầu nhận. Chúng ta sẽ nhận được điều tương tự nếu chúng ta mô hình hóa đầu nhận như được kết thúc ở trở kháng mục tiêu.

Làm thế nào chúng ta có thể lấy được giá trị băng thông từ điều này? Đối với điều này, chúng ta chỉ cần chú ý rằng tần số -3 dB của mạch RC trên (thường được trích dẫn là băng thông của mạch) là 2𝜋 chia cho hằng số thời gian. Sau đó, chúng ta có kết quả sau:

Một số kết quả đưa ra tần số gối với hệ số trước là 0.5 thay vì 0.35. Bất kể hệ số trước nào được sử dụng, chúng ta phải hiểu đúng cách. Cách hiểu đúng không phải là tín hiệu số chỉ chứa các tần số lên đến giá trị trên, mà là đây là lượng băng thông tối thiểu mà một tín hiệu số cần để gây ra phản ứng tiếp cận mũ thường thấy trong mạch RC.

Điều này dẫn đến kết luận đầu tiên của chúng ta:

Một cách khác để suy nghĩ về tần số gối như sau:

Trong một kết nối thực tế, nơi luôn có một khoảng cách nào đó giữa dây và tải, điều này không phải lúc nào cũng đúng. Khi khoảng cách giữa bộ phát và bộ nhận dài hơn, sẽ có sự khác biệt lớn hơn giữa tín hiệu được tiêm và tín hiệu nhận được.

Phản ứng của Kênh với Đường Truyền là gì?

Kết quả trên cho chúng ta biết băng thông tối thiểu cần thiết để kích hoạt phản ứng tiếp cận mũ. Nó cũng chỉ xem xét kết nối trực tiếp với trở kháng điện trở đến một tụ điện tải, không hề xem xét đến đường truyền tải nào cả. Các kênh thực tế có thể rất khác biệt, và bạn có thể không tìm thấy kết quả đơn giản nào như vậy liên quan đến yêu cầu băng thông của kênh với thời gian phản hồi của nó, hoặc với thời gian tăng của tín hiệu.

Để xác định phản ứng của kênh, bạn cần biết:

• Trở kháng và hằng số truyền sóng của kênh
• Chức năng chuyển đổi của kênh hoặc chức năng phản ứng xung

Chỉ là một ví dụ, hãy xem xét phản ứng xung được nhìn thấy tại một tải trong một kênh thực tế có tổn thất. Kết quả ví dụ dưới đây được tính toán trong Simbeor; nó cho thấy ảnh hưởng của tổn thất trong một kênh dải dẫn dài. Tốc độ cạnh đầu vào của xung là 4.5 ns. Do tổn thất trong kênh, xung đã bị chậm lại còn 9.9 ns (bỏ qua những gợn sóng không nhân quả). Lưu ý rằng chúng ta không có tụ điện tải nào trong kênh này; giả sử kết thúc được khớp hoàn hảo. Nếu chúng ta có một số tụ điện tải, có thể chúng ta sẽ thấy sự chậm trễ hơn nữa trong tốc độ cạnh tại tải.

Liệu điều này có nghĩa là băng thông của tín hiệu bị giới hạn ở 35.4 MHz? Không; băng thông của tín hiệu được tiêm vào luôn vô hạn. Kênh và tải chỉ giới hạn băng thông đến và được sử dụng bởi thành phần tải; đây chính xác là lý do tại sao tín hiệu đầu vào không trông giống hệt như tín hiệu đầu ra, ngay cả trong một kênh không mất mát.

Tại đây, chúng ta có bốn kết luận quan trọng:

Băng thông của một Tín hiệu Số là gì?

Băng thông của tất cả các tín hiệu số, ngay cả khi được đưa vào một kênh và có tốc độ biên độ giảm chậm, luôn là vô hạn. Không có tần số tối đa. Chứng minh điều này là một vấn đề đơn giản liên quan đến việc tính toán các hệ số trong một chuỗi Fourier. Để chứng minh điều này, hãy xem xét một tín hiệu hình thang với thời gian tăng và giảm được xác định như được hiển thị trong sơ đồ dưới đây.

Nếu bạn sử dụng các hàm mũ phức làm các hàm cơ sở trực giao trong biểu diễn chuỗi Fourier của mình, bạn có thể chứng minh rằng các biên độ đỉnh của các tần số Fourier tuân theo xu hướng hàm sinc; kết quả gần như tương tự được tìm thấy với một sóng vuông. Hàm này chứa vô hạn các hài hòa; không có tần số cắt trên như được ngụ ý bởi giải thích tần số đầu gối thông thường. Theo dõi liên kết này để tìm một phái sinh (trang 3-20 đến 3-26) của vỏ bọc sinc.

Câu hỏi cần đặt ra là: bao nhiêu băng thông vô hạn đó thực sự quan trọng? Tùy thuộc… băng thông thực sự quan trọng là lượng băng thông mà bộ thu cần để hiểu đúng một tín hiệu số. Kênh cần hỗ trợ ít nhất lượng băng thông này.

Ngay cả trong một tình huống thực tế hơn, khi hình dạng của một tín hiệu được xấp xỉ như có cạnh Gauss hoặc Lorentzian, băng thông vẫn là vô hạn. Ở đây, chúng ta chỉ xem xét sóng vuông hoàn hảo hoặc sóng thang, nhưng các giao diện tính toán tiên tiến hơn và tín hiệu điều chế sẽ yêu cầu băng thông kênh không liên quan gì đến thời gian tăng của tín hiệu.

Ví dụ, mỗi dòng bit PAM đều thể hiện tính chất này, và việc hiểu biết điều này rất quan trọng trong hầu hết các giao diện tính toán kéo dài từ Ethernet. Xem xét một ví dụ khác với PAM-4; nếu bạn sử dụng ước lượng UI 25% cho thời gian tăng của dòng bit PAM-4 224G và đưa nó vào công thức tần số gối, bạn sẽ thấy rằng băng thông kênh tối thiểu khoảng 157 GHz. Trên thực tế, kênh chỉ cần băng thông tối thiểu là 56 GHz (xem bài viết này để hiểu thêm).

Tìm hiểu thêm về chủ đề này và xem sự phát triển của tần số gối trong video này.

Tóm tắt

Trong khi đúng là tần số gối là một mối quan hệ phổ quát bất kể dung lượng tải và trở kháng, điều này chỉ đúng trong một tình huống cụ thể. Nói chung, chúng ta không thấy tình huống này xuất hiện trong thực tế và công thức tần số gối/3 dB chỉ là những ước lượng. Trong một số trường hợp, như các dòng bit PAM được trích dẫn ở trên, những công thức này đánh giá quá cao băng thông cần thiết trong một kênh. Chúng cũng không liên quan gì đến băng thông của tín hiệu số, mà là vô hạn.

Khi bạn sẵn sàng bắt đầu thiết kế PCB tốc độ cao của mình, hãy chắc chắn sử dụng các công cụ thiết kế và phân tích trong Altium Designer®. Khi bạn hoàn thành thiết kế và muốn gửi các tệp cho nhà sản xuất của mình, nền tảng Altium 365™ giúp bạn dễ dàng hợp tác và chia sẻ dự án của mình.

Chúng tôi chỉ mới khám phá bề mặt của những gì có thể thực hiện với Altium Designer trên Altium 365. Bắt đầu dùng thử miễn phí Altium Designer + Altium 365 ngày hôm nay.