De Onde Vem a Fórmula da Frequência de Joelho?

Continuando com esta curta série sobre equívocos na integridade de sinal de alta velocidade, há uma fórmula que surge repetidamente em discussões elementares sobre integridade de sinal. Esta fórmula é a chamada fórmula da frequência de corte, e é usada de forma intercambiável com alguma frequência de -3 dB. O interessante é que isso é frequentemente citado como um valor para a maior frequência contida na largura de banda do sinal, o que não é correto.

Antes mesmo de começar esta discussão, temos que abordar um ponto muito importante:

A afirmação acima pode ser comprovada com um cálculo básico de série de Fourier. O cálculo é às vezes dado como um problema de casa em aulas de eletrônica e em aulas de matemática intermediária.

A frequência de corte é mais uma daquelas diretrizes antigas que é citada em situações onde não se aplica, e pode ser provado ser incorreta em sistemas reais. O entendimento conceitual básico por trás da frequência de corte também é mal compreendido por muitos projetistas, incluindo novos projetistas tentando se aventurar em tópicos de SI.

Com isso esclarecido, vamos mergulhar fundo no significado da frequência de corte e suas origens conceituais.

Por que os Designers Citam a Frequência de Corte

A frequência de corte é frequentemente citada em duas áreas:

• Teste e medição, especificamente com medições de circuitos RC ou filtros passa-baixa com analisadores de frequência ou osciloscópios
• No design de PCB de alta velocidade, onde é declarada como um valor de frequência máxima contida em um sinal digital

Os profissionais de teste e medição estão corretos e entendem o que estão medindo: eles estão medindo a resposta de um canal a algum sinal de entrada. O 2º ponto só é correto em situações específicas e é atribuído incorretamente ao sinal, em vez do canal. Para entender por que isso acontece, precisamos voltar a um modelo de canal simples e olhar para a terminação do canal, então podemos derivar a resposta do canal em termos do tempo de subida visto no canal.

Derivação da Frequência de Corte

A frequência de corte é derivada considerando o tempo de subida de um sinal que é fornecido a um circuito RC. Nesta situação simples, uma onda quadrada perfeita é fornecida a um canal com um circuito RC como carga, conforme mostrado abaixo. A razão para usar isso é porque representa efetivamente uma linha de transmissão unilateral sem perdas com apenas uma capacitância de carga (sem especificação de impedância); duas instâncias comuns onde isso importa na prática são com GPIOs rápidos e barramentos SPI.

A resistência neste diagrama pode ser uma impedância resistiva simples ou uma linha de transmissão; isso é na verdade a base para derivar funções de transferência de linha de transmissão com impedâncias de carga arbitrárias. Leia o artigo vinculado para aprender mais sobre isso.

No caso acima, fornecemos uma onda quadrada perfeita, o que significa que a onda quadrada tem um tempo de subida de exatamente 0 segundos por definição. A largura de banda deste sinal é infinita, o que pode ser comprovado olhando para sua série de Fourier. Se este fosse um sinal lógico perfeito sendo lançado em um canal que é terminado com nosso circuito RC, deveríamos perguntar: como a tensão através do capacitor mudará ao longo do tempo em resposta?

Este é um problema simples de resolver no domínio de Laplace usando funções de transferência; a tensão na extremidade receptora do canal (através do capacitor) é dada pela fórmula bem conhecida:

onde u(t) é a função degrau de Heaviside. Em seguida, podemos calcular o tempo de subida de 10% a 90% dessa tensão em termos da constante de tempo. Se você calcular ln(V(90%)/V(10%)), então você obterá o seguinte resultado:

O que acabamos de calcular? Certamente não foi o tempo de subida do sinal que introduzimos no canal... isso foi definido como zero! O que calculamos é apenas o tempo de subida na tensão vista no receptor apenas devido à interação entre o sinal e o receptor. Obteríamos a mesma coisa se modelássemos o receptor como terminado na impedância alvo.

Como obtemos um valor de largura de banda a partir disso? Para isso, simplesmente notamos que a frequência de -3 dB do circuito RC acima (comumente citada como a largura de banda do circuito) é 2𝜋 dividida pela constante de tempo. Então temos o seguinte resultado:

Alguns resultados citam a frequência de corte com um prefator de 0,5 em vez de 0,35. Independentemente do prefator utilizado, temos que interpretar isso corretamente. A interpretação correta não é que um sinal digital contém apenas frequências até o valor acima, mas sim que essa é a quantidade mínima de largura de banda que um sinal digital precisa para causar a resposta de aproximação exponencial que é normalmente observada em um circuito RC.

Isso nos leva à primeira conclusão:

Outra maneira de pensar sobre a frequência de corte é a seguinte:

Em um interconexão real, onde sempre há alguma distância entre a linha e a carga, isso não é o caso. Quando a distância entre o driver e o receptor é maior, haverá maior diferença entre os sinais injetado e recebido.

Qual é a Resposta do Canal Com uma Linha de Transmissão?

O resultado acima nos diz a largura de banda mínima necessária para desencadear a resposta de aproximação exponencial. Ele também considera apenas uma conexão direta com impedância resistiva a uma capacitância de carga, não foi considerada nenhuma linha de transmissão. Canais reais podem ser muito diferentes, e você pode não encontrar um resultado tão simples que relacione a exigência de largura de banda do canal com seu tempo de resposta, ou com o tempo de subida do sinal.

Para determinar a resposta do canal, você precisa saber:

• A impedância e a constante de propagação do canal
• A função de transferência do canal ou função de resposta ao impulso

Apenas como um exemplo, vamos olhar para uma resposta de pulso vista em uma carga em um canal real com perdas. O resultado do exemplo abaixo foi calculado no Simbeor; ele mostra os efeitos da perda em um canal de stripline longo. A taxa de borda de entrada do pulso foi de 4,5 ns. Devido às perdas no canal, o pulso foi desacelerado para 9,9 ns (ignore os ondulações não-causais). Note que não temos capacitância de carga neste canal; assume-se que a terminação seja perfeitamente compatível. Se tivéssemos alguma capacitância de carga, é possível que víssemos uma desaceleração adicional na taxa de borda na carga.

Isso significa que a largura de banda do sinal é limitada a 35,4 MHz? Não; a largura de banda do sinal injetado é sempre infinita. O canal e a carga simplesmente limitam a largura de banda que chega e é utilizada pelo componente de carga; é exatamente por isso que o sinal de entrada não parece exatamente como o sinal de saída, mesmo em um canal sem perdas.

Aqui, temos quatro conclusões importantes:

Qual é a Largura de Banda de um Sinal Digital?

A largura de banda de todos os sinais digitais, mesmo quando injetados em um canal e tendo uma taxa de transição lenta, é sempre infinita. Não existe uma frequência máxima. Provar isso é um problema simples que envolve o cálculo dos coeficientes em uma série de Fourier. Para demonstrar isso, considere um sinal trapezoidal com tempos de subida e descida especificados, conforme mostrado no diagrama abaixo.

Se você usar exponenciais complexas como as funções de base ortonormal na representação da sua série de Fourier, pode mostrar que as amplitudes de pico das frequências de Fourier seguem uma tendência da função sinc; quase o mesmo resultado é encontrado com uma onda quadrada. Esta função contém harmônicos infinitos; não existe uma frequência de corte superior, como implicado pela interpretação típica da frequência de joelho. Siga este link para encontrar uma derivação (páginas 3-20 a 3-26) do envelope sinc.

A questão a ser feita é esta: quanto dessa largura de banda infinita realmente importa? Depende... a largura de banda que realmente importa é a quantidade de largura de banda que o receptor precisa para interpretar corretamente um sinal digital. O canal precisa suportar essa quantidade mínima de largura de banda.

Mesmo em uma situação mais realista, onde a forma de um sinal é aproximada como tendo uma borda Gaussiana ou Lorentziana, a largura de banda ainda é infinita. Aqui, nós apenas observamos ondas quadradas perfeitas ou ondas trapezoidais, mas interfaces de computação mais avançadas e sinais modulados exigirão larguras de banda de canal que não têm nada a ver com o tempo de subida de um sinal.

Por exemplo, todo fluxo de bits PAM exibe essa propriedade, e entender isso é muito importante na maioria das interfaces de computação, remontando ao Ethernet. Considere outro exemplo com PAM-4; se você usasse uma estimativa de 25% UI para o tempo de subida de um fluxo de bits PAM-4 de 224G e inserisse isso na fórmula da frequência de corte, você descobriria que a largura de banda mínima do canal é de cerca de 157 GHz. Na realidade, o canal só precisa de uma largura de banda mínima de 56 GHz (veja este artigo para uma explicação).

Aprenda mais sobre este tópico e veja uma derivação da frequência de corte neste vídeo.

Resumo

Embora seja verdade que a frequência de corte é uma relação universal, independentemente da capacitância de carga e da impedância, isso só é verdade para uma situação muito específica. Em geral, não vemos essa situação surgir na prática e as fórmulas de corte/3 dB são apenas aproximações. Em alguns casos, como os fluxos de bits PAM citados acima, essas fórmulas superestimam a largura de banda necessária em um canal. Elas também não têm nada a ver com a largura de banda de um sinal digital, que é infinita.

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