Emparejamiento sin Reflexión vs. Emparejamiento Conjugado: Una Aparente Contradicción

Existe una confusión relacionada con el emparejamiento de impedancias que surge una y otra vez, y parece ser una confusión fundamental entre reflexión y entrega de potencia. Esto lleva a una aparente contradicción que surge cuando intentamos generalizar la entrega de potencia a la reflexión de ondas, a pesar del hecho de que las dos no estaban destinadas a estar relacionadas.

La contradicción a la que me refiero se relaciona con el emparejamiento de impedancias sin reflexión comparado con el emparejamiento de impedancias conjugadas. La contradicción es la siguiente:

1. Según el teorema del máximo transferencia de potencia, una carga recibe la máxima potencia cuando la fuente y la carga están emparejadas de forma conjugada.
2. Por lo tanto, para que una onda electromagnética transfiera la máxima potencia a una carga, esperaríamos que el coeficiente de reflexión se leyera de la siguiente manera: Γ = (ZL - Z*)/(ZL + Z)
3. La ecuación en #2 no coincide con el coeficiente de reflexión típico que vemos en la teoría de líneas de transmisión, por lo que debe haber alguna contradicción.

La lógica indica que solo una de estas ecuaciones puede ser correcta. Sin embargo, si revisamos la formulación original de los parámetros S en el artículo de Kurokawa, veremos que hay una consideración para ambos tipos de coeficientes de reflexión, aunque solo uno de ellos es físicamente medible.

Todo esto surge debido a coincidencias y algunas definiciones que se confunden. De hecho, la aparente contradicción en las definiciones de un coeficiente de reflexión y el emparejamiento conjugado en el teorema de transferencia máxima de potencia surge debido a la manera en que se define la propagación de ondas en la formulación original de los parámetros S. También se relaciona con la definición fundamental del coeficiente de reflexión desde el electromagnetismo. En este artículo, examinaré estos diferentes coeficientes de reflexión para que podamos ver dónde surge la confusión en esta línea de pensamiento.

Dos Definiciones de Reflexión

Antes de comenzar con esta sección, me gustaría referir al lector interesado al artículo original de Kurokawa para aprender sobre el coeficiente de reflexión de potencia:

• K. Kurokawa, “Power waves and the scattering matrix,” IEEE Trans. Microwave Theory Tech., 13, n.º 2, pp. 194–202, abril de 1965.

Además, no entraré en la derivación completa del teorema de transferencia máxima de potencia ya que este es un resultado elemental del diseño de circuitos. En resumen, el teorema establece que la máxima potencia se transfiere entre una fuente y una carga cuando:

Aquí, el asterisco (*) indica un conjugado complejo, por lo tanto el término emparejamiento de impedancia conjugada.

Esta misma relación surge en la adaptación de impedancias, pero ocurre dentro de la definición de ondas de potencia según lo definido por Kurokawa. No surge en la definición de ondas de voltaje, que se utiliza para derivar la versión convencionalmente entendida del coeficiente de reflexión.

Coeficiente de Reflexión Tradicional

Cuando decimos que una línea de transmisión lleva o guía una onda electromagnética, lo decimos porque estamos considerando los campos eléctricos y magnéticos individuales siendo guiados por la línea. En la teoría de líneas de transmisión, estamos observando una onda de voltaje siendo guiada por la línea, a partir de la cual podemos calcular los campos eléctricos y magnéticos. La definición estándar para un coeficiente de reflexión se deriva considerando el campo eléctrico o la onda de voltaje siendo guiada a lo largo de la estructura de la línea de transmisión. Así es como obtenemos la definición tradicional del coeficiente de reflexión:

Esta es la definición que típicamente usaríamos para determinar una impedancia de entrada, que se deriva usando ondas de voltaje. He usado una impedancia de referencia para la impedancia del lado de la fuente porque este es el valor que usaríamos para comparación en mediciones de parámetros S y análisis. Tradicionalmente, esto asume una impedancia de referencia con definición de parámetros S de 2 puertos dada por lo siguiente:

Normalmente, establecemos que la impedancia de referencia en cada puerto es simplemente un valor real, como 50 Ohms, y esto es lo que se utilizaría en una medición real. Esto es a pesar del hecho de que una operación Re aparece en el denominador de la definición anterior, y creo que esto contribuye a la confusión.

La otra definición, que causa que la adaptación conjugada, tal como se define en el teorema de transferencia de potencia máxima, se confunda con un requisito de adaptación conjugada en circuitos de alta velocidad/alta frecuencia, se relaciona con una definición alternativa para los parámetros S que permite una impedancia de referencia compleja.

Reflexión de Onda de Potencia con Impedancia de Referencia Compleja

Es una coincidencia interesante que la adaptación de impedancia conjugada surja en dos casos en los que estamos tratando con potencia: uno en el caso de la entrega de potencia y el otro en términos de la potencia promedio transportada por una onda electromagnética.

En el artículo de Kurokawa, hay una definición de un coeficiente de reflexión para ondas de potencia:

Esta definición se puede usar con la siguiente definición (más general) de ondas de potencia:

A partir de la definición anterior, vemos que los coeficientes de reflexión de potencia y voltaje se reducen a la misma situación física cuando las impedancias de referencia son puramente reales. La definición de un coeficiente de onda de potencia es importante bajo la definición de ondas de potencia como se da en el artículo de Kurokawa y como se usa para definir los parámetros S.

Aquí es donde tenemos que notar que las ondas de potencia son entidades no físicas. Las ondas electromagnéticas transportan potencia, pero no son "ondas de potencia" como implica la definición de Kurokawa. Sí, es cierto que tenemos instrumentos útiles como los analizadores de redes vectoriales para darnos mediciones de los parámetros S que se basan en la definición de ondas de potencia. Sin embargo, las ondas de potencia originalmente definidas en el artículo de Kurokawa se infieren de los campos eléctricos y magnéticos (o el voltaje y corriente correspondientes, respectivamente).

No Siempre Puedes Obtener Ambos Tipos de Coincidencia Simultáneamente

Cuando comparamos la coincidencia conjugada vs. la coincidencia sin reflexión, y pensamos en lo que sucede cuando una onda encuentra una carga compleja, creo que empezamos a ver la lógica de Kurokawa.

Si quieres pensar en esto en términos de transferencia máxima de potencia en circuitos, entonces es importante darse cuenta de que no todo el voltaje será entregado a una carga en el caso de que estés entregando la máxima potencia. Incluso con impedancias reales de fuente y carga, pierdes la mitad del voltaje a través de la impedancia de la fuente. Cuando la carga es reactiva, estás sacrificando algo de entrega de voltaje para aumentar la entrega de corriente. El resultado es que hay una diferencia de fase ideal que produce la máxima potencia, justo como tenemos en el teorema de transferencia máxima de potencia.

Algo similar ocurre cuando tienes una onda viajera (una onda de voltaje) encontrando una carga. La carga compleja (ya sea un circuito, guía de onda, sistema distribuido, etc.) puede inducir un desplazamiento de fase en la onda de voltaje entrante (campo eléctrico) con respecto a la onda de corriente entrante (campo magnético). El resultado es: ocurre alguna reflexión de voltaje, pero habrá una desadaptación de impedancia reactiva precisa que causa que la onda de potencia transmitida (según lo definido por Kurokawa) sea maximizada. Y así, puedes minimizar la reflexión de voltaje o la reflexión de potencia, pero no ambas simultáneamente.

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