S-파라미터 측정 및 전력 무결성에서의 오류

어디를 봐도 S-파라미터는 사라지지 않는 것 같습니다! 이들은 인터커넥트나 안테나와 같은 일부 시스템을 이해하는 데 필수적인 도구이며, 다른 네트워크 파라미터는 때때로 전기적 행동의 개념적 이해를 더 잘 제공할 수 있습니다. 이러한 파라미터는 일반적으로 전자 엔지니어 사이에서 신호 무결성을 위해 예약되어 있지만, 충분히 자세히 살펴보면 S-파라미터가 전력 무결성에도 사용된다는 것을 알 수 있습니다. 이는 전력 흐름 관점에서 직관적으로 이해할 수 있어야 합니다: 구로카와의 S-파라미터 원래 공식화는 신호에 의해 운반되는 전력 측면에서였으므로, 왜 이것을 전력 무결성에 사용하지 않겠습니까?

PDN 설계에서, 특히 고속 디지털 구성 요소의 경우, 낮은 PDN 임피던스 설계가 중요합니다. 낮은 PDN 임피던스는 주어진 순간 전류 소모에 대해 전원 레일 간의 낮은 전압 변동을 의미합니다. 네트워크 매개변수를 사용하여 PDN을 특성화하고 그 임피던스를 결정할 수 있지만, S-매개변수의 사용은 정확한 PDN 임피던스 계산을 위해 적절한 참조(포트) 임피던스 사용을 요구합니다. 간단한 사례에서 S-매개변수 측정의 오류가 Z-매개변수 측정으로 어떻게 전파되는지 정확히 살펴보고, 직관을 얻은 후에 일반적인 N-포트 PDN과 S-매개변수 행렬의 오류가 임피던스 행렬에 어떻게 오류를 생성하는지에 대해 논의하겠습니다.

S-매개변수와 전력 무결성

S-파라미터 측정 시, 모든 측정은 대역 제한되고 이산적으로 샘플링됩니다. 이는 피할 수 없는 측정 오류를 초래합니다. 다시 말해, 측정한 S-파라미터는 진정한 S-파라미터가 아니며, 이는 인과성 문제로 이어집니다. S-파라미터를 사용하여 다른 네트워크 파라미터(Z-파라미터 포함)를 계산할 수 있기 때문에, S-파라미터 오류가 Z-파라미터 오류에 어떤 영향을 미치는지 살펴보겠습니다. 2포트 PDN에 대해 살펴본 다음, N-포트 PDN에 대해 살펴보겠습니다.

큰 S11을 가진 2-포트 PDN의 오류

먼저, 2-포트 PDN에서의 오류를 살펴보겠습니다. 이는 우리가 통찰력을 얻기 위해 해결할 수 있는 간단한 문제입니다. 시작하기 위해, PDN의 S-파라미터를 Z-파라미터로 관련시키는 기본 변환을 사용할 수 있으며, 그런 다음 일부 오류가 있는 상태에서 Z-파라미터를 계산할 수 있습니다.

다음 방정식에서, PDN의 자기 임피던스를 2개의 오류가 있는 상태에서 PDN의 S-파라미터 행렬을 통해 정의했습니다. e 항은 제 S₁₁/S₂₂ 오류이고, f 항은 제 S₂₁/S₁₂ 오류입니다. 상호성이 유지된다고 가정할 때(S_ij = S_ji), 다음과 같습니다:

자기 임피던스의 중요한 측면에만 집중하기 위해, PDN이 상호적이고 손실이 없다고 가정해 봅시다. 이 경우, S-파라미터는 S₂₁ = S₁₂ = 0이고 S₁₁ = S₂₂이며, 위의 방정식은 S₁₁과 자기 임피던스 사이의 익숙한 변환으로 간소화됩니다. 위에서 정의한 고오차와 저오차 사이의 차이를 취하고, 제곱 오차 항을 0으로 설정함으로써(즉, e² << e), Z₁₁ 오차에 대한 좋은 근사값을 얻을 수 있습니다. 이는 S₁₁의 측정 오류로 인한 PDN 임피던스의 오류에 대한 다음과 같은 간단한 표현식을 제공합니다:

이 예에서, 가정된 손실이 없는 상호 연결된 PDN에서 S₁₁ = -0.9라고 가정해 봅시다. 이 경우, S-파라미터 측정에서의 1% 오류는 Z₁₁에서 10.5% 오류로 변환됩니다. 그것은 오류에서 10배의 증폭입니다!

이것은 큰 실수처럼 보일 수 있지만, 이 분야의 다른 전문가들의 발언과 일치합니다. 특히, Keysight의 이 연구에서 8페이지에 있는 발언을주목하세요, 여기서 S-파라미터 측정에서 1-2%의 오류가 PDN 임피던스 측정에서 300에서 400 mOhms로 이어집니다. 상식적인 검증을 위해, 이것을 우리의 예제로 다시 가져와 봅시다. 진정한 임피던스가 ~10 mOhms이고 표준 VNA 포트 임피던스가 50 Ohms일 때, 우리는 S₁₁ = -0.9996과 Z₁₁ 측정 오류가 250%임을 알 수 있습니다. 입력 포트에서 이렇게 큰 임피던스 불일치는 PDN 임피던스를 결정하기 위해 S-파라미터를 사용하려고 할 때 매우 바람직하지 않습니다.

작은 S11을 가진 2-포트 PDN에서의 오류

이제 내 기준 임피던스가 내 PDN 임피던스에 훨씬 가까워져서 S₁₁ = 0.1이고 최대 1% 오차로 나타난다고 가정해 봅시다. 이제 Z₁₁의 오차는 단지 2.02%입니다. PDN 임피던스에 매우 근접하게 매칭할 때, 계산된 Z₁₁ 값의 오차가 감소합니다. 결국, 이 예제에서 PDN 임피던스 오차가 S-파라미터 측정 오차와 완벽하게 일치하는 중요한 S11 값은 S₁₁ = 0.268입니다.

이는 큰 임피던스 불일치가 2포트 PDN의 임피던스 파라미터를 계산할 때 S-파라미터 오차 측정을 증폭시킨다는 것을 보여줍니다. 이는 주파수에 따라 다르지만, 이 과정은 각 주파수 측정에서 적용됩니다; 어떤 주파수에서는 매우 정확한 임피던스를 가질 수 있고, 다른 주파수에서는 결과가 매우 부정확할 수 있습니다. 이는 일반 S-에서 Z-파라미터 변환을 사용하여 N-포트 네트워크로 확장될 수 있습니다.

N-포트 PDN에서의 오류

N포트 문제는 분석적으로 다루기 훨씬 더 어렵습니다. 이는 N포트 네트워크에 대한 일반 Z-파라미터 행렬(자기 임피던스와 전달 임피던스 포함)을 사용해야 함을 의미합니다. 일반적으로, 위에서 자세히 설명한 같은 과정을 수행해야 하지만, N포트 네트워크에 대한 일반 S-Z 파라미터 변환 행렬을 사용해야 합니다:

S-파라미터 오류를 Z-파라미터 오류와 관련시키는 식을 도출하는 데만도 엄청난 대수학이 필요합니다. 따라서, S-파라미터 측정값과 포트 임피던스의 집합에 대해 이러한 행렬을 푸는 문제는 Matlab이나 Mathematica로 해결하는 것이 가장 좋습니다. 여기서 포인트는, 오류가 제곱된 (1 - S) 항의 곱에 반비례할 것이라는 점입니다. 따라서, N 출력 포트 PDN은 오류를 낮게 유지하기 위해 참조 임피던스를 대략 N의 요소로 줄여야 하는 상황에 처하게 될 것입니다.

어떤 참조 임피던스를 사용해야 하나요?

위의 논의에서, N포트 PDN의 S-파라미터를 측정하기 위해 VNA를 사용하고, 이러한 측정값을 사용하여 임피던스 행렬을 결정한다면, 가능한 한 작은 임피던스 불일치를 원할 것 같습니다. 이렇게 하면 주어진 S-파라미터 측정 오류에 대한 Z-파라미터의 오류 크기를 최소화할 수 있습니다. PDN 임피던스가 m옴 수준에 있기 때문에, 참조 임피던스도 m옴 수준이어야 하며, 상업용 VNA에서 일반적으로 설정되는 50 옴 수준이 아니어야 합니다.

마지막으로, S-파라미터 참조를 PDN 임피던스에 더 가깝게 하기 위해 재정규화를 적용하여 (아마도 50 m옴으로) 내린다면, 오류 항도 비선형적으로 전파됩니다. 왜냐하면 정규화는 S-파라미터 곱셈 연산을 포함하기 때문입니다. 즉, 일부 S-파라미터 값이 제곱될 수 있으며, 이는 계산하는 Z-파라미터 값의 오류를 증폭시킬 수 있습니다. 이 부분은 독자에게 맡기겠습니다, 단지 아래의 방정식을 적용하고 위에서 설명한 과정으로 Z-파라미터 값을 계산해 보세요.

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