ABCD 및 S-매개변수로 산출하는 전송 회선 전달 함수

회로 설계자와 기판 설계자는 상호 연결을 통과할 때의 신호 동작을 설명하기 위해 S-매개변수를 사용하는 것을 좋아합니다. 저는 이 중요한 매개변수가 지나치게 일반화되는 경향이 있다고 생각합니다. 다른 매개변수를 사용할 경우 더 쉽게 계산할 수 있는 다른 중요한 수치가 있기 때문입니다. 전송 회선 전달 함수는 특히 손실이 많은 매체에서 상호 연결을 모델링할 때 신호 무결성 계산 및 시뮬레이션에 사용되는 한 가지 중요한 수치입니다.

전송 회선 전달 함수를 사용하면 임펄스 응답 함수로 입력 자극에 대한 신호 동작을 시뮬레이션할 수도 있습니다. 이는 최신 신호 표준을 위한 고속 신호 무결성 시뮬레이션 및 모델링의 중요한 측면입니다. 이 방법은 많은 PCB 엔지니어에게 주목받지 못하고 IC 엔지니어의 영역이 되었습니다. PCB 설계자는 상호 연결 설계의 이러한 측면을 검사하기 위해 기본적으로 시뮬레이션 도구를 사용하는 경우가 많은데, 시뮬레이션 도구는 실제 채널에서 발생하는 모든 고속 효과를 고려하지 않기 때문에 잘못된 결과를 생성할 수 밖에 없습니다.

이러한 단점에도 불구하고 실제 부하 부품 및 종단이 있는 실제 전송 회선에서 신호가 어떻게 작동하는지 정확하게 파악하기 위해 수행할 수 있는 몇 가지 간단한 계산이 있습니다. 전송 회선의 전달 함수를 계산하고 시스템에 대해 자세히 알아볼 수 있는 간단하면서도 강력한 방법을 살펴보겠습니다.

전송 회선 전달 함수 방정식

단연코 전송 회선 전달 함수를 계산하는 가장 쉬운 방법은 ABCD 매개변수 또는 S-매개변수를 사용하는 것입니다. 저는 ABCD 매개변수를 사용하는 것을 선호합니다. 이는 제가 모델링 작업을 하는 데다 해당 매개변수가 어떠한 전송 회선에 대해서든 더 쉽게 일반화되기 때문입니다. 어쨌든 ABCD 매개변수는 전송 회선에 대한 일반 솔루션을 통해 바로 정의됩니다. 저는 개인적으로 S-매개변수가 지나치게 일반화되어 개념적으로 잘 맞지 않는 상황에 오용되고 있다고 생각합니다. 또한 여러 유형의 매개변수(Z-매개변수, Y-매개변수 등) 간 변환을 위한 다른 방정식도 있어 항상 전달 함수를 구하는 방법을 찾을 수 있다는 점도 중요하다고 생각합니다.

전송 회선에 대한 전달 함수를 구해야 하는 이유를 잘 모르겠다면 문서의 끝 부분을 참고하세요. 지금은 어떠한 접근 방식을 사용하든지 ABCD 매개변수와 S-매개변수가 다음과 같은 몇 가지 특정 이점을 제공한다는 것만 알아두면 됩니다.

• ABCD 매개변수를 사용하는 이유: ABCF 매개변수는 전송 회선에 대한 일반 솔루션을 통해 바로 정의됩니다(LTI 시스템인 경우에 한함). 또한 구리 거칠기, 인과적 분산 및 섬유 직조/표피 효과 손실이 있는 경우를 포함하여 S-매개변수보다 훨씬 더 일반화될 수 있습니다. ABCD 매개변수는 여러 ABCD 행렬을 곱할 수 있는 캐스케이드 네트워크(예: 회선 + 스터브 + 회선 + 부하 분기 유형 네트워크)에 가장 적합합니다. 
• S-매개변수를 사용하는 이유: S-매개변수는 보통 다중 GHz 대역폭의 고속 채널을 특성화하기 위한 표준 설정에서 측정됩니다. 따라서 임피던스에서 다른 복잡한 반전을 수행할 필요가 없으므로 전달 함수를 계산하는 데 이러한 매개변수를 사용하는 것은 당연합니다. 두 매개변수 세트는 모두 N-포트 네트워크에 대해 일반화될 수 있지만, ABCD 매개변수를 사용하는 경우에는 전달 함수 행렬을 만들어야 하는 반면 S-매개변수는 N-포트로 쉽게 확장할 수 있습니다. 

이론적 측면에서는 ABCD 매개변수를 사용하고 실험적 측면에서는 S-매개변수를 고수해야 한다는 위의 주장이 납득되시나요? 그렇다면 이제 앞으로 필요할 중요한 방정식을 살펴보겠습니다.

ABCD 매개변수로 산출하는 경우

ABCD 매개변수의 표준 정의는 아래와 같습니다. 이러한 방정식은 임피던스와 전파 상수를 알고 있는 한 어떠한 전송 회선에든 적용됩니다.

ABCD 매개변수 방정식의 Z0 항은 전송 회선의 특성 임피던스입니다.

ABCD 행렬(반전 가능)은 입력 전압/전류(즉, 부하 방향)를 출력 전압/전류와 관련시킨다는 점에서 '거꾸로' 정의된다는 것에 유의하세요. 출력 전압/전류를 입력 전압/전류의 함수로 표시하는 관계를 만들려면 역행렬을 계산하기만 하면 되므로 이는 문제가 되지 않습니다. 전송 회선에 대한 전달 함수를 구하기 위해 이를 수행할 필요는 없습니다. 전송 회선 전달 함수를 구하려면 위에 정의된 ABCD 매개변수를 다음 공식과 함께 사용하면 됩니다.

여기서 한 가지 강조해야 할 점은 전달 함수와 ABCD 매개변수에 대한 위의 방정식은 기준 임피던스에 의존하지 않는다는 것입니다. 위 전달 함수 방정식의 ZS 및 ZL 항은 이 회로가 실제로 특정 소스 임피던스(ZS) 및 특정 부하 임피던스(ZL)에 연결되어 있다고 간주했기 때문에 생긴 것입니다. VNA는 측정값을 해석하는 데 기준 임피던스에 의존하기 때문에 S-매개변수 측정값을 볼 때는 기준 임피던스가 중요해집니다.

S-매개변수로 산출하는 경우

이 문제에 대한 다른 접근 방식은 S-매개변수를 사용하는 것입니다. 위에서 언급했듯이 이 방식은 채널의 S-매개변수 측정값이 있으며 ZS = ZL = 기준 임피던스라는 가정하에 전달 함수를 구하려는 경우에 유용합니다. 이 경우 두 포트의 특정 임피던스 Z에 대해 S-매개변수가 사용됩니다. S-매개변수는 다음과 같이 ABCD 매개변수로 간단히 변환할 수 있습니다.

변환 후에는 해당 매개변수를 위에 나와 있는 전달 함수 방정식에 집어넣기만 하면 됩니다. 이 방정식의 Z는 보통 회선의 부하 또는 특성 임피던스로 간주되는 기준 임피던스라는 점을 기억하세요.

S-매개변수 측정값이 없는 경우에는 ABCD 매개변수를 통해 바로 S-매개변수를 계산할 수 있습니다. 아래 공식은 두 포트의 기준 임피던스가 동일하다는 가정하에 ABCD 매개변수를 통해 정의되는 S-매개변수를 보여 줍니다. 이후 해당 매개변수를 사용하면 전송 회선 전달 함수를 계산할 수 있습니다. 다시 말하지만, 다음 공식에서는 기준 임피던스에 주의하세요.

위의 방정식은 VNA와 같은 특정 기준 임피던스(Z)를 사용한 측정에서 관찰될 결과를 예측하는 데 사용됩니다.

포트 임피던스가 서로 다른 경우(예: 특정 소스 임피던스 Z01 = ZS 및 부하 임피던스 Z02 = ZL) S-매개변수는 다음과 같이 정의됩니다.

마지막으로, 위 방정식 중 하나를 사용하는 경우 소스 및 부하(각각 포트 1 및 2)의 반사 계수 및 S-매개변수로 다음과 같이 전달 함수를 계산할 수 있습니다.

기타 전달 함수

S-매개변수 자체는 전달 함수지만, 개념적으로 유용한 임펄스 응답을 제공하지는 않습니다. 개념적으로 만족스러운 의미가 없는 Z-매개변수와 Y-매개변수도 마찬가지라고 할 수 있습니다. 이것이 바로 필터 및 증폭기에서 말하는 전달 함수가 고속 채널 특성화에 일반적으로 사용되는 이유입니다. 해당 임펄스 응답 함수는 채널 또는 회로에서 구체적인 의미를 갖습니다.

전달 함수를 계산한 후에는 대역 제한이 있으므로 윈도우 함수를 적용해야 채널의 응답을 계산할 수 있다는 점을 기억하세요. 수치상 저는 역 푸리에 변환 및 윈도우 전달 함수 H(f)를 사용하여 채널의 응답을 얻는 것이 가장 쉽다고 생각합니다.

또는 콘볼루션 정리, 즉 채널의 임펄스 응답 함수를 사용하여 채널의 응답을 계산할 수도 있습니다. 이를 통해 이제 임의의 자극이 있을 때 채널이 어떻게 응답하는지 정확하게 알 수 있죠. 전송 회선 전달 함수를 구한 후 채널을 배치할 준비가 되면 Altium Designer®의 설계 및 레이아웃 도구를 사용하세요. 그러면 전송 회선과 도파관 지오메트리를 쉽게 라우팅하는 데 필요한 라우팅 및 레이아웃 기능을 사용할 수 있습니다.

Altium 365®의 Altium Designer는 지금까지 소프트웨어 개발 분야로 밀려났던 전자 산업에 이례적인 규모의 통합을 제공하여 설계자가 집에서 일하며 이례적인 수준의 효율성을 달성할 수 있게 합니다.

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