Reflexionsfreie Anpassung vs. Konjugierte Anpassung: Ein scheinbarer Widerspruch

Es gibt eine Verwirrung bezüglich der Impedanzanpassung, die immer wieder auftaucht, und es scheint eine grundlegende Verwirrung zwischen Reflexion und Leistungsübertragung zu sein. Dies führt zu einem scheinbaren Widerspruch, der entsteht, wenn wir versuchen, die Leistungsübertragung auf Wellenreflexion zu verallgemeinern, obwohl die beiden nicht miteinander in Verbindung gebracht werden sollten.

Der Widerspruch, auf den ich mich beziehe, betrifft die reflexionsfreie Impedanzanpassung im Vergleich zur konjugierten Impedanzanpassung. Der Widerspruch lässt sich folgendermaßen zusammenfassen:

1. Nach dem Theorem der maximalen Leistungsübertragung erhält eine Last die maximale Leistung, wenn Quelle und Last konjugiert angepasst sind.
2. Daher würden wir für eine elektromagnetische Welle, die maximale Leistung an eine Last übertragen soll, erwarten, dass der Reflexionskoeffizient wie folgt lautet: Γ = (ZL - Z*)/(ZL + Z)
3. Die Gleichung in #2 entspricht nicht dem typischen Reflexionskoeffizienten, den wir aus der Theorie der Übertragungsleitungen kennen, also muss es einen Widerspruch geben.

Die Logik besagt, dass nur eine dieser Gleichungen korrekt sein kann. Wenn man jedoch die ursprüngliche Formulierung der S-Parameter in Kurokawas Arbeit durchsieht, wird man feststellen, dass beide Arten von Reflexionskoeffizienten berücksichtigt werden, obwohl nur einer von ihnen physikalisch messbar ist.

Dies alles entsteht durch Zufall und einige Definitionen, die vermischt werden. Tatsächlich entsteht der scheinbare Widerspruch in den Definitionen des Reflexionskoeffizienten und der konjugierten Anpassung im Theorem der maximalen Leistungsübertragung durch die Art und Weise, wie die Wellenausbreitung in der ursprünglichen Formulierung der S-Parameter definiert wird. Es bezieht sich auch auf die grundlegende Definition des Reflexionskoeffizienten aus der Elektromagnetik. In diesem Artikel werde ich mir diese verschiedenen Reflexionskoeffizienten ansehen, damit wir verstehen können, wo die Verwirrung in dieser Denkweise entsteht.

Zwei Definitionen der Reflexion

Bevor ich mit diesem Abschnitt beginne, würde ich den interessierten Leser auf Kurokawas Originalarbeit verweisen, um mehr über den Leistungsreflexionskoeffizienten zu erfahren:

• K. Kurokawa, „Power waves and the scattering matrix“, IEEE Trans. Microwave Theory Tech., 13, Nr. 2, S. 194–202, April 1965.

Zusätzlich werde ich nicht auf die vollständige Ableitung des Theorems der maximalen Leistungsübertragung eingehen, da dies ein grundlegendes Ergebnis aus dem Schaltungsentwurf ist. Kurz gesagt, besagt das Theorem, dass maximale Leistung zwischen einer Quelle und einer Last übertragen wird, wenn:

Hier zeigt der Stern (*) ein komplexes Konjugat an, also den Begriff der konjugierten Impedanzanpassung.

Diese gleiche Beziehung entsteht bei der Impedanzanpassung, aber sie tritt innerhalb der Definition von Leistungswellen auf, wie sie von Kurokawa definiert wurde. Sie entsteht nicht in der Definition von Spannungswellen, die verwendet wird, um die konventionell verstandene Version des Reflexionskoeffizienten abzuleiten.

Traditioneller Reflexionskoeffizient

Wenn wir sagen, dass eine Übertragungsleitung eine elektromagnetische Welle trägt oder leitet, sagen wir dies, weil wir die einzelnen elektrischen und magnetischen Felder betrachten, die von der Leitung geführt werden. In der Theorie der Übertragungsleitungen betrachten wir eine Spannungswelle, die von der Leitung geführt wird, aus der wir die elektrischen und magnetischen Felder berechnen können. Die Standarddefinition für einen Reflexionskoeffizienten wird abgeleitet, indem man das elektrische Feld oder die Spannungswelle betrachtet, die entlang der Übertragungsleitungsstruktur geführt wird. So kommen wir zur traditionellen Definition des Reflexionskoeffizienten:

Dies ist die Definition, die wir typischerweise verwenden würden, um eine Eingangsimpedanz zu bestimmen, die unter Verwendung von Spannungswellen abgeleitet wird. Ich habe eine Referenzimpedanz für die Impedanz auf der Quellseite verwendet, da dies der Wert ist, den wir zum Vergleich in S-Parameter-Messungen und Analysen verwenden würden. Traditionell setzt dies eine Referenzimpedanz mit einer 2-Port-S-Parameter-Definition voraus, die wie folgt gegeben ist:

Normalerweise legen wir die Referenzimpedanz an jedem Port als einen reinen Wert fest, wie 50 Ohm, und das ist es, was bei einer echten Messung verwendet würde. Dies ist trotz der Tatsache, dass eine Re-Operation im Nenner der obigen Definition erscheint, und ich denke, dies trägt zur Verwirrung bei.

Die andere Definition, die dazu führt, dass die konjugierte Anpassung, wie sie im Theorem der maximalen Leistungsübertragung definiert ist, mit einer Anforderung für konjugierte Anpassung in Hochgeschwindigkeits-/Hochfrequenzschaltungen verwechselt wird, bezieht sich auf eine alternative Definition für S-Parameter, die eine komplexe Referenzimpedanz zulässt.

Leistungswellenreflexion mit komplexer Referenzimpedanz

Es ist ein interessanter Zufall, dass die konjugierte Impedanzanpassung in zwei Fällen auftritt, in denen wir uns mit Leistung befassen: einmal im Fall der Leistungslieferung und das andere Mal in Bezug auf die durchschnittliche Leistung, die von einer elektromagnetischen Welle getragen wird.

In Kurokawas Arbeit gibt es eine Definition eines Reflexionskoeffizienten für Leistungswellen:

Diese Definition kann mit der folgenden (allgemeineren) Definition von Leistungswellen verwendet werden:

Aus der obigen Definition sehen wir, dass sich die Reflexionskoeffizienten für Leistung und Spannung auf dieselbe physikalische Situation reduzieren, wenn die Referenzimpedanzen rein reell sind. Die Definition eines Leistungswellenkoeffizienten ist wichtig im Rahmen der Definition von Leistungswellen, wie sie in Kurokawas Arbeit gegeben und zur Definition von S-Parametern verwendet wird.

Hier müssen wir beachten, dass Leistungswellen nicht-physische Entitäten sind. Elektromagnetische Wellen tragen Leistung, aber sie sind nicht „Leistungswellen“, wie durch Kurokawas Definition impliziert. Ja, es stimmt, dass wir praktische Instrumente wie Vektor-Netzwerkanalysatoren haben, die uns Messungen von S-Parametern liefern, die auf der Definition von Leistungswellen basieren. Die ursprünglich in Kurokawas Arbeit definierten Leistungswellen werden jedoch aus elektrischen und magnetischen Feldern (oder den entsprechenden Spannungen und Strömen) abgeleitet.

Man kann nicht immer beide Anpassungsarten gleichzeitig erhalten

Wenn wir konjugierte Anpassung mit reflexionsfreier Anpassung vergleichen und darüber nachdenken, was passiert, wenn eine Welle auf eine komplexe Last trifft, denke ich, beginnen wir, Kurokawas Logik zu verstehen.

Wenn Sie dies im Hinblick auf die maximale Leistungsübertragung in Schaltkreisen betrachten möchten, ist es wichtig zu erkennen, dass nicht die gesamte Spannung an eine Last abgegeben wird, wenn Sie maximale Leistung liefern. Selbst bei realen Quellen- und Lastimpedanzen verlieren Sie die Hälfte der Spannung über der Quellenimpedanz. Wenn die Last reaktiv ist, opfern Sie etwas Spannungsabgabe, um die Stromabgabe zu erhöhen. Das Ergebnis ist, dass es einen idealen Phasenunterschied gibt, der maximale Leistung liefert, genau wie wir es im Theorem der maximalen Leistungsübertragung haben.

Etwas Ähnliches passiert, wenn Sie eine wandernde Welle (eine Spannungswelle) haben, die auf eine Last trifft. Die komplexe Last (ob Schaltung, Wellenleiter, verteiltes System usw.) kann eine Phasenverschiebung in der eingehenden Spannungswelle (elektrisches Feld) im Verhältnis zur eingehenden Stromwelle (magnetisches Feld) induzieren. Das Ergebnis ist: Es tritt eine gewisse Spannungsreflexion auf, aber es gibt eine präzise reaktive Impedanzfehlanpassung, die dazu führt, dass die übertragene Leistungswelle (wie von Kurokawa definiert) maximiert wird. Und so können Sie die Spannungsreflexion oder die Leistungsreflexion minimieren, aber nicht beides gleichzeitig.

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