PCB 분석을 위한 ABCD 파라미터의 장점

극초단파 전자 설계 교재를 보면 N-포트 네트워크의 설명에 사용되는 여러 파라미터를 볼 수 있습니다. S-파라미터, ABCD 파라미터 및 H-파라미터는 모두 PCB 설계 및 분석에서 중요한 위치를 차지합니다. 오늘날 아날로그 신호 무결성의 중요한 개념 다수는 이제 디지털 신호 무결성을 결정하는 데 있어 중요하며, 극초단파 커뮤니티에서 사용하는 분석 도구는 디지털 커뮤니티로 이전되어야 합니다.

S-파라미터 및 애플리케이션 ABCD 파라미터를 입력합니다. 이 두 가지 네트워크 파라미터 세트는 설계자가 N-포트 네트워크에서 신호 동작을 간단하게 설명할 수 있는 방법을 제공하지만, 대부분의 예제는 2포트 네트워크로만 제시됩니다. 그러나 이러한 파라미터 세트는 다른 전송선 매개변수와 마찬가지로 상호 변환할 수 있으며, 회로 및 상호 연결에 ABCD 매개변수를 적용하면 신호 동작의 예측과 분석이 훨씬 더 쉬워집니다. 이 글에서 ABCD 파라미터의 장점들과 S-파라미터 대신 ABCD 파라미터를 사용해야 하는 이유에 대해 다뤄보겠습니다.

ABCD 파라미터란 무엇인가요?

ABCD 파라미터(전송 파라미터라고도 함)는 N-포트 네트워크의 입력 전압 및 전류와 네트워크의 출력에서 측정된 전압 및 전류의 연관성을 도출하는 간단한 방정식 집합입니다. 이 정의는 다소 장황하기도 하고, S-파라미터와 비슷해 보이기도 합니다. 실제로 ABCD 파라미터를 사용하여 S-파라미터를 계산할 수 있으며, S-파라미터를 사용하여 ABCD 파라미터를 계산할 수도 있습니다. 하지만 이 두 파라미터는 개념적으로나 수학적으로 다릅니다. 2포트 네트워크에 대한 ABCD 파라미터 행렬의 정의는 다음과 같습니다.

네트워크의 개별 회로 요소 계산과 동작을 설명하는 현상학적 모델에서 ABCD 파라미터를 적용하는 것은 놀라울 정도로 쉽습니다. 다양한 2-포트 네트워크에 대한 S-파라미터 및 ABCD 파라미터가 포함된 유용한 리소스를 원하시면 Caspers의 이 문서를 살펴보시기 바랍니다. 훌륭한 극초단파 회로 설계 및 전송선 설계 리소스에 대한 문서입니다.

S-파라미터 대신 ABCD 파라미터를 사용하는 이유는 무엇인가요?

솔직히 말하자면, 제가 본 2포트 네트워크를 위한 S-파라미터 정의 관련 논의는 대부분 일관적이지 못한 방정식을 제공하고 있습니다. 모두가 틀렸다는 것이 아닙니다. S-매개변수에 대한 이러한 설명은 극히 일부 시스템에 대해 정의되어 있으며 컨텍스트(또는 다이어그램)가 부족하여 특히 초보자에게 많은 혼란을 야기하고 저 자신의 이해에도 의문을 품게 합니다. 이로 인해 해당하지 않는 시스템에서 S-파라미터 정의를 사용하게 되기가 쉽습니다. 확실하게 말할 수 있는 한 가지는, 온라인에서 찾을 수 있는 S-파라미터 정의의 대다수는 해당 정의가 어디에 적용되는지 명확하게 밝히지 못하므로 신뢰하기 어렵다는 것입니다.

아래 표는 S-파라미터와 ABCD 파라미터를 여러 측면에서 비교합니다. 보시다시피 두 파라미터 세트 모두에서 신호 동작에 대한 일부 정보가 생략되었으며, 사용 가능한 객관적으로 '최상'인 파라미터 세트가 없습니다.

이를 염두에 두고 일부 신호 무결성 분석에 S-파라미터 대신 ABCD 파라미터를 사용할 수 있는 두 가지 주요 이유, 즉 캐스케이딩 및 전달 함수 계산이 있다는 사실을 알아두시기 바랍니다.

캐스케이딩의 간단한 정의

저는 캐스케이드 네트워크를 살펴보기 전까지는 항상 ABCD 파라미터가 역으로 공식화된다고 생각했습니다. 위의 정의를 보면 서로 다른 회로 요소에 대한 개별 ABCD 파라미터 행렬을 곱하여 캐스케이드 ABCD 행렬을 만드는 방법을 쉽게 알 수 있습니다. 아래 이미지는 3개의 개별 요소로 구성된 2포트 네트워크의 측면에서 캐스케이드 ABCD 매개변수 행렬의 정의를 나타냅니다.

이 정의는 N-포트 네트워크 또는 캐스케이드 요소가 있는 네트워크로 직접 확장됩니다. S-파라미터에 대한 유사한 정의는 없으므로, 이 간단한 행렬 곱셈 정의는 ABCD 파라미터의 중요한 이점 중 하나입니다. 실제로 캐스케이드 S-파라미터 행렬을 계산할 수 있는 프로그램은 해당 행렬을 ABCD 파라미터(MATLAB 아시죠?)로 변환하여 동등한 캐스케이드 네트워크의 S-파라미터를 구합니다.

위에서는 S-파라미터 캐스케이딩에 대한 '유사한 정의는 없다'고 했는데, 이는 일부 경우에는 틀린 말입니다. 직접 곱셈을 통해 캐스케이드되는 S-파라미터의 예를 찾으실 수 있을 겁니다. 문제는 이것이 실제로 PCB에서 확실히 관찰되는지 여부입니다. 실제 사례에서는 반사가 0이 아니며, 실제 전송선의 손실이 0이 아니므로 실제에서는 PCB의 고속 신호용 채널이 직접 곱셈을 통해 단순히 캐스케이드 가능하지 않습니다.

S-파라미터, 전달 함수, 임펄스 응답의 직접 계산

Jason Ellison이 최근 기고문에서 지적했듯이, 모든 S-파라미터는 특정한 물리적 의미를 가진 일종의 전달 함수입니다. 이는 네트워크에서 전압과 전류가 서로 변환되는 방식을 보여주는 ABCD 파라미터의 애플리케이션도 마찬가지입니다. 그러나 ABCD 파라미터에서 회로 설계 용어로 '표준 단위가 없는 전송 함수를' 직접 계산할 수도 있습니다.

소스 임피던스 ZS에 연결되고 부하 임피던스 ZL에 연결된 2포트 네트워크 종단의 경우, 네트워크의 전달 함수는 다음과 같습니다.

예를 들어 전송 회선의 경우 이 글에 설명된 대로(이 문서의 ABCD 파라미터에서 S-파라미터를 도출할 수 있습니다) 회선의 특성 임피던스를 사용하여 ABCD 파라미터를 계산하거나, 위에 링크를 걸어놓은 Caspers의 문서에서 ABCD 파라미터를 계산할 수 있습니다. 위 공식의 장점은 참조 임피던스에 의존하지 않으면서 라인의 특성 임피던스만 사용한다는 것입니다.

N-포트 네트워크의 경우 전달 함수를 직접 계산할 수 있지만, 각 포트 쌍 간의 신호 전달을 정의하는 전달 함수가 여러 개 존재합니다. 이 문제는 포트 번호가 커지면 직접 처리하기 어려워질 수 있지만, 간단한 선형 방정식 해결 프로그램(MATLAB, Mathematica 등)을 사용하여 해결할 수 있습니다.

네트워크의 전달 함수(또는 N-포트 네트워크의 여러 전달 함수)를 도출했다면 네트워크의 임펄스 응답 기능을 계산할 수 있습니다. 이를 통해 네트워크에 대한 임의 신호 입력이 시간 영역에서 어떻게 작동하는지 시뮬레이션할 수 있습니다. 이는 다음의 간단한 프로세스에 따라 수행합니다.

1. Caspers 문서에서 정의한 ABCD 행렬을 사용하여 행렬 곱셈을 통해 캐스케이드 ABCD 네트워크를 구성합니다.
2. 케스케이드 ABCD 행렬을 전달 함수로 변환합니다.
3. 푸리에 변환을 사용하여 전달 함수를 임펄스 응답 함수로 변환합니다. 전달 함수에서 인과 관계를 적용해야 합니다(아래 참조 참고).
4. 입력 시간 영역 신호와 임펄스 응답 함수 간의 중첩을 계산합니다.

실제로 임펄스 응답 함수의 계산이 어떻게 전개되는지 알아보려면 Jason Ellison이 작성한 문서의 튜토리얼을 참조하시기 바랍니다. 다음 IEEE 논문도 참조하여 전달 함수에서 인과 관계를 시행하는 방법에 대해 알아볼 수 있습니다.

J. Zhang, et al. “Causal RLGC(f) Models for Transmission Lines From Measured S-Parameters.” IEEE Transactions on Electromagnetic Compatibility, 2009.

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