Comment le phénomène de Gibbs produit des artéfacts de mesure ?

Les simulations de circuits et de signaux ainsi que les calculs de réponses impulsionnelles fonctionnent souvent dans un monde idéal, où les bandes passantes ne sont pas limitées ou encore où les artéfacts de signaux ne sont pas observables dans les mesures réelles. Malheureusement, les interconnexions et les mesures réelles sont limitées en bande, et cela peut créer des artéfacts de mesure qui peuvent donner l'apparence d'un problème d'intégrité du signal, comme un rebond à la masse, des ondes de réflexion circulantes ou un certain niveau de résonance dans les interconnexions courtes.

La suroscillation est un artéfact, qui a été prédit dans les années 1840. Cet artéfact se présente sous la forme d'oscillations parasites dans les mesures d'un signal électrique ou dans les réponses du domaine temporel calculées à partir de mesures à bande limitée dans le domaine fréquentiel. La suroscillation apparaît dans des domaines autres que la conception électronique et les interconnexions. C'est un problème bien connu en imagerie (IRM, tomographie et optique de Fourier). Si vous avez déjà vu une image JPEG de faible qualité qui a subi plusieurs cycles de compression, les pixels tachetés autour des bords nets de l'image sont une manifestation de la suroscillation.

Certaines techniques sophistiquées de traitement du signal basées sur l'IA ont été développées spécifiquement pour supprimer la suroscillation des mesures et des transformations de signaux, mais vous n'aurez pas à recourir à des mesures aussi extrêmes en tant que concepteur de circuits imprimés. Le phénomène de suroscillation est le plus souvent rencontré dans deux situations :

• La collecte de mesures à bande limitée d'une ligne de transmission ou d'une interconnexion RF,
• La calculation d’une réponse dans le domaine temporel à partir des paramètres du réseau à bande limitée.

Dans cet article, nous allons nous pencher sur le premier point afin de voir où nous pouvons obtenir des mesures plus précises en explorant le phénomène de Gibbs.

Phénomène de Gibbs et suroscillation dans les mesures d'oscilloscope

Lorsque vous regardez une sonde d'oscilloscope, vous pouvez voir une suroscillation sur le front montant, et éventuellement avant le front descendant, du signal affiché à l'écran. Il y a plusieurs raisons pour lesquelles cela peut se produire. J’aborderai ces raisons dans un instant. Lors du test d'une carte, l'objectif du concepteur est de distinguer un artéfact de mesure d'un réel problème d'intégrité du signal dans une interconnexion ou d'une sonde mal compensée utilisée pour la mesure.

Voici un exemple de ce que vous pouvez mesurer avec un oscilloscope. Le front avant du signal présente une certaine suroscillation :

Le graphique ci-dessus est un exemple de ce qui pourrait être mesuré dans une mesure dans le domaine temporel. Cette suroscillation sur les fronts montants et descendants est le phénomène de Gibbs (ou suroscillation). Celle-ci se produit parce que nous avons additionné jusqu'à l'harmonique 7 seulement de la fréquence fondamentale dans l'exemple ci-dessus. Aucun autre problème d'intégrité du signal n'est présent dans l'exemple ci-dessus. Si nous devions additionner jusqu'à la limite théorique de la fréquence infinie pour l'onde carrée ci-dessus, vous ne verriez pas cette suroscillation. Cela nous donne une idée de la raison pour laquelle nous voyons une suroscillation dans une mesure : l'instrument de mesure coupe certaines harmoniques dans la série de Fourier de l'onde carrée. En outre, il pourrait y avoir un autre problème d'intégrité du signal qui provoque une oscillation dans une mesure réelle, et cela pourrait être masqué par la suroscillation.

La caractéristique la plus importante de l'image ci-dessus est probablement l'oscillation ascendante sous-amortie visible avant la transition du signal. Cela signifie que le signal doit anticiper la transition, ce qui n'est pas physiquement réalisable. Par conséquent, le phénomène de Gibbs n'est pas quelque chose qui se produit réellement dans un canal à bande limitée, c'est un problème mathématique qui pourrait être facilement confondu avec un effet réel ou qui pourrait masquer un effet réel.

Mesure vs réalité

TheLe diagramme ci-dessous montre un exemple comparant un signal injecté sur une ligne de transmission avec la réponse idéale. La ligne de transmission va légèrement modifier le signal injecté et lisser le signal en raison des capacitances de la ligne et de la charge. Cependant, le signal mesuré peut encore présenter une oscillation qui ne se produit pas réellement sur la ligne de transmission. Nous ne discutons généralement pas de ce problème dans la conception des circuits imprimés car celui-ci se produit dans les instruments d'échantillonnage et n'est pas dû à un élément spécifique sur le circuit imprimé. Cependant, il est important qu'un ingénieur d'essai ou SI comprenne ce qui peut causer ce problème et détermine s'il s'agit d'un réel problème.

De toute évidence, si vous voulez mesurer un signal avec précision, vous devez éviter la suroscillation. Comment cela peut-il être fait ? Évidemment ce n'est pas quelque chose qui peut être éliminé par filtrage, cela est d’ailleurs causé par le filtrage. En général, nous considérons une ligne de transmission, une courte interconnexion ou un point de test connecté à l'une de ces lignes. Quelle que soit la façon dont un signal est transféré d'un composant du circuit d'attaque à une charge, il est possible que la suroscillation ci-dessus se produise dans une mesure de ce signal. Voici quelques-unes des raisons pour lesquelles la suroscillation peut se produire dans une mesure :

• Limitation de bande non linéaire dans le canal,
• Largeur de bande insuffisante dans la sonde,
• Largeur de bande insuffisante dans l’oscilloscope.

Tout comme la mesure peut modifier un signal et produire l'apparence d'une suroscillation, tenter de simuler la réponse d'un circuit à certaines entrées en utilisant les paramètres du modèle produira également une suroscillation apparente. Il est important de faire correspondre la bande passante de votre signal avec les limites de bande passante d'un circuit et les paramètres de votre modèle. Pour voir comment cela fonctionne, examinons d'abord les mesures dans le domaine temporel.

L'importance de la bande passante dans les mesures du domaine temporel

Il s'agit clairement d'un problème de largeur de bande. Vous devez donc tenir compte de la largeur de bande du domaine fréquentiel de votre instrument lorsque vous mesurez un signal dans le domaine temporel avec un oscilloscope. Il est important de comprendre comment fonctionne un oscilloscope ou un autre instrument d'échantillonnage. Les oscilloscopes analogiques additionnent les composantes de fréquence de l’entrée, ceux-ci ne fonctionnent pas comme un CAN. En revanche, les oscilloscopes numériques utilisent un CAN à taux d'échantillonnage élevé, les meilleurs taux d'échantillonnage dépassant 100 gigasamples/seconde. Dans les deux cas, la fonctionnalité frontale de l'entrée déterminera les artéfacts qui apparaîtront pendant la mesure :

• Oscilloscopes analogiques: le filtrage de l'entrée et les étapes DSP de la conception produiront des oscillations en coupant le contenu en fréquence du signal d'entrée,
• Oscilloscopes numériques: ceux-ci utilisent l'interpolation pour reconstruire un signal. L'interpolation dans l'étape de traitement numérique des signaux produira la suroscillation.

Dans les deux cas, le circuit d'échantillonnage frontal d'un oscilloscope est généralement modélisé comme un circuit de filtre d'ordre supérieur. Ce n'est pas la façon dont un véritable récepteur numérique ou analogique fonctionnerait, mais c'est un modèle conceptuel utile car celui-ci permet d'expliquer la limitation de la bande passante dans une mesure réelle. L'image ci-dessous montre une comparaison des réponses de Butterworth dans les circuits de filtrage du premier ordre et des ordres supérieurs, qui peuvent produire la suroscillation observée dans une mesure de canal typique.

Seul le filtre de premier ordre ne produit pas de suroscillation. Tous les filtres d'ordre supérieur produiront une suroscillation dans une mesure si leur largeur de bande passante est trop proche du produit temps de montée/largeur de bande passante pour un signal numérique. En général, vous devriez opter pour une largeur de bande passante du système au moins aussi grande que la largeur de bande passante du signal en utilisant une approximation de Gauss pour l'étage de filtration d'entrée de l'oscilloscope :

Ici, nous avons réglé la largeur de bande passante du passe-bas sur l'inverse du temps de montée du signal numérique que vous souhaitez mesurer, ce qui vous donnera une marge de manœuvre suffisante pour vos mesures. Notez que, pour un filtre de premier ordre, la largeur de bande passante du signal est égale à 0,35 divisé par le temps de montée (appelé fréquence de coude), mais les filtres d'ordre supérieur auront des valeurs différentes au numérateur. La règle générale est que la largeur de bande passante de votre oscilloscope doit être le double de la largeur de bande passante du signal pour l'ordre de filtre donné sur votre frontal d'oscilloscope, mais le fait de régler le numérateur sur 1 fournit environ 3x la largeur de bande passante.

Causes physiquement réalisables de la suroscillation

Si vous disposez d'une bande passante suffisante dans la sonde et l'unité de mesure, et que vous constatez quand même une oscillation, cela peut être dû aux facteurs suivants :

• Une inductance parasite dans la sonde, le montage de test ou la connexion de la sonde à la carte, qui aura une période d'oscillation spécifique. Le déplacement de la sonde peut modifier cette fréquence d’oscillation,
• Rebond à la masse dû à l'inductance de retour au plan de masse. Ceci est entièrement déterminé par la construction du canal et produit des oscillations avec une fréquence d'oscillation spécifique,
• Réflexions, même dans des lignes parfaitement adaptées. Dans les parties élevées de la bande passante du canal, cela se produit en raison de la capacitance de charge, qui fixe également une limite de bande passante dans le canal,
• Parasites extrêmes ou rétroaction positive involontaire sur la longueur de la ligne de transmission, comme dans les systèmes d'alimentation RF impliquant une amplification passive ou active.

Que se passe-t-il sur les interconnexions réelles ?

Maintenant que nous avons examiné ces aspects importants de la suroscillation dans les mesures du domaine temporel, nous devons nous demander : que se passe-t-il réellement sur l'interconnexion ? Cette suroscillation telle que définie par la limitation de bande se produit-elle réellement lorsqu'un signal se déplace sur une interconnexion et atteint un composant de charge ?

Le transfert d'énergie le long d'une interconnexion ne génère pas de véritable suroscillation car celle-ci n'est pas causale. Il suffit de regarder le premier graphique ci-dessus pour voir que la suroscillation transitoire produite lors d'une transition de signal se produit avant un front descendant ou montant. Nous pouvons également voir ce qui se passe en examinant le circuit équivalent d'une interconnexion. Les interconnexions réelles sont à bande limitée et peuvent être examinées à l'aide du schéma de circuit suivant :

Dans le circuit ci-dessus, en considérant simplement la capacitance de charge, nous voyons que toutes les lignes de transmission se connectent à un filtre du premier ordre (l'entrée du récepteur), qui ne produira pas de suroscillation. Malheureusement, cette hypothèse est incorrecte si l'on considère que toutes les lignes de transmission ont l'impédance caractéristique typique de 50 Ohms. Les facteurs qui détermineront si la suroscillation se produit à la charge sont les suivants :

• Les paramètres de la ligne de transmission (rugosité du cuivre et dispersion diélectrique),
• La linéarité des capacitances d'entrée de la charge,
• L'inductance des composants.

Par conséquent, la fonction de transfert d'une ligne de transmission réelle est approximativement d'ordre fractionnaire, et non du premier ordre. Celle-ci dépend principalement de la dispersion et de la rugosité de l'interconnexion. Je participe activement à la recherche et à la modélisation, ainsi qu'à l'extraction de paramètres à partir de mesures. Cela signifie qu'une mesure à bande limitée, même avec une ligne de transmission d'ordre fractionnaire, nécessite toujours une marge dans la bande passante de l'oscilloscope.

En résumé

La suroscillation est entièrement un artéfact de votre instrument de mesure et des opérations de transformation de Fourier/Laplace sur les paramètres du réseau à bande limitée. Nous espérons que l'explication ci-dessus du comportement du signal, des fonctions de transfert et de la fonctionnalité de l'oscilloscope vous donnera les outils nécessaires pour sélectionner la bande passante de l'oscilloscope dont vous avez besoin (soit la coupure à 3 dB, soit la fréquence de Nyquist). Nous tirons donc les conclusions importantes suivantes :

• Le phénomène de Gibbs est observé dans le domaine temporel en raison de la limitation de bande dans les filtres d'ordre supérieur,
• Lorsque davantage d'harmoniques de haute fréquence sont présentes dans le signal reconstruit dans le domaine temporel, le phénomène de Gibbs a une amplitude réduite et une décroissance plus rapide,
• La suroscillation peut être réduite si la bande passante du filtre d'entrée/niveau DSP de votre oscilloscope est suffisamment large car
• Un signal plus rapide (temps de montée plus court) aura plus de puissance concentrée à des fréquences plus élevées, donc sa mesure nécessite une plus grande largeur de bande afin d'inclure plus d'harmoniques d'ordre supérieur et de résoudre le signal avec une suroscillation supprimée.

Dans un prochain article, j'aborderai cette question du point de vue du domaine fréquentiel correspondant, où nous voulons prédire la réponse d'un canal à une entrée donnée et déterminer si une oscillation observée dans une simulation est bien une suroscillation.

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