D'où vient la formule de la fréquence de coupure ?

Poursuivant avec cette courte série sur les idées fausses concernant l'intégrité des signaux à haute vitesse, il y a une formule qui revient sans cesse dans les discussions élémentaires sur l'intégrité des signaux. Cette formule est celle dite de la fréquence de coupure, et elle est utilisée de manière interchangeable avec une certaine fréquence à -3 dB. Ce qui est intéressant, c'est qu'elle est souvent citée comme une valeur pour la fréquence la plus élevée contenue dans la bande passante d'un signal, ce qui n'est pas correct.

Avant même de commencer cette discussion, nous devons aborder un point très important :

Cette affirmation peut être prouvée avec un calcul basique de série de Fourier. Le calcul est parfois donné comme un problème de devoir dans les cours d'électronique et dans les cours de mathématiques intermédiaires.

La fréquence de coupure est une autre de ces anciennes directives qui est citée dans des situations où elle ne s'applique pas, et il peut être prouvé qu'elle est incorrecte dans les systèmes réels. La compréhension conceptuelle de base derrière la fréquence de coupure est également mal comprise par de nombreux concepteurs, y compris par les nouveaux essayant de s'attaquer aux sujets d'IS (Intégrité des Signaux).

Maintenant que cela est dit, plongeons profondément dans la signification de la fréquence de coupure et ses origines conceptuelles.

Pourquoi les concepteurs citent la fréquence de coupure

La fréquence de coupure est souvent mentionnée dans deux domaines :

• Le test et la mesure, spécifiquement avec les mesures de circuits RC ou de filtres passe-bas avec des analyseurs de fréquence ou des oscilloscopes
• Dans la conception de PCB à haute vitesse, où elle est déclarée comme une valeur de fréquence maximale contenue dans un signal numérique

Les spécialistes du test et de la mesure ont raison et ils comprennent ce qu'ils mesurent : ils mesurent la réponse d'un canal à un certain signal d'entrée. Le 2ème point n'est correct que dans des situations spécifiques et est attribué de manière incorrecte au signal, plutôt qu'au canal. Pour comprendre pourquoi c'est le cas, nous devons revenir à un modèle de canal simple et examiner la terminaison du canal, puis nous pouvons dériver la réponse du canal en termes de temps de montée observé dans le canal.

Dérivation de la fréquence de coupure

La fréquence de coupure est dérivée en considérant le temps de montée d'un signal qui est appliqué à un circuit RC. Dans cette situation simple, une onde carrée parfaite est injectée dans un canal avec un circuit RC comme charge, comme illustré ci-dessous. La raison pour laquelle cela est utilisé est parce que cela représente effectivement une ligne de transmission unifilaire sans pertes avec seulement une capacité de charge (sans spécification d'impédance) ; deux instances communes où cela importe pratiquement sont avec les GPIOs rapides et les bus SPI.

La résistance dans ce schéma pourrait être une simple impédance résistive ou une ligne de transmission ; c'est en fait la base de la dérivation des fonctions de transfert de ligne de transmission avec des impédances de charge arbitraires. Lisez l'article lié pour en savoir plus à ce sujet.

Dans le cas ci-dessus, nous appliquons une onde carrée parfaite, ce qui signifie que l'onde carrée a un temps de montée de exactement 0 seconde par définition. La bande passante de ce signal est infinie, ce qui peut être prouvé en regardant sa série de Fourier. Si c'était un signal logique parfait étant lancé dans un canal qui est terminé avec notre circuit RC, nous devrions nous demander : comment la tension à travers le condensateur va-t-elle changer au fil du temps en réponse ?

Il s'agit d'un problème simple à résoudre dans le domaine de Laplace en utilisant des fonctions de transfert ; la tension à l'extrémité réceptrice du canal (à travers le condensateur) est donnée par la formule bien connue :

où u(t) est la fonction échelon de Heaviside. Ensuite, nous pouvons calculer le temps de montée de 10 % à 90 % de cette tension en termes de constante de temps. Si vous calculez ln(V(90 %)/V(10 %)), alors vous obtiendrez le résultat suivant :

Qu'avons-nous calculé exactement ? Ce n'était certainement pas le temps de montée du signal que nous avons introduit dans le canal… celui-ci était défini comme étant nul ! Ce que nous avons calculé est juste le temps de montée de la tension vue au récepteur uniquement dû à l'interaction entre le signal et le récepteur. Nous obtiendrions la même chose si nous modélisions le récepteur comme étant terminé à l'impédance cible.

Comment obtenons-nous une valeur de bande passante à partir de cela ? Pour cela, nous remarquons simplement que la fréquence à -3 dB du circuit RC ci-dessus (communément citée comme la bande passante du circuit) est 2𝜋 divisé par la constante de temps. Ensuite, nous avons le résultat suivant :

Certains résultats indiquent que la fréquence de coupure a un préfacteur de 0,5 au lieu de 0,35. Peu importe le préfacteur utilisé, nous devons interpréter cela correctement. L'interprétation correcte n'est pas qu'un signal numérique contient uniquement des fréquences jusqu'à la valeur mentionnée, mais que c'est la quantité minimale de bande passante dont un signal numérique a besoin pour provoquer la réponse d'approche exponentielle qui est normalement observée dans un circuit RC.

Cela nous amène à notre première conclusion :

Une autre manière de penser à la fréquence de coupure est la suivante :

Dans un interconnect réel, où il y a toujours une certaine distance entre la ligne et la charge, ce n'est pas le cas. Lorsque la distance entre l'émetteur et le récepteur est plus longue, il y aura une plus grande différence entre les signaux injectés et reçus.

Quelle est la réponse du canal avec une ligne de transmission ?

Le résultat ci-dessus nous indique la bande passante minimale nécessaire pour déclencher la réponse d'approche exponentielle. Il considère également uniquement une connexion directe avec une impédance résistive à une capacité de charge, aucune ligne de transmission n'a été considérée du tout. Les canaux réels pourraient être très différents, et vous pourriez ne pas trouver un résultat aussi simple qui relie la bande passante requise du canal à son temps de réponse, ou au temps de montée du signal.

Pour déterminer la réponse du canal, vous devez connaître :

• L'impédance et la constante de propagation du canal
• La fonction de transfert du canal ou la fonction de réponse impulsionnelle

Juste comme un exemple, regardons une réponse d'impulsion vue à une charge dans un canal réel avec pertes. Le résultat d'exemple ci-dessous a été calculé dans Simbeor ; il montre les effets des pertes dans un canal de stripline long. Le taux de montée de l'impulsion était de 4,5 ns. En raison des pertes dans le canal, l'impulsion a été ralentie à 9,9 ns (ignorez les ondulations non causales). Notez que nous n'avons pas de capacité de charge dans ce canal ; on suppose que la terminaison est parfaitement adaptée. Si nous avions une certaine capacité de charge, il est possible que nous voyions un ralentissement supplémentaire dans le taux de montée à la charge.

Cela signifie-t-il que la bande passante du signal est limitée à 35,4 MHz ? Non ; la bande passante du signal injecté est toujours infinie. Le canal et la charge limitent simplement la bande passante qui atteint et est utilisée par le composant de charge ; c'est exactement pourquoi le signal d'entrée ne ressemble pas exactement au signal de sortie, même dans un canal sans pertes.

Ici, nous avons quatre conclusions importantes :

Quelle est la bande passante d'un signal numérique ?

La bande passante de tous les signaux numériques, même lorsqu'ils sont injectés dans un canal et ont un taux de montée ralenti, est toujours infinie. Il n'y a pas de fréquence maximale. Prouver cela est un problème simple impliquant le calcul des coefficients dans une série de Fourier. Pour montrer cela, considérez un signal trapézoïdal avec des temps de montée et de descente spécifiés comme montré dans le diagramme ci-dessous.

Si vous utilisez des exponentielles complexes comme fonctions de base orthonormales dans votre représentation en série de Fourier, vous pouvez montrer que les amplitudes de crête des fréquences de Fourier suivent une tendance de fonction sinc ; presque le même résultat est trouvé avec une onde carrée. Cette fonction contient des harmoniques infinies ; il n'y a pas de fréquence de coupure supérieure comme le suggère l'interprétation typique de la fréquence de genou. Suivez ce lien pour trouver une dérivation (pages 3-20 à 3-26) de l'enveloppe sinc.

La question à poser est la suivante : quelle partie de cette bande passante infinie importe réellement ? Cela dépend… la bande passante qui importe réellement est la quantité de bande passante dont le récepteur a besoin pour interpréter correctement un signal numérique. Le canal doit supporter cette quantité minimale de bande passante.

Même dans une situation plus réaliste, où la forme d'un signal est approximée comme ayant une bordure gaussienne ou lorentzienne, la bande passante reste infinie. Ici, nous n'avons examiné que des ondes carrées parfaites ou des ondes trapézoïdales, mais des interfaces informatiques plus avancées et des signaux modulés nécessiteront des largeurs de bande de canal qui n'ont rien à voir avec le temps de montée d'un signal.

Par exemple, chaque flux de bits PAM présente cette propriété, et comprendre cela est très important dans la plupart des interfaces informatiques remontant jusqu'à Ethernet. Considérez un autre exemple avec PAM-4 ; si vous utilisiez une estimation de 25 % UI pour le temps de montée d'un flux de bits PAM-4 de 224G et que vous l'intégrez dans la formule de la fréquence de genou, vous trouverez que la bande passante minimale du canal est d'environ 157 GHz. En réalité, le canal n'a besoin que d'une bande passante minimale de 56 GHz (voir cet article pour une explication).

Apprenez-en plus sur ce sujet et regardez une dérivation de la fréquence de genou dans cette vidéo.

Résumé

Bien qu'il soit vrai que la fréquence de coupure est une relation universelle indépendamment de la capacité de charge et de l'impédance, cela n'est vrai que pour une situation très spécifique. En général, nous ne voyons pas cette situation se produire en pratique et les formules de coupure/3 dB ne sont que des approximations. Dans certains cas, comme les flux de bits PAM cités ci-dessus, ces formules surestiment la bande passante requise dans un canal. Elles n'ont également rien à voir avec la bande passante d'un signal numérique, qui est infinie.

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