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銅箔の粗さが信号とインピーダンスに与える影響

工学、特に電気工学と機械工学の歴史は、途中で役立たずになった近似値で溢れています。これらの近似値は一時期はうまく機能し、数十年にわたって技術を大きく前進させました。しかし、どんなモデルにも適用可能な限界があり、典型的なRLCG伝送線モデルや周波数非依存のインピーダンス方程式も例外ではありません。

では、これらの方程式の問題は何でしょうか？上級のPCBエンジニアや製造業者はこれらを頻繁に引用し、それらを福音のように見せかけますが、多くの複雑な技術概念と同様に、これらのモデルや方程式はしばしば十分な文脈なしで伝えられます。ここで物理学が醜い顔を出し、モデルが引き続き適用可能であるためには変更が必要だと告げます。銅箔の粗さモデリングや関連する伝送線インピーダンスシミュレーションは、標準モデルが信号の振る舞いを正しく扱えない多くの領域のうちの一つです。

銅箔の粗さがインピーダンスと損失にどのように影響するか

伝送線インピーダンスのRLGCモデルを見ると、インピーダンスに寄与する4つのパラメータがあります（すべて標準単位/単位長さで表されます）：

• R：伝送線の直流抵抗で、線の導電率に依存します。
• L：伝送線のループインダクタンスで、純粋に線の幾何学的形状の関数として取られます。
• C：線の全容量で、これも線の幾何学的形状の関数として取られます。
• G：基板の導電率で、特定の周波数での損失角と任意の寄生直流導電率をモデル化することを意味します。

業界の多くの人があなたに教えてくれないことがあります：これらのパラメーターはすべて周波数依存であり、抵抗項を含みます！「ちょっと待って、EE101のクラスでみんなが抵抗は周波数に依存しないと言っていたけど、どういうこと？」と思っているかもしれません。

2014年にさかのぼると思いますが、IEEE P802.3bj タスクフォースが初めて100 Gb/s Ethernet PHYインターコネクトの因果モデルを受け入れる提案を提示されました。このモデルでは、上記のインダクタンス、容量、抵抗の項が周波数依存性を含むように修正されました。基板の分散を考慮することで容量項は容易に修正されました。では、抵抗とインダクタンスはどうでしょうか？高周波での導体内のスキン効果により、周波数による抵抗の依存性が生じます。

スキン効果は、電流が高周波で振動するときに、導体の表面近くに電流が集中する現象を指します。完全に滑らかな導体では、スキン効果はGHz周波数に達するまでごくわずかです。しかし、銅の粗さが存在する場合、特定の周波数範囲内で損失がかなり大きくなることがあります。スキン効果は線路のインダクタンスも増加させます。全体的な効果は、標準のRLGCモデルで予測される値から線路インピーダンスの変更です。

基板の分散を考慮しない場合でも、等価回路項の分散は常に理想的なインピーダンスからの逸脱を引き起こします。マイクロ波やミリ波領域に深く入ると、インターコネクトを設計する際に銅の粗さを考慮する必要があります。

Altium Designerのインピーダンスモデリング機能を使用して上記の方程式に銅の粗さ補正を含める方法を見たい場合は、この記事をご覧ください。それ以外の場合は、銅箔の粗さの標準モデルについてさらに学ぶために読み進めてください。

銅箔の粗さと因果関係のモデリング

銅箔の粗さをモデル化するには、統合電磁場ソルバーは必要ありません。誤解しないでください、これが最も正確な結果をもたらす可能性が高いですが、間違いなく過剰と考えられるでしょう。代わりに、設計ソフトウェアは、受け入れられた因果的PCB伝送線モデルに粗さ補正係数を含めるだけで済みます。「因果的」と言うとき、ドライバーがインターコネクトを通じて信号を送信した後でないと、信号応答が見られないというタイプの振る舞いを指しています。これは明らかに聞こえるかもしれませんが、高速/高周波信号モデルにおける因果関係の違反は一般的です。

では、なぜPCBインターコネクトモデルで因果関係の違反が発生するのでしょうか？そのことについて、他のどのモデルでもなぜ発生するのでしょうか？これは、さまざまな物理的特性間の関係の誤ったモデリングによるものです。電子機器に関して言えば、因果関係が現実の正しい記述であると受け入れるならば、PCB基板と導体の物理的特性間の関係を、物理的特性の実部と虚部に対するクラマース・クローニッヒ関係を使用して構築できます。

FR4や他のPCB基板の分散に精通しているなら、分散を記述するためのワイドバンド・デバイモデルやローレンツモデルについて知っているべきです。このモデルは実際には、基板の誘電率の実部と虚部の間のクラマース・クローニッグ関係から導出されています：

誘電率の実部を一連の周波数で知っていれば、虚部を計算でき、その逆も同様です。この同じ技術がPCBの銅箔の粗さに適用されます。これはかなり数学的に複雑になり、私自身の伝送線最適化に関する研究の一部を形成しています。銅箔の粗さをモデリングするのにクラマース・クローニッグ関係がどのように使用されているかを見たい場合は、Signal Integrity Journalのこの記事

をご覧ください。この演習の結果は、粗い銅で覆われたラミネートの誘電率が基材の値からわずかに増加することです。これは、データシート上の報告されたDk値に必ずしも考慮されていないもので、これらは複数の測定から抽出され、粗さに関係なく、ベンダーの製品ラインの任意のラミネートに適用されます。粗さパラメータを知っていれば、ベルト・シモノビッチのよく知られた結果を使用して計算できます：

PCBレイアウトにおける銅箔の粗さの考慮

昔は、インターコネクトを設計する際に銅の粗さを手動で考慮する必要がありました。つまり、粗さ補正係数を手動で計算し、それを標準のRLGCインピーダンス方程式に手動で追加する必要があったのです。インターコネクトのインピーダンス計算に粗さを含めるための標準モデルには、ハマーステッドモデルとキャノンボール・ヒューレイモデルがありますが、他にもモデルは存在します。インピーダンス計算後者のモデルは、下記のSEM画像に示されるように、雪玉またはキャノンボールの配置として粗さを考慮します。

この幾何学とモデルに基づき、上記のインピーダンス方程式のスキン抵抗に因果関係のある粗さ補正係数を適用します。これは次のように機能変換で簡単に定義できます：

言い換えると、スキン抵抗をこの式に記載されている値に置き換えるだけです。

残された作業は、Kの値を決定することだけです。Cannonball-HurayモデルとHammerstadモデルの両方がこの定義を提供します。Kの値は、これらのモデルにおいて、周波数、銅粒子の寸法、銅膜の直流導電率、そしてプロファイロメーターや原子間力顕微鏡（AFM）で測定される粗さの関数となります。これらのモデルを実践で見るには、このトピックに関する元のDesignCon論文の8ページ目（ページ下部の表の行3）をご覧ください。

銅の粗さに取り組む他の研究者と同様に、粗さ関数Kを定義するために、工程固有のデータ表を使用することが最善のアプローチだと主張します。これは、理論的に滑らかな導体との比較による一連の皮膚抵抗測定を使用して行われ、この記事の範囲を超えるものであり、製造業者によって採用されるでしょう。連続する周波数値でそのような数値データを得ることができれば、上記の方程式で任意の周波数での実際の皮膚抵抗を計算するためにそれを使用できます。

銅の粗さとインピーダンスは実際にどのように相関しているのか？

インピーダンスプロファイルの式が得られたら、この式が信号伝播にどのように影響するかを考える必要があります。これはSパラメータを使用して視覚化されます。特定のインターコネクトについて、粗い線と滑らかな線を比較したときに、リターンロスと挿入ロスのスペクトラムで損失挙動の違いが明確に見られます。これらを直接測定することもできますし、インピーダンス関数を持っていると仮定した場合、入力インピーダンスと減衰値を使用してSパラメータを計算することもできます。ABCDパラメータを使用することを好みます。これは、伝送線で扱いやすいからです。

以下の例は、私がIEEEおよびEDICONのセミナーで生成して発表したいくつかのシミュレートされたSパラメータを示しています。これらの線は、任意の信号標準に対して公差内で50オーム近くで名目上機能するとしても、リターンロスと挿入ロスの違いが明確に見えます。

TRANSLATE: これらの違いは重要ですか？答えは、インターコネクトの長さと周波数によります。低周波数では、違いはあまり顕著ではないので、それほど重要ではありません。インターコネクトの長さも重要です。インターコネクトが長い場合、損失は挿入損失によって支配され、高周波数での損失の違いが大きくなります（上記のグラフのdB/in. 単位に注目してください）。短いインターコネクトでは、リターンロスが信号の挙動を支配し、伝送線の入力と出力の両方でそうなります。これは、高周波数でより重要になります。なぜなら、最終的には負荷容量が支配的になり、広帯域終端が適切に適用されていても、負荷からの反射が大きくなるからです。

Altium Designer®の高度なPCB設計機能は、上記の高度な因果関係メソッドを使用してスタックアップに銅の粗さを組み込むようになりました。各層の銅箔の粗さの影響を手動で計算する必要はありません。この機能はAltium Designerの標準的なルーティングツールと統合されており、非常に正確なインターコネクトの特性評価と計算を提供します。Altium Designerで銅の粗さをモデリングする方法についてもっと学ぶために、この記事をご覧ください。

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