反射なしマッチング対共役マッチング：一見矛盾しているように見える

インピーダンスマッチングに関連する混乱が何度も繰り返し出てくるが、それは反射と電力供給の間の根本的な混乱によるものである。これは、電力供給を波の反射に一般化しようとするときに、二つが関連していないにもかかわらず、明らかな矛盾が生じることにつながる。

私が言及している矛盾は、反射なしのインピーダンスマッチングと共役インピーダンスマッチングを比較したものである。矛盾は次のようになる：

1. 最大電力伝達定理によると、源と負荷が共役マッチしているとき、負荷は最大の電力を受け取る。
2. したがって、電磁波が負荷に最大の電力を伝達するためには、反射係数が以下のようになることが期待される： Γ = (ZL - Z*)/(ZL + Z)
3. 上記の#2の方程式は、伝送線理論から見られる典型的な反射係数と一致しないので、何らかの矛盾が存在しなければならない。

この論理は、これらの方程式のうちの一つだけが正しいということになる。しかし、黒川の論文でSパラメータの元々の定式化を見ると、物理的に測定可能なものは一つだけであるにもかかわらず、両方のタイプの反射係数についての考慮があることがわかる。

これは、偶然といくつかの定義が混同されることに起因します。実際、反射係数と最大電力伝送定理における共役整合の定義における明らかな矛盾は、Sパラメータの元の定式化において波の伝播がどのように定義されるかによって生じます。また、電磁気学からの反射係数の基本的な定義にも関連しています。この記事では、この考え方における混乱がどこから生じるかを見るために、これらの異なる反射係数を見ていきます。

反射の二つの定義

このセクションに入る前に、興味のある読者には電力反射係数について学ぶために黒川の元の論文を参照することをお勧めします：

• K. Kurokawa, “Power waves and the scattering matrix,” IEEE Trans. Microwave Theory Tech., 13, #2, pp. 194–202, 1965年4月。

さらに、最大電力伝送定理の完全な導出には触れません。これは回路設計からの基本的な結果です。簡単に言うと、この定理は次のときに最大の電力が源と負荷の間で伝送されると述べています：

ここで、アスタリスク(*)は複素共役を示し、したがって用語は共役インピーダンス整合を意味します。

この同じ関係はインピーダンスマッチングにおいても生じますが、これは黒川によって定義された電力波の定義内で起こります。これは電圧波の定義では生じず、反射係数の従来理解されているバージョンを導出するために使用されます。

従来の反射係数

伝送線が電磁波を運ぶ、または案内すると言うとき、私たちは線によって案内される個々の電場と磁場を考慮しているからです。伝送線理論では、線によって案内される電圧波を見ており、それから電場と磁場を計算することができます。反射係数の標準定義は、伝送線構造に沿って案内される電場または電圧波を考慮して導出されます。これが従来の反射係数定義を得る方法です：

これは、電圧波を使用して導出される入力インピーダンスを決定するために通常使用する定義です。参照インピーダンスをソース側インピーダンスに使用しました。これは、Sパラメータ測定および分析で比較に使用する値だからです。従来、これは以下によって与えられる2ポートSパラメータ定義を持つ参照インピーダンスを仮定します：

通常、各ポートで設定される参照インピーダンスは、実際の測定で使用されるように、50オームのような実数値です。これは、上記の定義の分母にRe操作が現れるにもかかわらずであり、これが混乱に寄与していると思います。

もう一つの定義は、Sパラメータの代替定義に関連しており、これにより複素参照インピーダンスを持つことが可能になり、最大電力伝達定理で定義された共役マッチングが、高速/高周波回路での共役マッチングの要件と混同される原因となります。

複素参照インピーダンスを持つ電力波の反射

共役インピーダンスマッチングが、電力の配送と、電磁波によって運ばれる平均電力の観点で扱われる2つのケースで生じるというのは、興味深い偶然です。

黒川の論文では、電力波の反射係数に関する定義があります：

この定義は、以下の（より一般的な）電力波の定義と共に使用することができます：

上記の定義から、参照インピーダンスが純粋に実数である場合、電力および電圧波の反射係数は同じ物理的状況に還元されることがわかります。電力波係数の定義は、黒川の論文で与えられた電力波の定義およびSパラメータを定義するために使用される場合に重要です。

ここで注意すべきは、電力波は非物理的な実体であるということです。電磁波は電力を運びますが、黒川の定義による「電力波」とは異なります。確かに、電力波の定義に基づいたSパラメータの測定を提供するベクトルネットワークアナライザーのような便利な機器があるのは事実です。しかし、黒川の論文で元々定義された電力波は、電場と磁場（またはそれに対応する電圧と電流）から推測されます。

常に両方のマッチングタイプを同時に得ることはできません

共役マッチングと反射なしマッチングを比較し、波が複雑な負荷に遭遇したときに何が起こるかを考えると、黒川の論理が見え始めると思います。

回路における最大電力伝達について考えたい場合、最大電力を供給している状況では、全ての電圧が負荷に供給されるわけではないことを理解することが重要です。実際の源と負荷のインピーダンスがあっても、源のインピーダンスを通過する電圧の半分が失われます。負荷がリアクティブな場合、電流供給を増やすためにいくらかの電圧供給を犠牲にしています。その結果、最大電力伝達定理にあるように、最大電力を生み出す理想的な位相差が存在します。

似たようなことが、移動波（電圧波）が負荷に遭遇するときに起こります。複雑な負荷（回路、導波管、分散システムなど）は、入射する電圧波（電場）に対して、入射する電流波（磁場）との間に位相シフトを引き起こすことがあります。その結果、ある程度の電圧反射が発生しますが、伝達される電力波（黒川によって定義される）が最大化される正確なリアクティブインピーダンスの不一致が存在します。したがって、電圧反射または電力反射を最小限に抑えることができますが、両方を同時に行うことはできません。

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