Sパラメータ測定と電力整合性における誤差

どこを見ても、Sパラメータがなくなることはありません！それらは、相互接続やアンテナなどのシステムを理解するために必須のツールであり、他のネットワークパラメータが電気的な振る舞いを概念的に理解するのに時々より良いかもしれません。これらのパラメータは通常、電子エンジニアの間で信号の整合性のために予約されていますが、よく見ると、Sパラメータは電力の整合性にも使用されていることがわかります。これは、電力の流れの観点から直感的に理解できるはずです：黒川のSパラメータの元々の定式化は、信号によって運ばれる電力の観点からでしたので、なぜこれを電力の整合性に使用しないのでしょうか？

PDN設計では、特に高速デジタルコンポーネントにおいて、低PDNインピーダンスへの設計が重要です。低PDNインピーダンスは、与えられた瞬間電流引きに対する電源レール間の低電圧変動につながります。ネットワークパラメータはPDNを特徴づけ、そのインピーダンスを決定するために使用できますが、Sパラメータの使用には正確なPDNインピーダンス計算のために適切な参照（ポート）インピーダンスの使用が必要です。簡単なケースでSパラメータ測定の誤差がZパラメータ測定にどのように伝播するかを正確に見て、直感を得た後、一般的なNポートPDNとSパラメータ行列の誤差がインピーダンス行列にどのように誤差を生じさせるかについて議論します。

Sパラメータと電力整合性

Sパラメータを測定する際、すべての測定は帯域制限され、離散的にサンプリングされます。これにより、避けられない測定誤差が生じます。言い換えると、測定されたSパラメータは真のSパラメータではなく、因果関係に問題を引き起こします。Sパラメータは他のネットワークパラメータ（Zパラメータを含む）の計算に使用できるため、Sパラメータの誤差はZパラメータの誤差にどのように影響するのでしょうか？2ポートPDNの場合、そしてNポートPDNの場合について見てみましょう。

大きなS11を持つ2ポートPDNの誤差

まず、2ポートPDNの誤差について見てみましょう。これは、いくつかの洞察を得るために解決できる簡単な問題です。始めるために、基本的な変換を使用して、PDN内のSパラメータをZパラメータに関連付け、次にいくつかの誤差の存在下でZパラメータを計算します。

次の方程式では、2つの誤差の存在下でのPDNのSパラメータ行列を用いて、私のPDN自己インピーダンスを定義しました。e項は私のS₁₁/S₂₂誤差であり、f項は私のS₂₁/S₁₂誤差です。相互性が成り立つと仮定すると（S_ij = S_ji）、次のようになります：

自己インピーダンスの重要な側面に焦点を当てるために、PDNが相互にかつ損失なしであると仮定しましょう。この場合、SパラメータはS₂₁ = S₁₂ = 0 および S₁₁ = S₂₂であり、上記の方程式はS₁₁と自己インピーダンスの間の馴染みのある変換に簡略化されます。上で定義された高誤差と低誤差の差を取ることで、Z₁₁の誤差の良い近似値を得ることができます。そして、二乗誤差項をゼロに設定する（つまり、e² << e）ことで、S₁₁の測定誤差によるPDNインピーダンスの誤差について以下の単純な式が得られます：

この例では、仮想の損失のない相互PDNにおいてS₁₁ = -0.9としましょう。この場合、Sパラメータ測定の1％の誤差がZ₁₁の10.5％の誤差に変わります。これは誤差の10倍の増幅です！

これは大きな間違いのように思えるかもしれませんが、この分野の他の専門家からのコメントと一致しています。特に、Keysightのこの研究の8ページにあるコメントに注目してください、Sパラメータ測定の1〜2％の誤差がPDNインピーダンス測定で300〜400 mOhmsになると述べられています。正気を保つために、この例に戻しましょう。真のインピーダンスが約10 mOhmsで、標準のVNAポートインピーダンスが50 Ohmsを使用される場合、S₁₁ = -0.9996であり、Z₁₁の測定誤差は250％になります。入力ポートでのこのような大きなインピーダンスの不一致は、Sパラメータを使用してPDNインピーダンスを決定しようとするときに非常に望ましくありません。

小さいS11を持つ2ポートPDNの誤差

さて、参照インピーダンスをPDNインピーダンスに非常に近づけたと仮定しましょう。その結果、S₁₁ = 0.1で、最大1%の誤差が生じます。この場合、Z₁₁の誤差はわずか2.02%になります。真のPDNインピーダンスに非常に近いマッチングを持つ場合、計算されたZ₁₁値の誤差が減少します。実際、この例での重要なS11値は、PDNインピーダンスの誤差がSパラメータ測定の誤差と完全に一致する場合、S₁₁ = 0.268です。

これは、2ポートPDNのインピーダンスパラメータを計算する際に、大きなインピーダンスの不一致がSパラメータの誤差測定を増幅することを示しています。これは周波数依存ですが、このプロセスは各周波数測定で適用されます。ある周波数では非常に正確なインピーダンスを持つことができますが、他の周波数では結果が非常に不正確になる可能性があります。これは、一般的なSからZパラメータへの変換を使用してNポートネットワークに拡張することができます。

NポートPDNの誤差

Nポート問題は解析的に扱うのがはるかに難しく、Nポートネットワークの一般的なZパラメータ行列（自己インピーダンスと伝達インピーダンスを含む）を使用する必要があります。一般に、上記で詳述したプロセスを実行する必要がありますが、Nポートネットワークの一般的なSからZパラメータへの変換行列を使用します：

Sパラメータの誤差をZパラメータの誤差に関連付ける式を導出するだけで大量の代数計算が必要です。したがって、Sパラメータの測定値とポートインピーダンスのセットに対してこのような行列を解く問題は、MatlabやMathematicaを使用して解決するのが最適です。ここでのポイントは、誤差が二乗された(1 - S)項の積に反比例するということです。したがって、N出力ポートのPDNは、誤差を低く保つために参照インピーダンスをNの因子でおおよそ減少させる必要がある状況になります。

どの参照インピーダンスを使用すべきか？

上記の議論から、NポートPDNのSパラメータを測定するためにVNAを使用している場合、可能な限りインピーダンスのミスマッチを小さくしたいと考えるでしょう。そして、これらの測定値を使用してインピーダンス行列を決定します。これにより、与えられたSパラメータ測定誤差に対するZパラメータの誤差の大きさを最小限にすることができます。PDNのインピーダンスがmオームレベルであるため、参照インピーダンスもmオームレベルであるべきで、通常の商用VNAで設定されている50オームレベルではありません。

最後に、Sパラメータの参照をPDNのインピーダンスに近づけるために再正規化を適用する場合（たとえば50mオームまで下げる場合）、誤差項も非線形に伝播します。なぜなら、正規化にはSパラメータの乗算操作が関与するからです。言い換えると、計算するZパラメータ値の誤差を増幅させる可能性のある、二乗されたSパラメータ値がいくつか存在するかもしれません。これは読者に任せますが、以下の方程式を適用して、上述したプロセスでZパラメータ値を計算してください。

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