So berechnen Sie mit ABCD- und S-Parametern die Übertragungsfunktion einer Übertragungsleitung

Um das Signalverhalten beim Durchlaufen einer Verbindung zu beschreiben, verwenden Schaltkreis- und Leiterplattendesigner gerne S-Parameter. S-Parameter sind dabei in der Tat wichtige Werkzeuge, werden (meiner Meinung nach) allerdings zu sehr verallgemeinert. Neben diesen gibt es nämlich noch weitere relevante Größen. Unter anderem solche, mit denen sich manches möglicherweise sogar einfacher berechnen lässt. Insbesondere die Übertragungsfunktion einer Übertragungsleitung ist solch eine wichtige Größe. Sie kann beispielsweise genutzt werden für Berechnungen und Simulationen der Signalintegrität, vor allem bei der Modellierung einer Verbindung in verlustbehafteten Medien.

Die Übertragungsfunktion einer Übertragungsleitung ermöglicht es Ihnen auch das Signalverhalten für jeden Eingangsstimulus mithilfe einer Impulsantwortfunktion zu simulieren. Dieses ist ein kritischer Aspekt für Signalintegritätssimulationen und Modellierungen hinsichtlich moderner Signalstandards im Hochgeschwindigkeitsbereich. Scheinbar sind sich viele PCB-Designer der Stärke dieser Methode nicht bewusst und so ist sie mittlerweile hauptsächlich in den Zuständigkeitsbereich der IC-Entwickler übergegangen. Um diesen Aspekt des Verbindungsdesigns zu untersuchen, greifen PCB-Designer eher selten auf Simulationswerkzeuge zurück. Dadurch werden folglich oftmals nicht alle Hochgeschwindigkeitseffekte in einem realen Kanal berücksichtigt. Leider führt dieses unweigerlich dann auch zu falschen Ergebnissen.

Trotz dieser Nachteile gibt es einige einfache Berechnungen, die Sie durchführen können, um ein genaues Bild davon zu erhalten, wie sich ein Signal in der Praxis auf Übertragungsleitungen mit realen Lastkomponenten und Abschluss verhält. Schauen wir uns eine einfache und dennoch leistungsstarke Methode an, mit der Sie die Übertragungsfunktion Ihrer Übertragungsleitungen berechnen und mehr über Ihr System erfahren können.

Gleichungen für die Übertragungsfunktion von Übertragungsleitungen

Die einfachste Möglichkeit, um die Übertragungsfunktion einer Übertragungsleitung zu berechnen, ist mittels ABCD- oder S-Parametern. Ich persönlich verwende lieber ABCD-Parameter, weil ich oft mit Modellen arbeite und diese leichter auf jede Übertragungsleitung verallgemeinert werden können. Sie lassen sich dabei direkt aus der allgemeinen Formel für eine Übertragungsleitung definieren. Ich persönlich bin der Meinung, dass S-Parameter zu sehr verallgemeinert werden. Zu oft werden Sie dabei in Situationen angewendet, in denen sie konzeptionell eigentlich nicht so gut passen. Ich finde es auch wichtig zu wissen, dass es andere Gleichungen für die Umrechnung zwischen verschiedenen Arten von Parametern gibt (z. B.: Z-Parameter, Y-Parameter usw.). Es lässt sich also fast immer ein geeigneter Weg finden, um zur Übertragungsfunktion zu gelangen.

Sie sind sich nicht sicher, warum wir überhaupt eine Übertragungsfunktion für eine Übertragungsleitung brauchen? Auf diesen Punkte gehe ich separat noch einmal am Ende des Artikels ein. Im Moment sollten Sie nur wissen, dass ABCD- und S-Parameter einige spezifische Vorteile bieten; und das unabhängige davon, welchen Ansatz Sie wählen möchten.

• Warum ABCD-Parameter verwenden: Diese Parameter werden direkt aus der allgemeinen Gleichung für jede Übertragungsleitung definiert – solange es sich um ein LTI-System handelt. Sie lassen sich dabei viel besser verallgemeinern als S-Parameter. So können sie beispielsweise verwendet werden für Fälle, bei denen Kupferrauhigkeit, kausale Streuung oder etwa Verluste durch Fasergewebe/Skin-Effekt auftreten. ABCD-Parameter eignen sich dabei am besten für kaskadierte Netzwerke (z. B.: Netzwerke vom Typ Leitung + Stichleitung + Leitung + Lastabzweig). Denn hier lassen sich leicht mehrere ABCD-Matrizen zusammenfügen. 
• Warum S-Parameter verwenden: S-Parameter würden Sie normalerweise in einem ganz spezifischen Setup messen, und zwar in einem Standard-Setup zur Charakterisierung von Hochgeschwindigkeitskanälen mit Multi-GHz-Bandbreiten. Daher ist es sinnvoll, S-Parameter in diesen Fällen zur Berechnung einer Übertragungsfunktion zu verwenden. Denn hier muss man nicht erst noch eine komplizierte Umkehrung von Impedanzen vornehmen. Beide Parametersätze können dabei für N-Port-Netzwerke verallgemeinert werden. ABCD-Parameter erfordern jedoch die Erstellung einer Übertragungsfunktionsmatrix, während S-Parameter einfach auf N-Ports erweitert werden können. 

Nachdem Sie nun mehr darüber erfahren haben, wann und wofür sich ABCD-Parameter (in der Theorie) und S-Parameter (auf der experimentellen Seite) am besten verwenden lassen, können wir den nächsten Schritt gehen. Wir befassen uns nun mit den für Sie wichtigen Gleichungen.

Berechnung der Übertragungsfunktion mittels ABCD-Parametern

Die Standarddefinition der ABCD-Parameter ist unten dargestellt. Diese Gleichungen können für jede Übertragungsleitung angewendet werden, solange Sie ihre Impedanz und Ausbreitungskonstante kennen:

Der Z0-Wert in der ABCD-Parametergleichung stellt die charakteristische Impedanz der Übertragungsleitung dar.

Hier ist wichtig zu beachten, dass die ABCD-Matrix invertierbar ist und entsprechend „rückwärts” definiert wird. Sie setzt also die Eingangsspannung/den Eingangsstrom (d. h. in Richtung der Last) in Beziehung mit der Ausgangsspannung/dem Ausgangsstrom. Das ist auch vollkommen gut so. Wenn Sie eine Beziehung erstellen möchten, welche die Ausgangsspannung/den Ausgangsstrom als Funktion der Eingangsspannung/des Eingangsstroms anzeigt, berechnen Sie einfach die inverse Matrix. Die inverse Matrix brauchen Sie allerdings nicht, um die Übertragungsfunktion für eine Übertragungsleitung zu finden. Für die Berechnung der Übertragungsfunktion können Sie einfach die oben definierten ABCD-Parameter und folgende Formel verwenden:

Ein weiterer wichtiger Aspekt hier ist, dass die Übertragungsfunktion und die obigen Gleichungen für die ABCD-Parameter nicht auf einer Referenzimpedanz beruhen. Stattdessen finden wir in der obigen Gleichung einen ZS- und ZL-Wert vor. Denn wir müssen berücksichtigen, dass diese Schaltung tatsächlich mit einer bestimmten Quellenimpedanz (ZS) und einer bestimmten Lastimpedanz (ZL) verbunden ist. Die Referenzimpedanz wird vor allem beim Betrachten von S-Parameter-Messungen wichtig. Denn hier sind die VNAs bei der Interpretation von Messungen angewiesen auf eine Referenzimpedanz.

Berechnung der Übertragungsfunktion mittels S-Parametern

Der andere Ansatz für dieses Problem ist die Verwendung von S-Parametern. Wie oben schon erwähnt, ist dies vor allem dann großartig, wenn Sie schon einige Messungen der S-Parameter Ihres Kanals vorliegen haben und nun die Übertragungsfunktion berechnen möchten. Dieses ist möglich, indem Sie annehmen, dass ZS = ZL = Referenzimpedanz entspricht. In diesem Fall beziehen sich Ihre S-Parameter auf eine bestimmte Impedanz Z an beiden Ports. Hier können Sie eine einfache Konvertierung von S- in ABCD-Parameter vornehmen:

Nach der Konvertierung setzen Sie diese einfach in die oben gezeigte Gleichung für die Übertragungsfunktion ein, und schon sind Sie fertig. Denken Sie daran, dass Z in dieser Gleichung die Referenzimpedanz ist, die normalerweise als Last oder charakteristische Impedanz der Leitung verwendet wird.

Falls Sie keine S-Parameter-Messungen vorliegen haben sollten, können Sie alternativ auch die S-Parameter direkt aus ABCD-Parametern berechnen. Die folgende Formel zeigt S-Parameter, die aus ABCD-Parametern definiert wurden (unter der Annahme, dass beide Ports dieselbe Referenzimpedanz vorweisen). Sie können die so gewonnenen Werte dann weiter verwenden, um eine Übertragungsfunktion der Übertragungsleitung zu berechnen. Achten Sie auch hier auf die Referenzimpedanz in der folgenden Formel:

Mit der obigen Gleichung lässt sich vorhersagen, was bei einer Messung mit einer bestimmten Referenzimpedanz (Z) zu beobachten wäre – beispielsweise bei einer Gleichung mit VNA.

Wenn uns unterschiedliche Port-Impedanzen vorliegen, wie z. B. eine bestimmte Quellenimpedanz Z01 = ZS und eine Lastimpedanz Z02 = ZL, werden die S-Parameter wie folgt definiert:

Schließlich können wir wahlweise eine der obigen Gleichungen nutzen, um die Übertragungsfunktion zu berechnen. Hierzu benötigen wir die Werte der S-Parameter und der Reflexionskoeffizienten an Quelle und Last (Port 1 bzw. 2):

Weitere Übertragungsfunktionen

Beachten Sie, dass ein S-Parameter selbst eine Übertragungsfunktion darstellt. Allerdings liefert er uns keine konzeptionell nützliche Impulsantwort. Das gleiche gilt für Y- und Z-Parameter; auch diese haben keine konzeptionell befriedigende Bedeutung. Aus diesem Grund wird normalerweise eine klassische Übertragungsfunktion, also im Sinne von Filtern und Verstärkern, für die Charakterisierung von Hochgeschwindigkeitskanälen verwendet. Denn ihre Impulsantwortfunktion hat tatsächlich eine konkrete Bedeutung in einem Kanal oder einer Schaltung.

Wenn Sie die Übertragungsfunktion berechnet haben, denken Sie daran, dass diese bandbegrenzt ist. Bevor Sie die Antwort des Kanals berechnen können, müssen Sie also zunächst eine Fensterfunktion anwenden. Numerisch ist es meiner Meinung nach am einfachsten, die Antwort des Kanals mit Hilfe der inversen Fourier-Transformation und der gefensterten Übertragungsfunktion H(f) zu ermitteln:

Alternativ können Sie die Antwort des Kanals auch mittels des Faltungstheorems berechnen, d. h. unter Betrachtung der Impulsantwortfunktion des Kanals. Diese Berechnung sagt Ihnen genau voraus, wie der Kanal reagiert, wenn er mit einem beliebigen Stimulus angeregt wird. Wenn Sie die Funktion der Übertragungsleitung schließlich ermittelt haben und bereit dazu sind Ihren Kanal zu designen, stehen Ihnen unsere umfangreichen Design- und Layout-Tools in Altium Designer® zur Verfügung. Damit haben Sie nun alle Routing- und Layout-Funktionen, um Übertragungsleitungen und Wellenleitergeometrien mühelos zu erstellen.

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