¿De dónde proviene la fórmula de la frecuencia de rodilla?

Continuando con esta breve serie sobre los malentendidos de la integridad de señal de alta velocidad, hay una fórmula que aparece una y otra vez en las discusiones elementales sobre integridad de señal. Esta fórmula es la llamada fórmula de la frecuencia de rodilla, y se usa indistintamente con alguna frecuencia de -3 dB. Lo interesante es que esto se cita a menudo como un valor para la frecuencia más alta contenida en el ancho de banda de la señal, lo cual no es correcto.

Antes incluso de comenzar esta discusión, tenemos que abordar un punto muy importante:

La afirmación anterior se puede probar con un cálculo básico de series de Fourier. El cálculo a veces se da como un problema de tarea en clases de electrónica y en clases de matemáticas intermedias.

La frecuencia de rodilla es otra de esas viejas pautas que se cita en situaciones donde no se aplica, y se puede demostrar que es incorrecta en sistemas reales. La comprensión conceptual básica detrás de la frecuencia de rodilla también es malentendida por muchos diseñadores, incluidos los diseñadores más nuevos que intentan abordar temas de SI.

Con eso fuera del camino, profundicemos en el significado de la frecuencia de rodilla y sus orígenes conceptuales.

Por qué los diseñadores citan la frecuencia de rodilla

La frecuencia de rodilla se cita a menudo en dos áreas:

• Prueba y medición, específicamente con mediciones de circuitos RC o filtros de paso bajo con analizadores de frecuencia o osciloscopios
• En el diseño de PCB de alta velocidad, donde se establece como un valor de frecuencia máxima contenida en una señal digital

Las personas de prueba y medición lo tienen correcto y entienden lo que están midiendo: están midiendo la respuesta de un canal a alguna señal de entrada. El 2do punto solo es correcto en situaciones específicas y se atribuye incorrectamente a la señal, en lugar del canal. Para ver por qué este es el caso, tenemos que volver a un modelo de canal simple y mirar la terminación del canal, luego podemos derivar la respuesta del canal en términos del tiempo de subida visto en el canal.

Derivación de la Frecuencia de Rodilla

La frecuencia de rodilla se deriva considerando el tiempo de subida de una señal que se origina en un circuito RC. En esta situación simple, una onda cuadrada perfecta se introduce en un canal con un circuito RC como carga, como se muestra a continuación. La razón por la que se utiliza es porque representa efectivamente una línea de transmisión unifilar sin pérdidas con solo una capacitancia de carga (sin especificación de impedancia); dos instancias comunes donde esto importa prácticamente es con GPIOs rápidos y buses SPI.

La resistencia en este diagrama podría ser una impedancia resistiva simple o una línea de transmisión; esto es en realidad la base para derivar funciones de transferencia de línea de transmisión con impedancias de carga arbitrarias. Lee el artículo vinculado para aprender más sobre esto.

En el caso anterior, originamos una onda cuadrada perfecta, lo que significa que la onda cuadrada tiene un tiempo de subida de exactamente 0 segundos por definición. El ancho de banda de esta señal es infinito, lo cual se puede probar mirando su serie de Fourier. Si esto fuera una señal lógica perfecta lanzada en un canal que termina con nuestro circuito RC, deberíamos preguntar: ¿cómo cambiará la tensión a través del capacitor con el tiempo en respuesta?

Este es un problema sencillo de resolver en el dominio de Laplace usando funciones de transferencia; el voltaje en el extremo receptor del canal (a través del capacitor) se da por la fórmula bien conocida:

donde u(t) es la función escalón de Heaviside. A continuación, podemos calcular el tiempo de subida del 10% al 90% de este voltaje en términos de la constante de tiempo. Si calculas ln(V(90%)/V(10%)), entonces obtendrás el siguiente resultado:

¿Qué acabamos de calcular? ¡Ciertamente no fue el tiempo de subida de la señal que introducimos en el canal... eso se definió como cero! Lo que calculamos es solo el tiempo de subida en el voltaje visto en el receptor solo debido a la interacción entre la señal y el receptor. Obtendríamos lo mismo si modeláramos el receptor como terminado en la impedancia objetivo.

¿Cómo obtenemos un valor de ancho de banda a partir de esto? Para esto simplemente notamos que la frecuencia de -3 dB del circuito RC anterior (comúnmente citada como el ancho de banda del circuito) es 2𝜋 dividido por la constante de tiempo. Entonces tenemos el siguiente resultado:

Algunos resultados citan la frecuencia de rodilla con un prefactor de 0.5 en lugar de 0.35. No importa qué prefactor se utilice, tenemos que interpretarlo correctamente. La interpretación correcta no es que una señal digital solo contenga frecuencias hasta el valor mencionado, sino que esta es la cantidad mínima de ancho de banda que una señal digital necesita para causar la respuesta de aproximación exponencial que normalmente se observa en un circuito RC.

Esto nos da nuestra primera conclusión:

Otra manera de pensar sobre la frecuencia de rodilla es la siguiente:

En un interconector real, donde siempre hay cierta distancia entre la línea y la carga, esto no es el caso. Cuando la distancia entre el conductor y el receptor es más larga, habrá una mayor diferencia entre las señales inyectadas y recibidas.

¿Cuál es la Respuesta del Canal Con una Línea de Transmisión?

El resultado anterior nos indica el ancho de banda mínimo necesario para desencadenar la respuesta de aproximación exponencial. También solo considera una conexión directa con impedancia resistiva a una capacitancia de carga, no se consideró en absoluto una línea de transmisión. Los canales reales podrían ser muy diferentes, y es posible que no encuentres un resultado tan simple que relacione el requisito de ancho de banda del canal con su tiempo de respuesta, o con el tiempo de subida de la señal.

Para determinar la respuesta del canal, necesitas conocer:

• La impedancia y la constante de propagación del canal
• La función de transferencia del canal o la función de respuesta al impulso

Como un ejemplo, veamos una respuesta de pulso vista en una carga en un canal real con pérdidas. El resultado del ejemplo a continuación se calculó en Simbeor; muestra los efectos de la pérdida en un canal de stripline largo. La tasa de borde de entrada del pulso fue de 4.5 ns. Debido a las pérdidas en el canal, el pulso se ha ralentizado a 9.9 ns (ignora los ondulaciones no causales). Nótese que no tenemos capacitancia de carga en este canal; se asume que la terminación está perfectamente adaptada. Si tuviéramos alguna capacitancia de carga, es posible que veamos una mayor desaceleración en la tasa de borde en la carga.

¿Esto significa que el ancho de banda de la señal está limitado a 35.4 MHz? No; el ancho de banda de la señal inyectada es siempre infinito. El canal y la carga simplemente limitan el ancho de banda que alcanza y es utilizado por el componente de carga; esto es exactamente por qué la señal de entrada no se ve exactamente como la señal de salida, incluso en un canal sin pérdidas.

Aquí, tenemos cuatro conclusiones importantes:

¿Cuál es el Ancho de Banda de una Señal Digital?

El ancho de banda de todas las señales digitales, incluso cuando se inyectan en un canal y tienen una tasa de cambio de borde lenta, es siempre infinito. No hay una frecuencia máxima. Demostrar esto es un problema simple que involucra el cálculo de los coeficientes en una serie de Fourier. Para mostrar esto, considere una señal trapezoidal con tiempos de subida y bajada especificados como se muestra en el diagrama a continuación.

Si utiliza exponenciales complejas como las funciones de base ortonormal en su representación de serie de Fourier, puede demostrar que las amplitudes pico de las frecuencias de Fourier siguen una tendencia de función sinc; casi el mismo resultado se encuentra con una onda cuadrada. Esta función contiene armónicos infinitos; no hay una frecuencia de corte superior como lo implica la interpretación típica de la frecuencia de rodilla. Siga este enlace para encontrar una derivación (páginas 3-20 a 3-26) de la envolvente sinc.

La pregunta que hay que hacer es esta: ¿cuánto de ese ancho de banda infinito realmente importa? Depende... el ancho de banda que realmente importa es la cantidad de ancho de banda que el receptor necesita para interpretar correctamente una señal digital. El canal necesita soportar esta cantidad mínima de ancho de banda.

Incluso en una situación más realista, donde la forma de una señal se aproxima como si tuviera un borde gaussiano o lorentziano, el ancho de banda sigue siendo infinito. Aquí solo hemos observado ondas cuadradas perfectas o ondas trapezoidales, pero las interfaces de computación más avanzadas y las señales moduladas requerirán anchos de banda de canal que no tienen nada que ver con el tiempo de subida de una señal.

Por ejemplo, cada flujo de bits PAM muestra esta propiedad, y comprender esto es muy importante en la mayoría de las interfaces de computación que se remontan a Ethernet. Considera otro ejemplo con PAM-4; si fueras a usar una estimación del 25% UI para el tiempo de subida de un flujo de bits PAM-4 de 224G y lo aplicas en la fórmula de la frecuencia de rodilla, encontrarás que el ancho de banda mínimo del canal es de aproximadamente 157 GHz. En realidad, el canal solo necesita un ancho de banda mínimo de 56 GHz (consulta este artículo para una explicación).

Aprende más sobre este tema y ve una derivación de la frecuencia de rodilla en este video.

Resumen

Si bien es cierto que la frecuencia de rodilla es una relación universal independientemente de la capacitancia de carga y la impedancia, esto solo es cierto para una situación muy específica. En general, no vemos que esta situación surja en la práctica y las fórmulas de rodilla/3 dB son solo aproximaciones. En algunos casos, como los flujos de bits PAM mencionados anteriormente, estas fórmulas sobreestiman el ancho de banda requerido en un canal. También no tienen nada que ver con el ancho de banda de una señal digital, que es infinito.

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