Casamento sem Reflexão vs. Casamento Conjugado: Uma Aparente Contradição

Existe uma confusão relacionada à correspondência de impedância que surge repetidamente, e parece ser uma confusão fundamental entre reflexão e entrega de potência. Isso leva a uma aparente contradição que surge quando tentamos generalizar a entrega de potência para a reflexão de ondas, apesar do fato de que as duas não foram feitas para serem relacionadas.

A contradição a que me refiro relaciona-se à correspondência de impedância sem reflexão comparada à correspondência de impedância conjugada. A contradição é a seguinte:

1. De acordo com o teorema da transferência máxima de potência, uma carga recebe a máxima potência quando a fonte e a carga estão conjugadamente correspondidas.
2. Portanto, para que uma onda eletromagnética transfira a máxima potência para uma carga, esperaríamos que o coeficiente de reflexão fosse lido da seguinte forma: Γ = (ZL - Z*)/(ZL + Z)
3. A equação em #2 não corresponde ao coeficiente de reflexão típico que vemos na teoria de linhas de transmissão, então deve haver alguma contradição.

A lógica é que apenas uma dessas equações pode estar correta. No entanto, se você olhar através da formulação original dos parâmetros S no artigo de Kurokawa, veremos que há uma consideração para ambos os tipos de coeficientes de reflexão, mesmo que apenas um deles seja fisicamente mensurável.

Isso tudo surge devido a coincidências e algumas definições sendo confundidas. De fato, a aparente contradição nas definições de um coeficiente de reflexão e correspondência conjugada no teorema de transferência máxima de potência surge devido à maneira como a propagação de ondas é definida na formulação original dos parâmetros S. Isso também se relaciona com a definição fundamental do coeficiente de reflexão do eletromagnetismo. Neste artigo, vou olhar para esses diferentes coeficientes de reflexão para que possamos ver onde a confusão surge nesta linha de pensamento.

Duas Definições de Reflexão

Antes de começar esta seção, eu gostaria de referir o leitor interessado ao artigo original de Kurokawa para aprender sobre o coeficiente de reflexão de potência:

• K. Kurokawa, “Ondas de potência e a matriz de espalhamento,” IEEE Trans. Microwave Theory Tech., 13, nº 2, pp. 194–202, abril de 1965.

Além disso, não entrarei na derivação completa do teorema de transferência máxima de potência, pois este é um resultado elementar do design de circuitos. Em resumo, o teorema afirma que a potência máxima é transferida entre uma fonte e uma carga quando:

Aqui, o asterisco (*) indica um conjugado complexo, portanto o termo correspondência de impedância conjugada.

Esta mesma relação surge no casamento de impedâncias, mas ocorre dentro da definição de ondas de potência conforme definido por Kurokawa. Ela não surge na definição de ondas de tensão, que é usada para derivar a versão convencionalmente entendida do coeficiente de reflexão.

Coeficiente de Reflexão Tradicional

Quando dizemos que uma linha de transmissão carrega ou guia uma onda eletromagnética, dizemos isso porque estamos considerando os campos elétricos e magnéticos individuais sendo guiados pela linha. Na teoria de linha de transmissão, estamos olhando para uma onda de tensão sendo guiada pela linha, a partir da qual podemos calcular os campos elétricos e magnéticos. A definição padrão para um coeficiente de reflexão é derivada considerando o campo elétrico ou a onda de tensão sendo guiada ao longo da estrutura da linha de transmissão. É assim que obtemos a definição tradicional do coeficiente de reflexão:

Esta é a definição que normalmente usaríamos para determinar uma impedância de entrada, que é derivada usando ondas de tensão. Eu usei uma impedância de referência para a impedância do lado da fonte porque este é o valor que usaríamos para comparação em medições de parâmetros-S e análise. Tradicionalmente, isso pressupõe uma impedância de referência com definição de parâmetros-S de 2 portas dada pelo seguinte:

Normalmente, definimos a impedância de referência em cada porta como um valor real, como 50 Ohms, e isso é o que seria usado em uma medição real. Isso apesar do fato de que uma operação Re aparece no denominador da definição acima, e eu acho que isso contribui para a confusão.

A outra definição, que causa confusão entre a correspondência conjugada conforme definido no teorema de transferência máxima de potência com uma exigência de correspondência conjugada em circuitos de alta velocidade/alta frequência, relaciona-se a uma definição alternativa para os parâmetros-S que permite uma impedância de referência complexa.

Reflexão de Onda de Potência com Impedância de Referência Complexa

É uma coincidência interessante que a correspondência de impedância conjugada surja em dois casos em que estamos lidando com potência: um no caso da entrega de potência e o outro em termos da potência média transportada por uma onda eletromagnética.

No artigo de Kurokawa, há uma definição de um coeficiente de reflexão para ondas de potência:

Esta definição pode ser usada com a seguinte definição (mais geral) de ondas de potência:

A partir da definição acima, vemos que os coeficientes de reflexão de potência e tensão reduzem-se à mesma situação física quando as impedâncias de referência são puramente reais. A definição de um coeficiente de onda de potência é importante sob a definição de ondas de potência conforme apresentado no artigo de Kurokawa e como usado para definir os parâmetros S.

Aqui é onde temos que notar que ondas de potência são entidades não físicas. Ondas eletromagnéticas transportam potência, mas não são "ondas de potência" conforme implicado pela definição de Kurokawa. Sim, é verdade que temos instrumentos úteis como analisadores de rede vetorial para nos fornecer medições de parâmetros S que são baseadas na definição de ondas de potência. No entanto, as ondas de potência originalmente definidas no artigo de Kurokawa são inferidas a partir de campos elétricos e magnéticos (ou a tensão e corrente correspondentes, respectivamente).

Você Não Pode Sempre Obter Ambos os Tipos de Correspondência Simultaneamente

Quando comparamos a correspondência conjugada versus a correspondência sem reflexão, e pensamos sobre o que acontece quando uma onda encontra uma carga complexa, acho que começamos a ver a lógica de Kurokawa.

Se você quer pensar sobre isso em termos de transferência máxima de potência em circuitos, então é importante perceber que nem toda a tensão será entregue a uma carga no caso em que você está entregando a máxima potência. Mesmo com impedâncias reais de fonte e carga, você perde metade da tensão através da impedância da fonte. Quando a carga é reativa, você está sacrificando parte da entrega de tensão para aumentar a entrega de corrente. O resultado é que existe uma diferença de fase ideal que gera a máxima potência, assim como temos no teorema da transferência máxima de potência.

Algo similar acontece quando você tem uma onda viajante (uma onda de tensão) encontrando uma carga. A carga complexa (seja um circuito, guia de onda, sistema distribuído, etc.) pode induzir um deslocamento de fase na onda de tensão entrante (campo elétrico) em relação à onda de corrente entrante (campo magnético). O resultado é: ocorre alguma reflexão de tensão, mas haverá uma incompatibilidade de impedância reativa precisa que faz com que a onda de potência transmitida (conforme definido por Kurokawa) seja maximizada. E assim, você pode minimizar a reflexão de tensão ou a reflexão de potência, mas não ambas simultaneamente.

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