반사 없는 정합 대 상보 정합: 명백한 모순

임피던스 매칭과 관련하여 반복적으로 나타나는 혼란이 하나 있으며, 이는 반사와 전력 전달 사이의 근본적인 혼란으로 보입니다. 이로 인해 전력 전달을 파동 반사로 일반화하려고 할 때, 두 개념이 관련되지 않았음에도 불구하고 모순처럼 보이는 상황이 발생합니다.

제가 언급하는 모순은 반사 없는 임피던스 매칭과 공액 임피던스 매칭을 비교할 때 발생합니다. 모순은 다음과 같습니다:

1. 최대 전력 전송 정리에 따르면, 소스와 부하가 공액 매칭될 때 부하가 최대 전력을 받습니다.
2. 따라서, 전자기파가 부하에 최대 전력을 전달하기 위해서는 반사 계수가 다음과 같이 나타나야 합니다: Γ = (ZL - Z*)/(ZL + Z)
3. #2의 방정식은 전송선 이론에서 보는 전형적인 반사 계수와 일치하지 않으므로 어떤 모순이 있어야 합니다.

논리적으로 이 두 방정식 중 하나만 올바를 수 있습니다. 하지만, 쿠로카와의 논문에서 S-매개변수의 원래 공식을 살펴보면, 두 종류의 반사 계수 모두 고려되어 있지만 그 중 하나만 실제로 측정 가능하다는 것을 알 수 있습니다.

이 모든 것은 우연과 일부 정의가 혼동되어 발생합니다. 실제로 반사 계수와 최대 전력 전송 정리에서의 공액 매칭의 정의 사이에 나타나는 모순은 S-매개변수의 원래 공식에서 파동 전파가 정의되는 방식 때문에 발생합니다. 또한 전자기학에서 반사 계수의 기본 정의와 관련이 있습니다. 이 글에서는 이러한 다양한 반사 계수를 살펴보면서 이러한 사고 방식에서 혼란이 어디에서 발생하는지 알아보겠습니다.

반사의 두 가지 정의

이 섹션을 시작하기 전에, 관심 있는 독자에게 전력 반사 계수에 대해 배울 수 있는 쿠로카와의 원래 논문을 참조하고 싶습니다:

• K. Kurokawa, “파워 웨이브와 산란 행렬,” IEEE Trans. Microwave Theory Tech., 13, #2, pp. 194–202, 1965년 4월.

또한, 회로 설계에서 기본적인 결과인 최대 전력 전송 정리의 전체 유도 과정에 대해서는 자세히 다루지 않겠습니다. 간단히 말해서, 이 정리는 소스와 부하 사이에 최대 전력이 전송될 때 다음과 같다고 명시합니다:

여기서 별표(*)는 복소 공액을 나타내므로, 용어는 공액 임피던스 매칭을 의미합니다.

이와 같은 관계는 임피던스 매칭에서도 발생하지만, 이는 쿠로카와에 의해 정의된 전력 파동의 정의 내에서 발생합니다. 이는 전압 파동의 정의에서 발생하지 않으며, 이는 전통적으로 이해되는 반사 계수 버전을 유도하는 데 사용됩니다.

전통적인 반사 계수

전송선이 전자기파를 전달하거나 안내한다고 말할 때, 우리는 선에 의해 안내되는 개별 전기 및 자기장을 고려하고 있기 때문입니다. 전송선 이론에서, 우리는 선에 의해 안내되는 전압 파동을 보고 있으며, 이로부터 전기 및 자기장을 계산할 수 있습니다. 반사 계수에 대한 표준 정의는 전송선 구조를 따라 안내되는 전기장 또는 전압 파동을 고려하여 유도됩니다. 이것이 우리가 전통적인 반사 계수 정의를 얻는 방법입니다:

이것은 전압 파동을 사용하여 유도된 입력 임피던스를 결정하는 데 일반적으로 사용하는 정의입니다. 저는 비교를 위해 S-파라미터 측정 및 분석에서 사용할 값으로 소스 측 임피던스에 대한 참조 임피던스를 사용했습니다. 전통적으로, 이는 다음과 같이 주어진 2포트 S-파라미터 정의와 함께 참조 임피던스를 가정합니다:

보통, 각 포트에서의 기준 임피던스는 실제 측정에서 사용되는 것처럼 50 옴과 같은 실수 값으로 설정됩니다. 이는 위의 정의 분모에 Re 연산이 나타나는데도 불구하고, 이것이 혼란을 일으키는 한 요인이라고 생각합니다.

최대 전력 전송 정리에서 정의된 공액 매칭과 고속/고주파 회로에서의 공액 매칭 요구 사이의 혼동을 일으키는 또 다른 정의는 복소 기준 임피던스를 허용하는 S-파라미터의 대체 정의와 관련이 있습니다.

복소 기준 임피던스를 가진 전력 파동 반사

전력 전달과 전자기파가 운반하는 평균 전력 측면에서 우리가 전력을 다루는 두 경우에 공액 임피던스 매칭이 발생한다는 것은 흥미로운 우연입니다.

구로카와의 논문에서는 전력 파동에 대한 반사 계수의 정의가 있습니다:

이 정의는 다음과 같은 (더 일반적인) 전력 파동의 정의와 함께 사용될 수 있습니다:

위의 정의에서, 참조 임피던스가 순수하게 실수일 때 전력 및 전압 파동 반사 계수가 동일한 물리적 상황으로 축소된다는 것을 알 수 있습니다. 전력 파동 계수의 정의는 쿠로카와의 논문에서 제시된 전력 파동의 정의와 S-매개변수를 정의하는 데 사용될 때 중요합니다.

여기서 우리가 주목해야 할 점은 전력 파동이 비물리적 개체라는 것입니다. 전자기 파동은 전력을 전달하지만, 쿠로카와의 정의에 의해 시사된 것처럼 "전력 파동"이 아닙니다. 벡터 네트워크 분석기와 같은 편리한 도구가 전력 파동의 정의에 기반한 S-매개변수의 측정값을 제공한다는 것은 사실입니다. 그러나 쿠로카와의 논문에서 처음 정의된 전력 파동은 전기 및 자기장(또는 해당하는 전압 및 전류)에서 추론됩니다.

양쪽 매칭 유형을 동시에 얻을 수는 없습니다

우리가 공액 매칭과 반사 없는 매칭을 비교하고, 파동이 복잡한 부하를 만났을 때 무슨 일이 일어나는지 생각해보면, 쿠로카와의 논리를 이해하기 시작하는 것 같습니다.

회로에서 최대 전력 전송 측면에서 이를 생각하고 싶다면, 최대 전력을 전달하는 경우에 모든 전압이 부하에 전달되지 않는다는 것을 인식하는 것이 중요합니다. 실제 소스와 부하 임피던스가 있어도 소스 임피던스를 통해 전압의 절반을 잃게 됩니다. 부하가 반응성일 때, 전류 전달을 증가시키기 위해 일부 전압 전달을 희생하고 있습니다. 결과적으로 최대 전력 전송 정리에서와 같이 최대 전력을 내는 이상적인 위상 차이가 있습니다.

여행하는 파동(전압 파동)이 부하를 만날 때 비슷한 일이 발생합니다. 복잡한 부하(회로, 도파관, 분산 시스템 등)는 들어오는 전압 파동(전기장)에 대해 들어오는 전류 파동(자기장)과 관련하여 위상 변화를 유발할 수 있습니다. 결과적으로 일부 전압 반사가 발생하지만, 전달된 전력 파동(쿠로카와에 의해 정의됨)이 최대화되는 정확한 반응성 임피던스 불일치가 있습니다. 그래서 전압 반사나 전력 반사를 최소화할 수는 있지만, 동시에 둘 다를 최소화할 수는 없습니다.

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