Funzione di trasferimento della linea di trasmissione dai parametri ABCD e S

Ai progettisti di circuiti e schede piace utilizzare i parametri S (S parameters) per descrivere il comportamento del segnale mentre passa attraverso un'interconnessione. Questi importanti parametri tendono a essere eccessivamente generalizzati (secondo me) e ci sono altre quantità altrettanto importanti che potrebbero essere più facili da calcolare se si utilizzano parametri diversi. In particolare, una funzione di trasferimento della linea di trasmissione è una quantità importante utilizzata per i calcoli e le simulazioni dell'integrità del segnale, in particolare quando si modella un'interconnessione nei media con perdita.

Una funzione di trasferimento sulla linea di trasmissione consente inoltre di simulare il comportamento del segnale per qualsiasi stimolo di ingresso utilizzando una funzione di risposta all'impulso, un aspetto fondamentale delle simulazioni e della modellazione dell'integrità del segnale ad alta velocità per i moderni standard di segnalazione. L'efficacia di questo metodo sembra essere un po' trascurata da molti ingegneri PCB, diventando di competenza degli ingegneri IC. I progettisti di PCB spesso utilizzano strumenti di simulazione per esaminare questo aspetto della progettazione delle interconnessioni, che inevitabilmente producono risultati sbagliati perché non tengono conto di tutti gli effetti ad alta velocità in un canale reale.

Nonostante questi inconvenienti, è possibile eseguire alcuni semplici calcoli per ottenere una visione accurata di come si comporterà un segnale su linee di trasmissione reali con componenti di carico e terminazione altrettanto reali. Vediamo un modo semplice ma efficace per calcolare la funzione di trasferimento delle linee di trasmissione e saperne di più sul sistema.

Equazioni della funzione di trasferimento della linea di trasmissione

Finora, il modo più semplice per calcolare una funzione di trasferimento della linea di trasmissione consisteva nell'utilizzare parametri ABCD o parametri S. Io preferisco utilizzare i parametri ABCD (ABCD parameters) perché lavoro sulla modellazione e sono più facilmente generalizzati su qualsiasi linea di trasmissione. Dopotutto, vengono definiti direttamente dalla soluzione generale per una linea di trasmissione. Personalmente, ritengo che i S parameterssiano eccessivamente generalizzati e vengano applicati in modo errato a situazioni in cui non sono concettualmente adatti. Inoltre, secondo me è importante notare che ci sono altre equazioni per la conversione tra diversi tipi di parametri (ad esempio, parametri Z, parametri Y, ecc.), quindi è sempre possibile trovare un modo per arrivare alla funzione di trasferimento.

Se non ti è chiaro il motivo per cui dobbiamo arrivare a una funzione di trasferimento per una linea di trasmissione, nessun problema: ne parlerò al termine dell'articolo. Per ora, sappi solo che, indipendentemente dall'approccio che vuoi adottare, i parametri ABCD e i parametri S offrono alcuni vantaggi specifici:

• Perché utilizzare i parametri ABCD: questi parametri sono definiti direttamente dalla soluzione generale per qualsiasi linea di trasmissione (purché si tratti di un sistema LTI). Sono molto più generalizzabili dei parametri S, anche nei casi di rugosità del rame, dispersione causale e perdite per effetto trama/pelle della fibra. Gli ABCD parameters sono ottimali per le reti in cascata (ad esempio, reti del tipo linea + stub + linea + ramo di carico), poiché è possibile combinare più matrici ABCD. 
• Perché usare i parametri S: sono quelli che normalmente misureresti in una configurazione standard per caratterizzare i canali ad alta velocità con larghezze di banda multi-GHz. Pertanto è naturale utilizzarli per calcolare una funzione di trasferimento, poiché non è necessario eseguire altre complicate inversioni dalle impedenze. Entrambi i set di parametri possono essere generalizzati alle reti con porta N, ma i parametri ABCD richiedono la creazione di una matrice di funzioni di trasferimento, mentre i parametri S sono facili da estendere alle porte N. 

Se puoi accettare gli argomenti di cui sopra per utilizzare i parametri ABCD sul lato teorico e attenerti ai parametri S sul lato sperimentale, allora siamo pronti per passare alle equazioni importanti di cui avrai bisogno.

Calcolo funzione di trasferimento della linea di trasmissione dai parametri ABCD

Di seguito è riportata la definizione standard dei parametri ABCD. Queste equazioni si applicano a qualsiasi linea di trasmissione purché si conosca la sua impedenza e la sua costante di propagazione:

Il termine Z0 nell'equazione dei parametri ABCD è l'impedenza caratteristica della linea di trasmissione.

Tieni presente che la matrice ABCD (invertibile) è definita “al contrario” in quanto mette in relazione la tensione/corrente di ingresso (rivolgendosi al carico) con la tensione/corrente di uscita. Nessun problema in questo caso: per creare una relazione che mostri la tensione/corrente di uscita in funzione della tensione/corrente di ingresso, è sufficiente calcolare la matrice inversa. Non è necessario fare ciò per trovare la funzione di trasferimento di una linea di trasmissione. Per ottenere la funzione di trasferimento della linea di trasmissione puoi utilizzare i parametri ABCD definiti in precedenza con la seguente formula:

Un punto da sottolineare in questa discussione è che la funzione di trasferimento e le equazioni di cui sopra per i parametri ABCD non si basano su un'impedenza di riferimento. I termini ZS e ZL nell'equazione della funzione di trasferimento di cui sopra vengono fuori perché stiamo considerando che questo circuito è effettivamente collegato a una specifica impedenza della sorgente (ZS) e all'impedenza di carico specifica (ZL). L'impedenza di riferimento diventa importante quando si esaminano le misurazioni dei S parameters perché i VNA si basano su un'impedenza di riferimento per interpretare le misurazioni.

Calcolo funzione di trasferimento della linea di trasmissione dai parametri S

L'altro approccio a questo problema è quello di utilizzare i parametri S. Come accennato in precedenza, questa è un'ottima soluzione se hai alcune misurazioni dei parametri S del tuo canale e vuoi ottenere la funzione di trasferimento partendo dal presupposto che ZS = ZL = impedenza di riferimento. In questo caso, i parametri S fanno riferimento a un'impedenza Z specifica su entrambe le porte e puoi semplicemente usare una semplice conversione del parametro S in un parametro ABCD:

Dopo la conversione, è sufficiente inserire questi dati nell'equazione della funzione di trasferimento mostrata sopra e il gioco è fatto. Ricorda: in questa equazione Z è l'impedenza di riferimento, che di solito è considerata come il carico o l'impedenza caratteristica della linea.

Conversione dei parametri ABCD in parametri S

In alternativa, potresti voler calcolare i parametri S direttamente dai parametri ABCD nel caso in cui non siano presenti le misurazioni dei parametri S. La formula seguente mostra i parametri S definiti dai parametri ABCD supponendo che entrambe le porte abbiano la stessa impedenza di riferimento. È quindi possibile utilizzarli per calcolare una funzione di trasferimento della linea di trasmissione. Ancora una volta, fai attenzione all'impedenza di riferimento nella seguente formula:

L'equazione precedente verrebbe utilizzata per prevedere cosa si osserverebbe in una misurazione con un'impedenza di riferimento specifica (Z), ad esempio con un VNA.

Se abbiamo impedenze di porta diverse, come un'impedenza di sorgente specifica Z01 = ZS e un'impedenza di carico Z02 = ZL, abbiamo i parametri S definiti come illustrato di seguito:

Infine, con una delle equazioni precedenti, possiamo calcolare la funzione di trasferimento usando i parametri S e i coefficienti di riflessione alla sorgente e al carico (porte 1 e 2, rispettivamente):

Altre funzioni di trasferimento

Occorre notare che un parametro S stesso è una funzione di trasferimento, ma ciò non significa che fornisce una risposta di impulso concettualmente utile. Lo stesso si può dire per i parametri Z e i parametri Y, che non hanno significati concettualmente soddisfacenti. Questo è il motivo per cui una funzione di trasferimento (nel senso di filtri e amplificatori) viene normalmente utilizzata per la caratterizzazione dei canali ad alta velocità: la sua funzione di risposta all'impulso ha un significato concreto in un canale o in un circuito.

Una volta calcolata la funzione di trasferimento, ricorda che è a banda limitata, quindi dovrai applicare una funzionalità di riduzione prima di poter calcolare la risposta del canale. Numericamente, penso che sia più semplice ottenere la risposta del canale usando la trasformata di Fourier inversa e la funzione di trasferimento a finestra H(f):

In alternativa, è possibile calcolare la risposta del canale utilizzando il teorema di convoluzione, vale a dire con la funzione di risposta all'impulso del canale. Il teorema ti dice esattamente come risponderà il canale quando viene eccitato da uno stimolo arbitrario. Una volta che hai trovato la funzione di trasferimento della linea di trasmissione e sei pronto a progettare il tuo canale, utilizza gli strumenti di progettazione e layout in Altium Designer®. Hai a disposizione le funzioni di routing e di layout necessarie per instradare con facilità linee di trasmissione e geometrie delle guide d'onda.

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