Pourquoi utiliser les paramètres ABCD pour l'analyse de votre circuit imprimé ?

En consultant un manuel de conception d'électronique hyperfréquence, vous constaterez que les réseaux à N ports sont décrits à l'aide de différents paramètres. Les paramètres S, les paramètres ABCD et les paramètres H sont tous utiles pour concevoir et analyser des circuits imprimés.

Aujourd'hui, de nombreux concepts importants en matière d'intégrité du signal analogique sont désormais essentiels pour déterminer l'intégrité du signal numérique et les outils d'analyse utilisés par la communauté hyperfréquence doivent être transférés à la communauté numérique.

Saisissez les paramètres S et les paramètres ABCD de l'application. Ces deux ensembles de paramètres réseau offrent aux concepteurs un moyen simple de décrire le comportement du signal dans les réseaux à N ports, bien que la plupart des exemples ne concernent que des réseaux à 2 ports. Cependant, ils peuvent être convertis entre eux, comme d'autres paramètres de ligne de transmission, et l'utilisation de l'application des paramètres ABCD pour vos circuits et interconnexions facilite grandement l'analyse du comportement du signal.

Dans cet article, je vais vous présenter certains des avantages des paramètres ABCD et les raisons pour lesquelles vous pourriez vouloir les utiliser à la place des paramètres S.

Que sont les paramètres ABCD ?

Les paramètres ABCD (également appelés paramètres de transmission) sont un ensemble simple d'équations qui relient la tension et le courant à l'entrée d'un réseau à N ports à la tension et au courant mesurés à la sortie du réseau. Ces explications peuvent sembler longues et induire une confusion avec les paramètres S.

En fait, les paramètres S peuvent être calculés à partir des paramètres ABCD et vice versa. Cependant, ils sont conceptuellement et mathématiquement différents. La définition d'une matrice de paramètres ABCD pour un réseau à 2 ports est donnée ci-dessous.

L'application des paramètres ABCD est étonnamment facile à calculer pour les éléments de circuit individuels dans un réseau, ainsi que dans les modèles phénoménologiques décrivant le comportement.

Si vous recherchez une ressource fiable qui traite des paramètres S et ABCD pour différents réseaux à 2 ports, consultez ce document de Caspers. Il constitue une aide précieuse pour la conception de circuits hyperfréquence et la conception de lignes de transmission.

Pourquoi utiliser les paramètres ABCD à la place des paramètres S ?

Honnêtement, presque toutes les discussions auxquelles j'ai pu assister sur les définitions des paramètres S pour les réseaux à 2 ports ont mené à des équations incohérentes. Cela ne veut pas dire que tout le monde se trompe, mais ces descriptions des paramètres S sont définies pour des systèmes très spécifiques et le manque de contexte (ou même de diagrammes) crée une grande confusion, en particulier pour les débutants.

Parfois, elle m'amène même à remettre en question ma propre compréhension. Par conséquent, on se retrouve vite à utiliser une définition de paramètres S dans un système où elle ne s'applique pas. Un conseil : ne vous fiez pas à la majorité des définitions de paramètres S que vous trouvez en ligne car elles ne mentionnent pas explicitement le domaine d'application de cette définition.

Le tableau ci-dessous compare les paramètres S aux paramètres ABCD sous plusieurs aspects. Comme nous pouvons le voir, les deux ensembles de paramètres omettent certaines informations sur le comportement du signal. Objectivement, aucun ensemble de paramètres n'est « meilleur » que l'autre.

En gardant cela à l'esprit, deux principales raisons justifient d'utiliser les paramètres ABCD à la place des paramètres S pour certaines analyses d'intégrité du signal : la mise en cascade et les calculs de la fonction de transfert.

Définition simple de la mise en cascade

J'ai toujours pensé que les paramètres ABCD était formulés à l'envers jusqu'à ce que je commence à étudier les réseaux en cascade. Si vous regardez la définition ci-dessous, il est facile de voir comment créer une matrice ABCD en cascade en multipliant les matrices de paramètres ABCD individuelles pour différents éléments de circuit. L'image ci-dessous illustre la définition d'une matrice de paramètres ABCD en cascade en termes d'un réseau à 2 ports formé à partir de 3 éléments distincts.

Notez que cette définition s'étend directement aux réseaux à N ports ou aux réseaux avec différents éléments en cascade. Cette définition simple de multiplication de matrices est un avantage significatif des paramètres ABCD car il n'existe pas de définition analogique pour les paramètres S.

En fait, les programmes capables de calculer des matrices de paramètres S en cascade convertiront les matrices en paramètres ABCD (MATLAB par exemple) pour obtenir les paramètres S du réseau en cascade équivalent.

Je mentionne ci-dessus qu'il n'existe pas de « définition analogique » pour la mise en cascade des paramètres S. Ce n'est pas vrai tout le temps : vous pouvez certainement trouver des exemples de paramètres S qui se mettent en cascade par multiplication directe. La question est de savoir si on les observe en pratique, et surtout dans les circuits imprimés.

Étant donné que la réflexion n'est pas nulle dans les cas pratiques et que les lignes de transmission réelles ont des pertes non nulles, les canaux pour les signaux à grande vitesse sur les PCB ne seront pas simplement cascadables par multiplication directe en pratique.

Calcul direct des paramètres S, de la fonction de transfert et des réponses impulsionnelles

Comme le souligne Jason Ellison dans un article récent, tous les paramètres S sont un type de fonction de transfert avec une signification physique particulière. Le constat est identique pour l'application de paramètres ABCD, qui montrent comment la tension et le courant sont transformés entre eux dans un réseau.

Cependant, vous pouvez également calculer une fonction de transfert standard sans unité  directement à partir des paramètres ABCD.

Pour un réseau à 2 ports connectés à une impédance de source ZS et connecté à une impédance de charge ZL, la fonction de transfert du réseau est la suivante :

Par exemple, avec une ligne de transmission, les paramètres ABCD sont calculés à l'aide de l'impédance caractéristique de la ligne, comme indiqué dans cet article. Vous pouvez obtenir les paramètres S à partir des paramètres ABCD dans cet article ou à partir de l'article de Caspers (lien ci-dessus). La formule ci-dessus présente l'avantage de ne pas reposer sur une impédance de référence, mais uniquement sur l'impédance caractéristique de la ligne.

Pour un réseau à N ports, vous pouvez toujours calculer une fonction de transfert à la main, mais vous aurez plusieurs fonctions de transfert qui définissent le transfert de signal entre chaque paire de ports. Ce problème peut devenir insoluble à la main lorsque le nombre de ports devient élevé, mais un simple solveur d'équation linéaire (MATLAB, Mathematica, etc.) permettra de calculer la solution.

Une fois que vous disposez d'une fonction de transfert pour un réseau (ou de plusieurs fonctions de transfert pour les réseaux à N ports), vous pouvez calculer la fonction de réponse impulsionnelle du réseau. Vous pourrez alors simuler le comportement d'une entrée de signal arbitraire sur votre réseau dans le domaine temporel en suivant un processus simple :

1. Construisez un réseau ABCD en cascade via la multiplication matricielle à l'aide des matrices ABCD définies dans l'article de Caspers.
2. Convertissez la matrice ABCD en cascade en fonction de transfert.
3. Convertissez votre fonction de transfert en une fonction de réponse impulsionnelle à l'aide d'une transformée de Fourier. Assurez-vous d'appliquer la causalité dans la fonction de transfert (voir la référence ci-dessous).
4. Calculez la convolution entre votre signal temporel en entrée et la fonction de réponse impulsionnelle.

Si vous souhaitez comprendre comment le calcul de la fonction de réponse impulsionnelle se déroule en pratique, lisez l'article de Jason Ellison pour suivre un tutoriel. Vous pouvez également consulter ce document IEEE pour savoir comment appliquer la causalité dans une fonction de transfert :

J. Zhang, et al. « Causal RLGC(f) Models for Transmission Lines From Measured S-Parameters ». IEEE Transactions on Electromagnetic Compatibility, 2009.

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