Fenomeno di Gibbs e Produzione di Artefatti di Misurazione

Zachariah Peterson
|  Creato: December 4, 2021
Fenomeno di Gibbs

Le simulazioni dei circuiti, dei segnali e dei calcoli di risposta all'impulso operano spesso in un mondo ideale, dove le larghezze di banda non sono limitate, o dove gli artefatti di segnale non sono osservabili nelle misurazioni reali. Sfortunatamente, le interconnessioni e le misurazioni reali sono limitate dalla larghezza di banda e questo può creare artefatti di misurazione capaci di mimare un problema d’integrità del segnale come rimbalzi di massa, onde di riflessione circolanti o un certo livello di risonanza nelle interconnessioni brevi.

Un artefatto importante è il ringing, o artefatto di Gibbs, già predetto nel 1840. Questo artefatto appare come oscillazioni spurie nelle misurazioni di un segnale elettrico, o nelle risposte nel dominio del tempo calcolate a partire da misurazioni a banda limitata nel dominio della frequenza. L'artefatto di Gibbs appare anche in settori al di fuori della progettazione elettronica e delle interconnessioni, ed è un problema ben noto ad esempio nell'imaging (MRI, tomografia e ottica di Fourier). Se hai mai osservato un'immagine JPEG di bassa qualità che ha subìto diversi cicli di compressione, i pixel non ben definiti attorno ai bordi dell'immagine sono una manifestazione del ringing.

Sono state sviluppate alcune sofisticate tecniche di elaborazione del segnale, basate sull'intelligenza artificiale, specificamente per rimuovere il suono di Gibbs dalle misurazioni e dalle trasformazioni del segnale, ma per i progettisti non è necessario ricorrere a misure così estreme. Il fenomeno di Gibbs si riscontra più comunemente in due situazioni:

  • Nella raccolta di misurazioni a banda limitata da una linea di trasmissione o da un'interconnessione RF
  • Nel calcolo della risposta nel dominio del tempo da parametri di rete a banda limitata

In questo articolo, esamineremo il primo punto per vedere com'è possibile ottenere misurazioni più precise esplorando il fenomeno di Gibbs.

Fenomeno di Gibbs e Ringing nelle Misurazioni dell'Oscilloscopio

Quando si osserva una sonda dell'oscilloscopio, è possibile osservare il ringing sul fronte di salita, ed eventualmente prima del fronte di discesa, del segnale visualizzato sullo schermo. Parlerò a breve dei motivi per cui questo potrebbe verificarsi. Durante il test di una scheda, l'obiettivo del progettista è di distinguere un artefatto di misurazione da un problema d’integrità del segnale reale in un'interconnessione o in una sonda mal compensata utilizzata durante la misurazione.

Ecco un esempio di cosa è possibile misurare con un oscilloscopio. Il fronte di salita del segnale mostra alcuni artefatti:

Esempio di ringing sui fronti di salita e di discesa di un treno d’impulsi ad onda quadra
Esempio di ringing sui fronti di salita e di discesa di un treno di impulsi ad onda quadra calcolato fino al 7° ordine con una serie di Fourier.

Il grafico precedente mostra un esempio esagerato di ciò che potrebbe essere rilevato durante una misurazione nel dominio del tempo. Questo ringing sui fronti di salita e di discesa è il fenomeno di Gibbs (o semplicemente il ringing di Gibbs) e si verifica dal momento che si è calcolato solo fino alla settima armonica della frequenza fondamentale. Nell'esempio precedente non sono presenti altri problemi d’integrità del segnale. Se dovessimo sommare fino al limite teorico della frequenza infinita per l'onda quadra precedente, il ringing non sarebbe presente. È quindi possibile intuire quale sia la ragione dell’artefatto: lo strumento di misurazione taglia alcune armoniche nella serie di Fourier dell'onda quadra. Potrebbe però essere qualche altro problema d’integrità del segnale a causare il ringing in una misurazione reale, mascherandosi come ringing di Gibbs.

Il dato più importante nell'immagine precedente è l'oscillazione crescente sottosmorzata che si nota prima di una transizione di segnale! Vorrebbe dire che il segnale anticipa la transizione, ma questo non è fisicamente possibile. Pertanto, il fenomeno di Gibbs non è qualcosa che accade realmente in un canale a banda limitata, ma un problema matematico che potrebbe essere confuso per, o mascherare, un effetto reale.

Misurazione e Realtà a Confronto

Il diagramma seguente mostra un esempio in cui si confronta un segnale iniettato su una linea di trasmissione con la sua risposta ideale. La linea di trasmissione modifica leggermente il segnale iniettato e appiana il segnale a causa della linea e delle capacità di carico. Tuttavia, il segnale misurato potrebbe presentare ringing che non si verifica realmente sulla linea di trasmissione. Non si parla molto di questo fenomeno nella progettazione PCB, dal momento che esso avviene negli strumenti di campionamento e non a causa di un elemento specifico sulla scheda. Tuttavia, è importante per un collaudatore o un ingegnere SI capire cosa potrebbe causare questo fenomeno e saper determinare se si tratti o meno di un problema reale.

Risposta della linea di trasmissione
Segnale d’ingresso su una linea di trasmissione confrontato con la risposta ideale e la risposta potenziale misurata su un oscilloscopio.

Ovviamente, se si vuole misurare un segnale con precisione, è bene evitare il ringing. Come si può fare? Chiaramente, il ringing non può essere risolto con un filtro: anzi, è proprio il filtraggio a creare questo problema. Generalmente, si considera una linea di trasmissione, una breve interconnessione o un testpoint collegato a una di queste. Indipendentemente dal modo in cui un segnale viene trasferito da un componente del driver a un carico, è possibile che il ringing si verifichi durante la misurazione di quel segnale. Alcuni dei motivi per cui il ringing di Gibbs potrebbe verificarsi durante una misurazione includono:

Proprio come la misurazione può modificare un segnale e produrre ringing, anche il tentativo di simulare la risposta di un circuito a determinati input, utilizzando i parametri del modello, potrebbe produrre un ringing apparente. Per questo è importante equalizzare la larghezza di banda del segnale con i limiti di larghezza di banda di un circuito e i parametri del modello. Per capire come questo funzioni, esaminiamo prima le misurazioni nel dominio del tempo.

La Larghezza di Banda è Importante per le Misurazioni nel Dominio del Tempo

Chiaramente, questo è un problema di larghezza di banda, quindi è necessario considerare la larghezza di banda nel dominio della frequenza del proprio strumento quando si misura un segnale nel dominio del tempo con un oscilloscopio. È anche importante capire come funziona un oscilloscopio o un altro strumento di campionamento. Gli oscilloscopi analogici sommano le componenti di frequenza dall'ingresso e non funzionano come un convertitore analogico-digitale. Al contrario, gli oscilloscopi digitali utilizzano un convertitore analogico-digitale ad alta frequenza di campionamento, a volte addirittura superiore ai 100 gigacampioni/sec. In entrambi i casi, la funzionalità front-end dell'input determinerà quali artefatti si verificheranno durante la misurazione:

  • Oscilloscopio analogico: il filtraggio in ingresso e gli stadi DSP (digital signal processing) nel progetto produrranno ringing interrompendo il contenuto di frequenza nel segnale d’ingresso.
  • Oscilloscopio digitale: questi oscilloscopi utilizzano l'interpolazione per ricostruire un segnale. L'interpolazione nello stadio DSP produrrà un artefatto di Gibbs.

IIn entrambi i casi, il circuito di campionamento front-end in un oscilloscopio è tipicamente modellato come un circuito di filtro di ordine superiore. Questo non è il funzionamento di un vero ricevitore digitale o analogico, ma è un modello concettuale utile in quanto aiuta a spiegare la limitazione della larghezza di banda in una misurazione reale. L'immagine seguente mostra un confronto delle risposte Butterworth nei circuiti di filtro del primo ordine e superiori, che possono produrre ringing in una tipica misurazione del canale.

Funzioni di trasferimento per filtri Butterworth
Funzioni di trasferimento per filtri Butterworth (filtri RC passa-basso).

Solo il filtro di primo ordine non produrrà ringing. Tutti i filtri di ordine superiore produrranno artefatti di Gibbs durante la misurazione se la loro larghezza di banda è troppo vicina al prodotto della larghezza di banda per tempo di salita di un segnale digitale. In linea generale, bisognerebbe scegliere una larghezza di banda del sistema, ampia almeno quanto la larghezza di banda del segnale, utilizzando un'approssimazione gaussiana per la fase di filtraggio in ingresso dell'oscilloscopio:

Equazione della larghezza di banda del sistema
Requisiti di larghezza di banda del sistema e larghezza di banda minima richiesta per misurare il tempo di salita di un segnale digitale prima che si propaghi su un'interconnessione.

Qui abbiamo impostato la larghezza di banda passa-basso sull'inverso del tempo di salita per il segnale digitale che si desidera misurare, il che fornisce un ampio margine per la misurazione. Si noti che, per un filtro di primo ordine, la larghezza di banda del segnale è 0,35 diviso per il tempo di salita (la cosiddetta frequenza di ginocchio, knee frequency), mentre i filtri di ordine superiore hanno valori diversi nel numeratore. Una regola empirica ci dice che la larghezza di banda dell'oscilloscopio dovrebbe essere il doppio della larghezza di banda del segnale per l'ordine di filtro dato sul front-end dell'oscilloscopio, mentre l'impostazione del numeratore su 1 fornisce circa 3 volte la larghezza di banda.

Cause Fisiche del Ringing

Se si dispone di una larghezza di banda sufficiente nella sonda e nello strumento di misurazione, il ringing potrebbe essere dovuto alle seguenti cause:

  • Induttanza parassita nella sonda, nel dispositivo di test o nella connessione della sonda alla scheda, che avrà un periodo di oscillazione specifico. Spostare la sonda potrebbe modificare questa frequenza di oscillazione.
  • Rimbalzo di massa (ground-bounce) dovuto a induttanza sul piano di massa. È determinato interamente dalla costruzione del canale e produce un ringing con una specifica frequenza di oscillazione.
  • Riflessi, anche in linee perfettamente equalizzate. A larghezza di banda del canale elevate, questo si verifica a causa della capacità di carico, che determina anche un limite di larghezza di banda nel canale.
  • Effetti parassiti estremi o feedback positivo non intenzionale lungo la lunghezza della linea di trasmissione, come nei sistemi di alimentazione RF che comportano un'amplificazione passiva o attiva.

Cosa Succede sulle Interconnessioni Reali?

Ora che abbiamo esaminato alcuni importanti aspetti del ringing di Gibbs nelle misurazioni nel dominio del tempo, dobbiamo chiederci: cosa accade realmente nelle interconnessioni? Questo ringing si verifica realmente quando un segnale viaggia su un'interconnessione e raggiunge un componente di carico?

Il trasferimento di energia lungo un'interconnessione non genera un vero ringing dal momento che il ringing di Gibbs è non-causale. Basta guardare il primo grafico qui sopra per notare come il ringing transitorio prodotto su una transizione di segnale si verifichi prima di un fronte di discesa o di salita. Possiamo anche notare cosa succede guardando un circuito equivalente per un'interconnessione. Le interconnessioni reali sono a banda limitata e possono essere esaminate con il seguente diagramma elettrico:

Capacità d’ingresso di una linea di trasmissione
Diagramma elettrico d’interconnessione equivalente che include una capacità di carico e resistenza di terminazione.

Considerando solo la capacità di carico, possiamo notare come tutte le linee di trasmissione si colleghino a un filtro di primo ordine (l'ingresso sul ricevitore), che non produce alcun ringing. Sfortunatamente, questo è un presupposto errato, non potendo dare per scontato che tutte le linee di trasmissione abbiano l'impedenza caratteristica tipica di 50 Ohm. I fattori che determineranno o meno il verificarsi del ringing di Gibbs sono:

Di conseguenza, una reale funzione di trasferimento della linea di trasmissione è approssimativamente di ordine frazionario, non di primo ordine, a seconda soprattutto della dispersione e della rugosità dell'interconnessione. Questo è un ambito di ricerca e modellazione in cui sono attivamente coinvolto, così come nell'estrazione di parametri dalle misurazioni. Questo significa che una misura a banda limitata, anche con una linea di trasmissione di ordine frazionario, richiede comunque un certo margine di tolleranza nella larghezza di banda dell'oscilloscopio.

Conclusioni

Per riassumere, il ringing di Gibbs è un artefatto dello strumento di misurazione e delle operazioni di trasformata di Fourier/Laplace sui parametri di rete a banda limitata. Mi auguro che le spiegazioni date sul comportamento del segnale, sulle funzioni di trasferimento e sulla funzionalità dell'oscilloscopio possano fornire gli strumenti necessari per selezionare la larghezza di banda dell'oscilloscopio ottimale (frequenza di taglio a 3 dB o frequenza di Nyquist). In sintesi, possiamo trarre le seguenti conclusioni:

  • Il fenomeno di Gibbs è osservabile nel dominio del tempo a causa della limitazione della banda nei filtri di ordine superiore
  • Quando sono presenti più armoniche ad alta frequenza sul segnale nel dominio del tempo ricostruito, il ringing di Gibbs ha un'ampiezza ridotta e un decadimento più rapido
  • Il ringing può essere ridotto se la larghezza di banda del filtro d’ingresso/fase DSP dell'oscilloscopio è sufficientemente ampia poiché
  • Un segnale più rapido (tempo di salita più breve) ha maggiore potenza concentrata a frequenze più alte. Una sua misurazione richiede quindi una maggiore larghezza di banda per includere più armoniche di ordine superiore e risolvere il segnale sopprimendo il ringing.

In un prossimo articolo, esaminerò questo argomento per quanto riguarda il dominio di frequenza corrispondente. Proverò a prevedere la risposta di un canale a un dato input e a determinare se il ringing osservato in una simulazione sia reale o un artefatto.

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Sull'Autore

Sull'Autore

Zachariah Peterson ha una vasta esperienza tecnica nel mondo accademico e industriale. Prima di lavorare nel settore dei PCB, ha insegnato alla Portland State University. Ha condotto la sua Fisica M.S. ricerche sui sensori di gas chemisorptivi e il suo dottorato di ricerca in fisica applicata, ricerca sulla teoria e stabilità del laser casuale. Il suo background nella ricerca scientifica abbraccia temi quali laser a nanoparticelle, dispositivi semiconduttori elettronici e optoelettronici, sistemi ambientali e analisi finanziaria. Il suo lavoro è stato pubblicato in diverse riviste specializzate e atti di conferenze e ha scritto centinaia di blog tecnici sulla progettazione di PCB per numerose aziende. Zachariah lavora con altre società del settore PCB fornendo servizi di progettazione e ricerca. È membro della IEEE Photonics Society e dell'American Physical Society.

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