무릎 주파수 공식은 어디에서 유래했나요?

고속 신호 무결성에 대한 오해에 관한 이 짧은 시리즈를 계속하면서, 초보적인 신호 무결성 토론에서 자주 등장하는 하나의 공식이 있습니다. 이 공식은 소위 무릎 주파수 공식이라고 하며, 일부 -3 dB 주파수와 교환 가능하게 사용됩니다. 흥미로운 점은 이것이 신호 대역폭에 포함된 최고 주파수의 값으로 종종 인용된다는 것인데, 이는 정확하지 않습니다.

이 논의를 시작하기도 전에 매우 중요한 점을 지적해야 합니다:

위의 진술은 기본적인 푸리에 급수 계산으로 증명될 수 있습니다. 이 계산은 전자 공학 수업과 중급 수학 수업에서 숙제 문제로 제시되기도 합니다.

무릎 주파수는 적용되지 않는 상황에서 인용되는 그런 오래된 지침 중 하나이며, 실제 시스템에서 잘못되었음이 증명될 수 있습니다. 무릎 주파수에 대한 기본적인 개념적 이해도 많은 설계자들, 특히 SI 주제에 손을 대보는 새로운 설계자들에 의해 잘못 이해되고 있습니다.

그런 사실을 제쳐두고, 무릎 주파수의 의미와 그 개념적 기원에 대해 깊이 파고들어 보겠습니다.

디자이너들이 무릎 주파수를 인용하는 이유

무릎 주파수는 주로 두 분야에서 인용됩니다:

• 테스트 및 측정, 특히 RC 회로나 저역 통과 필터의 주파수 분석기나 오실로스코프를 사용한 측정에서
• 고속 PCB 설계에서, 디지털 신호에 포함된 최고 주파수 값으로 명시됩니다

테스트 및 측정 분야의 사람들은 그들이 무엇을 측정하고 있는지 정확히 이해하고 있습니다: 그들은 어떤 입력 신호에 대한 채널의 반응을 측정하고 있습니다. 두 번째 포인트는 특정 상황에서만 정확하며, 신호가 아닌 채널에 잘못 귀속되었습니다. 이것이 사실인 이유를 보려면, 간단한 채널 모델로 돌아가 채널 종료를 살펴보고, 그런 다음 채널에서 본 상승 시간 측면에서 채널 반응을 도출할 수 있습니다.

무릎 주파수 유도

무릎 주파수는 RC 회로에 소스된 신호의 상승 시간을 고려하여 도출됩니다. 이 간단한 상황에서는 완벽한 사각파가 RC 회로를 부하로 하는 채널에 소스됩니다. 아래와 같이 표시됩니다. 이 방법이 사용되는 이유는 손실이 없는 단일 종단 전송선로를 효과적으로 나타내기 때문입니다. 여기에는 부하 용량만 있고 임피던스 사양이 없습니다. 이것이 실제로 중요한 두 가지 일반적인 경우는 빠른 GPIO와 SPI 버스입니다.

이 다이어그램의 저항은 간단한 저항 임피던스 또는 전송선일 수 있습니다. 이것은 실제로 임의의 부하 임피던스를 가진 전송선 전달 함수를 도출하는 기초입니다. 이와 관련된 기사를 읽어 더 자세히 알아보세요.

위의 경우에는 완벽한 사각파를 소스합니다. 즉, 사각파의 상승 시간은 정의상 정확히 0초입니다. 이 신호의 대역폭은 무한대이며, 이는 그것의 푸리에 급수를 보면 증명될 수 있습니다. 이것이 우리의 RC 회로로 종단된 채널로 발사되는 완벽한 논리 신호라면, 우리는 다음과 같이 물어야 합니다. 용량기를 통한 전압은 시간에 따라 어떻게 변할까요?

이것은 전달 함수를 사용하여 라플라스 영역에서 해결하기 쉬운 문제입니다. 채널의 수신기 끝에서의 전압(캐패시터를 통해)은 잘 알려진 공식에 의해 주어집니다:

여기서 u(t)는 헤비사이드 계단 함수입니다. 다음으로, 이 전압의 10%-90% 상승 시간을 시간 상수의 관점에서 계산할 수 있습니다. 만약 ln(V(90%)/V(10%))를 계산한다면, 다음과 같은 결과를 얻게 됩니다:

우리가 방금 계산한 것은 무엇일까요? 분명히 우리가 채널로 소스한 신호의 상승 시간이 아니었습니다... 그것은 0으로 정의되었습니다! 우리가 계산한 것은 단지 신호와 수신기 사이의 상호 작용으로 인해 수신기에서만 볼 수 있는 전압의 상승 시간입니다. 우리가 수신기를 목표 임피던스에서 종료된 것으로 모델링했다면 같은 결과를 얻었을 것입니다.

이로부터 대역폭 값을 어떻게 얻을까요? 이를 위해서는 단순히 위의 RC 회로의 -3 dB 주파수(일반적으로 회로의 대역폭으로 인용됨)가 시간 상수로 나눈 2𝜋임을 알아차리면 됩니다. 그러면 다음과 같은 결과를 얻게 됩니다:

일부 결과는 무릎 주파수에 0.35 대신 0.5의 전치사를 사용한다고 언급합니다. 어떤 전치사를 사용하든, 이를 올바르게 해석해야 합니다. 올바른 해석은 디지털 신호가 위의 값까지의 주파수만을 포함한다는 것이 아니라, RC 회로에서 일반적으로 관찰되는 지수적 접근 반응을 일으키기 위해 디지털 신호가 필요한 최소한의 대역폭이라는 것입니다.

이로부터 첫 번째 결론을 도출할 수 있습니다:

무릎 주파수에 대해 다른 방식으로 생각하는 방법은 다음과 같습니다:

실제 상호연결에서는 항상 선과 부하 사이에 일정한 거리가 있으므로, 이는 사실이 아닙니다. 드라이버와 수신기 사이의 거리가 길어질수록, 주입된 신호와 수신된 신호 사이에 더 큰 차이가 발생합니다.

전송선이 있는 채널 반응은 무엇인가요?

위의 결과는 지수 접근 반응을 유발하는 데 필요한 최소 대역폭을 알려줍니다. 또한, 저항성 임피던스를 통한 직접 연결만 고려하고, 전송선은 전혀 고려하지 않았습니다. 실제 채널은 매우 다를 수 있으며, 채널의 대역폭 요구 사항과 응답 시간 또는 신호의 상승 시간을 관련짓는 이렇게 간단한 결과를 찾지 못할 수도 있습니다.

채널 응답을 결정하려면 다음을 알아야 합니다:

• 채널의 임피던스와 전파 상수
• 채널의 전달 함수 또는 충격 응답 함수

예를 들어, 손실이 있는 실제 채널에서 부하에서 본 펄스 응답을 살펴보겠습니다. 아래 예제 결과는 Simbeor에서 계산되었으며, 긴 스트립라인 채널에서의 손실 효과를 보여줍니다. 펄스의 입력 에지 속도는 4.5 ns였습니다. 채널의 손실로 인해 펄스가 9.9 ns로 느려졌습니다(비인과적 파동은 무시하세요). 이 채널에는 부하 커패시턴스가 없음을 주목하세요; 종단은 완벽하게 일치한다고 가정합니다. 만약 우리가 어떤 부하 커패시턴스를 가지고 있었다면, 부하에서 에지 속도가 더 느려지는 것을 볼 수도 있습니다.

이것이 신호의 대역폭이 35.4 MHz로 제한된다는 것을 의미합니까? 아니요; 주입된 신호의 대역폭은 항상 무한합니다. 채널과 부하는 단지 부하 구성 요소에 도달하고 사용되는 대역폭을 제한할 뿐입니다; 이것이 바로 입력 신호가 손실이 없는 채널에서조차 출력 신호와 정확히 같아 보이지 않는 이유입니다.

여기서, 우리는 네 가지 중요한 결론을 얻습니다:

디지털 신호의 대역폭은 무엇입니까?

모든 디지털 신호의 대역폭은 채널에 주입되어 가장자리 속도가 느려져도 항상 무한합니다. 최대 주파수는 없습니다. 이를 증명하는 것은 푸리에 급수의 계수를 계산하는 간단한 문제입니다. 이를 보이기 위해, 아래 다이어그램에 표시된 대로 지정된 상승 및 하강 시간을 가진 사다리꼴 신호를 고려해 보십시오.

푸리에 급수 표현에서 직교 정규 기저 함수로 복소 지수를 사용하면, 푸리에 주파수의 최대 진폭이 sinc 함수 추세를 따르는 것을 보일 수 있습니다; 사각파와 거의 같은 결과가 나타납니다. 이 함수는 무한한 고조파를 포함하며, 전형적인 무릎 주파수 해석에 의해 암시된 상한 절단 주파수는 없습니다. 이 링크를 따라가면 sinc 봉투의 유도(3-20페이지부터 3-26페이지까지)를 찾을 수 있습니다.

물어볼 질문은 이것입니다: 그 무한한 대역폭 중 실제로 중요한 부분은 얼마나 될까요? 그것은 달려 있습니다... 실제로 중요한 대역폭은 디지털 신호를 제대로 해석하기 위해 수신기가 필요로 하는 대역폭의 양입니다. 채널은 이 최소한의 대역폭을 지원해야 합니다.

더 현실적인 상황에서도, 신호의 형태가 가우시안이나 로렌츠 가장자리로 근사되는 경우에도, 대역폭은 여전히 무한합니다. 여기서 우리는 완벽한 사각파나 사다리꼴 파만을 살펴보았지만, 더 고급 컴퓨팅 인터페이스와 변조된 신호들은 신호의 상승 시간과는 전혀 관련이 없는 채널 대역폭을 요구할 것입니다.

예를 들어, 모든 PAM 비트스트림이 이 속성을 나타내며, 이를 이해하는 것은 이더넷에 이르기까지 대부분의 컴퓨팅 인터페이스에서 매우 중요합니다. PAM-4의 또 다른 예를 들어보겠습니다; 224G PAM-4 비트스트림의 상승 시간에 대해 25% UI 추정치를 사용하고 이를 무릎 주파수 공식에 대입하면, 최소 채널 대역폭이 약 157 GHz임을 알 수 있습니다. 실제로는 채널이 최소 56 GHz의 대역폭만 필요합니다(이 설명을 위한 기사를 참조하세요).

이 주제에 대해 더 알아보고 이 비디오에서 무릎 주파수의 유도를 확인하세요.

요약

무릎 주파수가 부하 용량과 임피던스에 관계없이 보편적인 관계를 가진다는 것은 사실이지만, 이는 매우 특정한 상황에서만 참입니다. 일반적으로, 이러한 상황이 실제로 발생하는 것을 보지 못하며, 무릎/3 dB 공식은 단지 근사치일 뿐입니다. 위에서 언급한 PAM 비트스트림과 같은 경우, 이러한 공식은 채널에 필요한 대역폭을 과대평가합니다. 또한, 디지털 신호의 대역폭과는 아무런 관련이 없는데, 디지털 신호의 대역폭은 무한합니다.

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