ニー周波数の式はどこから来たのか？

高速信号の整合性に関する誤解についてのこの短いシリーズを続ける中で、初歩的な信号整合性の議論で何度も登場する式があります。それはいわゆる膝周波数の式であり、しばしば-3 dB周波数と交換可能に使用されます。興味深いのは、これが信号の帯域幅に含まれる最高周波数の値として頻繁に引用されることですが、これは正しくありません。

この議論を始める前に、非常に重要な点を指摘しなければなりません：

上記の声明は、基本的なフーリエ級数の計算で証明できます。この計算は、電子工学のクラスや中級数学のクラスで宿題問題として出されることがあります。

膝周波数は、適用されない状況で引用される古いガイドラインのもう一つであり、実際のシステムで間違っていることが証明されています。膝周波数の背後にある基本的な概念的理解も、SIのトピックに手を出そうとする新しい設計者を含む多くの設計者によって誤解されています。

それでは、膝周波数の意味とその概念的起源について深く掘り下げてみましょう。

設計者が膝周波数を引用する理由

膝周波数は主に2つの分野で引用されます：

• RC回路やローパスフィルターの測定、特に周波数アナライザーやオシロスコープを使用したテストと測定
• 高速PCB設計において、デジタル信号に含まれる最高周波数値として述べられる

テストと測定の専門家は正しく理解しており、何を測定しているのかを知っています：彼らはある入力信号に対するチャネルの応答を測定しています。2番目のポイントは特定の状況でのみ正しく、信号ではなくチャネルに誤って帰属されています。これがどうしてかを理解するためには、単純なチャネルモデルに戻り、チャネル終端を見て、チャネルで見られる立ち上がり時間の観点からチャネル応答を導出する必要があります。

膝周波数の導出

ニー周波数は、RC回路に供給される信号の立ち上がり時間を考慮して導出されます。この単純な状況では、完全な正方波がRC回路を負荷とするチャネルに供給されます。以下に示すように、これが使用される理由は、損失のない単端伝送線を負荷容量（インピーダンス仕様なし）のみで効果的に表現できるからです。これが実際に重要になる2つの一般的な例は、高速GPIOとSPIバスです。

この図の抵抗は、単純な抵抗性インピーダンスまたは伝送線である可能性があります。これは実際に、任意の負荷インピーダンスを持つ伝送線伝達関数を導出する基礎です。この記事を読んで、これについてもっと学びましょう。

上記のケースでは、完全な正方波を供給します。つまり、定義上、正方波の立ち上がり時間は正確に0秒です。この信号の帯域幅は無限大であり、そのフーリエ級数を見ることで証明できます。これが、RC回路で終端されたチャネルに発射される完璧なロジック信号であれば、時間の経過とともにキャパシタを介した電圧がどのように変化するかを尋ねるべきです。

ラプラス領域での伝達関数を使用すると、この問題は簡単に解決できます。チャネルの受信側（キャパシタを通して）の電圧は、よく知られた式によって与えられます：

ここで、u(t)はヘヴィサイドの階段関数です。次に、この電圧の10％-90％立ち上がり時間を時間定数の観点から計算することができます。ln(V(90%)/V(10%))を計算すると、次の結果が得られます：

私たちが計算したのは何でしょうか？それは、チャネルに供給された信号の立ち上がり時間では決してありません...それはゼロと定義されました！私たちが計算したのは、信号と受信機の相互作用によって受信機でのみ見られる電圧の立ち上がり時間です。受信機を目標インピーダンスで終端されたとモデル化した場合も、同じ結果が得られます。

これから帯域幅の値をどのように得るのでしょうか？これには、上記のRC回路の-3 dB周波数（一般に回路の帯域幅として引用される）が時間定数で割った2𝜋であることに単純に気づくだけです。それから、次の結果が得られます：

一部の結果では、膝周波数に0.35ではなく0.5の係数が使用されていると引用されています。どの係数を使用しても、これを正しく解釈する必要があります。正しい解釈は、デジタル信号が上記の値までの周波数のみを含むということではなく、RC回路で通常観測される指数関数的接近応答を引き起こすためにデジタル信号が必要とする最小の帯域幅であるということです。

これにより、最初の結論が得られます：

膝周波数について考える別の方法は次のとおりです：

実際の相互接続では、常に線と負荷の間にある距離が存在します。ドライバーとレシーバーの間の距離が長い場合、注入された信号と受信された信号の間にはより大きな違いが生じます。

伝送線を持つチャネルの応答は何ですか？

上記の結果は、指数関数的アプローチ応答を引き起こすために必要な最小帯域幅を教えてくれます。また、抵抗性インピーダンスを介した直接接続のみを考慮しており、伝送線はまったく考慮されていません。実際のチャネルは大きく異なる可能性があり、チャネルの帯域幅要件と応答時間、または信号の立ち上がり時間とを関連付けるこれほど単純な結果を見つけることはできないかもしれません。

チャネル応答を決定するには、以下を知る必要があります：

• チャネルのインピーダンスと伝播定数
• チャネルの伝達関数またはインパルス応答関数

例として、損失のある実際のチャネルで負荷に見られるパルス応答を見てみましょう。以下の例の結果はSimbeorで計算されたもので、長いストリップラインチャネルでの損失の影響を示しています。パルスの入力エッジレートは4.5 nsでした。チャネル内の損失により、パルスは9.9 nsまで遅くなっています（非因果的なリップルは無視してください）。このチャネルには負荷容量がないことに注意してください。終端は完全にマッチしていると仮定されます。もし何らかの負荷容量があった場合、負荷でのエッジレートがさらに遅くなる可能性があります。

このことは、信号の帯域幅が35.4 MHzに限定されるという意味ですか？いいえ、注入される信号の帯域幅は常に無限です。チャネルと負荷は、負荷部品に到達し使用される帯域幅を単に制限するだけです。これが、損失のないチャネルであっても、入力信号が出力信号と全く同じに見えない理由です。

ここで、4つの重要な結論があります：

デジタル信号の帯域幅とは？

デジタル信号の帯域幅は、チャネルに注入されてエッジレートが遅くなったとしても、常に無限です。最大周波数はありません。これを証明するのは、フーリエ級数の係数を計算することを含む単純な問題です。これを示すために、下の図に示されているように、指定された立ち上がり時間と立ち下がり時間を持つ台形信号を考えてみましょう。

フーリエ級数表現で直交正規基底関数として複素指数関数を使用すると、フーリエ周波数のピーク振幅がサインク関数の傾向に従うことを示すことができます。ほぼ同じ結果が正方波でも見られます。この関数には無限の高調波が含まれており、典型的な膝周波数解釈によって示唆されるような上限カットオフ周波数はありません。このリンクに従ってサインク包絡線の導出（ページ3-20から3-26）を見つけてください。

問うべき質問はこれです：その無限の帯域幅のうち、実際に重要なのはどれくらいか？それは依存します... 実際に重要な帯域幅は、受信機がデジタル信号を適切に解釈するために必要とする帯域幅の量です。チャネルはこの最小限の帯域幅をサポートする必要があります。

より現実的な状況でも、信号の形状がガウス形状やローレンツ形状のエッジとして近似される場合でも、帯域幅は依然として無限です。ここでは完全な正方波や台形波のみを見てきましたが、より高度なコンピューティングインターフェースや変調信号では、信号の立ち上がり時間とは無関係なチャネル帯域幅が必要になります。

例えば、すべてのPAMビットストリームがこの特性を示し、これを理解することは、Ethernetに遡るほとんどのコンピューティングインターフェースにおいて非常に重要です。PAM-4の別の例を考えてみましょう。224G PAM-4ビットストリームの立ち上がり時間に25% UIの推定を使用し、これを膝周波数の公式に入れると、最小チャネル帯域幅は約157 GHzになることがわかります。実際には、チャネルには最小56 GHzの帯域幅しか必要ありません（この記事で説明を参照）。

このトピックについてもっと学び、このビデオで膝周波数の導出を見る。

要約

膝周波数が負荷容量やインピーダンスに関係なく普遍的な関係であることは事実ですが、これは非常に特定の状況においてのみ真実です。一般的に、この状況が実際に生じることはなく、膝/3 dBの公式は近似値に過ぎません。上記のPAMビットストリームのような場合には、これらの公式はチャネルに必要な帯域幅を過大評価しています。また、これらはデジタル信号の帯域幅（無限大である）とは何の関係もありません。

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