Fonction de transfert des lignes de transmission des paramètres ABCD et S

Les concepteurs de circuits et de cartes aiment utiliser les paramètres S pour décrire le comportement du signal lors de son passage à travers une interconnexion. Ces paramètres importants ont tendance à être trop généralisés (à mon avis), et il existe d'autres quantités importantes qui peuvent être plus faciles à calculer si vous utilisez des paramètres différents. En particulier, la fonction de transfert des lignes de transmission est une quantité importante utilisée pour les calculs et les simulations de l'intégrité du signal, notamment lors de la modélisation d'une interconnexion dans un milieu à pertes.

Une fonction de transfert des lignes de transmission vous permet également de simuler le comportement du signal pour tout stimulus d'entrée à l'aide d'une fonction de réponse impulsive, qui est un aspect essentiel des simulations et des modélisations d'intégrité du signal haute vitesse pour les normes de signalisation modernes. La puissance de cette méthode semble avoir été oubliée par de nombreux ingénieurs PCB et est devenue la compétence des ingénieurs CI. Les concepteurs de PCB utilisent souvent par défaut des outils de simulation pour examiner cet aspect de la conception des interconnexions, qui produisent inévitablement des résultats erronés, car ils ne tiennent pas compte de tous les effets à haute vitesse dans un canal réel.

Malgré ces inconvénients, il existe quelques calculs simples que vous pouvez effectuer pour obtenir une vue précise du comportement d’un signal sur des lignes de transmission réelles avec des composants de charge réels et une terminaison. Examinons un moyen simple mais puissant de calculer la fonction de transfert de vos lignes de transmission et d’en savoir plus sur votre système.

Équations de la fonction de transfert des lignes de transmission

La façon la plus simple pour calculer une fonction de transfert des lignes de transmission consiste à utiliser les paramètres ABCD ou les paramètres S. Je préfère utiliser les paramètres ABCD parce que je travaille sur la modélisation, et ils sont plus facilement généralisables à n'importe quelle ligne de transmission. Après tout, ils sont définis directement à partir de la solution générale pour une ligne de transmission. Personnellement, je pense que les paramètres S sont trop généralisés et qu'ils sont mal appliqués dans des situations où ils ne correspondent pas si bien sur le plan conceptuel. Il est également important de noter qu'il existe d'autres équations pour la conversion entre différents types de paramètres (par exemple, paramètres Z, paramètres Y, etc.), afin que vous puissiez toujours trouver un moyen d'obtenir la fonction de transfert.

Si vous ne savez pas pourquoi nous avons besoin d'une fonction de transfert pour une ligne de transmission, j'y reviendrai à la fin de l'article. Pour l'instant, sachez que, quelle que soit l'approche que vous souhaitez adopter, les paramètres ABCD et les paramètres S offrent certains avantages spécifiques :

• Pourquoi utiliser les paramètres ABCD : ces paramètres sont définis directement à partir de la solution générale pour toute ligne de transmission (tant qu’il s’agit d’un système LTI). Ils sont beaucoup plus généralisables que les paramètres S, y compris aux cas de rugosité du cuivre, de dispersion causale, et de pertes par effet de peau ou de tissage des fibres. Les paramètres ABCD sont les meilleurs pour les réseaux en cascade (par exemple, les réseaux de type ligne + stub + ligne + branche de charge), car vous pouvez simplement combiner plusieurs matrices ABCD.
• Pourquoi utiliser les paramètres S : ce sont les paramètres que l'on mesure normalement dans une configuration standard pour caractériser les canaux à haute vitesse avec des bandes passantes multi-GHz. Par conséquent, il est naturel de les utiliser pour calculer une fonction de transfert car vous n'avez pas besoin d'effectuer d'autres inversions compliquées à partir des impédances. Les deux ensembles de paramètres peuvent être généralisés aux réseaux à N- ports, mais les paramètres ABCD nécessitent la construction d'une matrice de fonction de transfert, alors que les paramètres S sont faciles à étendre à N- ports. 

Si vous pouvez accepter les arguments ci-dessus pour utiliser les paramètres ABCD du côté théorique et vous en tenir aux paramètres S du côté expérimental, alors nous sommes prêts à passer aux équations importantes dont vous aurez besoin.

À partir des paramètres ABCD

La définition standard des paramètres ABCD est indiquée ci-dessous. Ces équations s'appliquent à toute ligne de transmission tant que vous connaissez son impédance et sa constante de propagation :

Le terme Z0 dans l'équation des paramètres ABCD est l'impédance caractéristique de la ligne de transmission.

Notez que la matrice ABCD, qui est inversible, est définie « à l'envers » en ce sens qu'elle relie la tension/le courant d'entrée (c'est-à-dire en regardant vers la charge) à la tension/au courant de sortie. Ce n'est pas grave ; pour créer une relation qui montre la tension/le courant de sortie en fonction de la tension/du courant d'entrée, il suffit de calculer la matrice inverse. Vous n'avez pas besoin de procéder ainsi pour trouver la fonction de transfert d'une ligne de transmission. Vous pouvez utiliser les paramètres ABCD définis ci-dessus avec la formule suivante pour obtenir la fonction de transfert de la ligne de transmission :

Un point à souligner dans cette discussion est que la fonction de transfert et les équations ci-dessus pour les paramètres ABCD ne reposent pas sur une impédance de référence. Les termes ZS et ZL de l'équation de la fonction de transfert ci-dessus apparaissent parce que nous envisageons que ce circuit est réellement connecté à une impédance source spécifique (ZS) et à une impédance de charge spécifique (ZL). L'impédance de référence devient importante lorsque l'on examine des mesures des paramètres S car les VNA s'appuient sur une impédance de référence pour interpréter les mesures.

À partir des paramètres S

L'autre approche de ce problème consiste à utiliser les paramètres S. Comme je l'ai mentionné ci-dessus, c'est très bien si vous avez certaines mesures des paramètres S de votre canal et que vous souhaitez obtenir la fonction de transfert en supposant ZS = ZL = impédance de référence. Dans ce cas, vos paramètres S sont référencés à une impédance Z spécifique aux deux ports, et vous pouvez utiliser une simple conversion de paramètres S en paramètres ABCD :

Après la conversion, insérez-les simplement dans l'équation de la fonction de transfert indiquée ci-dessus et vous avez terminé. N'oubliez pas que Z dans cette équation est l'impédance de référence, qui est généralement prise comme la charge ou l'impédance caractéristique de la ligne.

Vous pouvez également calculer les paramètres S directement à partir des paramètres ABCD dans le cas où vous n’avez pas de mesures de paramètres S. La formule ci-dessous montre les paramètres S définis à partir des paramètres ABCD en supposant que les deux ports ont la même impédance de référence. Vous pouvez ensuite les utiliser pour calculer une fonction de transfert des lignes de transmission. Encore une fois, faites attention à l'impédance de référence dans la formule suivante :

L'équation ci-dessus serait utilisée pour prédire ce qui serait observé lors d'une mesure avec une impédance de référence spécifique (Z), par exemple avec un VNA.

Si nous avons des impédances de port différentes, comme une impédance source spécifique Z01 = ZS et une impédance de charge Z02 = ZL, les paramètres S sont définis comme suit :

Enfin, avec l'une ou l'autre des équations ci-dessus, nous pouvons calculer la fonction de transfert en utilisant les paramètres S et les coefficients de réflexion à la source et à la charge (port 1 et 2, respectivement) :

Autres fonctions de transfert

Notez qu’un paramètre S lui-même est une fonction de transfert, mais pas dans le sens où il fournit une réponse impulsionnelle conceptuellement utile. Il en va de même pour les paramètres Z et les paramètres Y, qui n’ont pas de significations conceptuellement satisfaisantes. C'est la raison pour laquelle une fonction de transfert (au sens de filtres et d'amplificateurs) est normalement utilisée pour la caractérisation des canaux à haute vitesse ; sa fonction de réponse impulsionnelle a une signification concrète dans un canal ou un circuit.

Une fois que vous avez calculé la fonction de transfert, n’oubliez pas qu’elle est limitée en bande passante, vous devrez donc appliquer une fonction de fenêtrage avant de pouvoir calculer la réponse du canal. Numériquement, je pense qu'il est plus facile d'obtenir la réponse du canal à l'aide de la transformée de Fourier inverse et la fonction de transfert de fenêtrage H(f) :

Vous pouvez également calculer la réponse du canal en utilisant le théorème de la convolution, par exemple, avec la fonction de réponse impulsionnelle du canal. Cela vous indique maintenant exactement comment le canal répondra lorsqu'il sera excité par un stimulus arbitraire. Une fois que vous avez trouvé la fonction de transfert des lignes de transmission et que vous êtes prêt à configurer votre canal, utilisez les outils de conception et de layout d'Altium Designer®. Vous disposerez des fonctionnalités de routage et de layout dont vous avez besoin pour acheminer facilement les lignes de transmission et les géométries des guides d'ondes.

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