PCBトレースのインダクタンス計算：どれくらい広いのが過ぎるのか？

すべての設計ルールがすべての状況に適用可能なわけではなく、多くの場合、文脈なしで伝えられます。トレースのサイズ設定に関する特定のルールは、可能な限りトレースを広くすることを常に選択することです。私が見てきた多くの経験則とは異なり、この特定のトレースルールにはいくらかの根拠があります。しかし、トレースのインピーダンスを制御し、同時にリンギングを減らす必要がある場合、トレースの幅を慎重に制御して、伝送線が特定の許容範囲内で望ましいインピーダンスを持つようにする必要があります。トレースのサイズ設定とインピーダンスを許容範囲内に保つ方法について、基本的なPCBトレースのインダクタンスの公式を見てみましょう。

PCBトレースのインダクタンス：インピーダンス対トレース幅の公式

以前の記事で、表面マイクロストリップおよび対称ストリップライントレースについてこの点を取り上げました。マイクロストリップトレースの場合、IPC-2141の公式は特定のインピーダンス範囲内でのみ非常に正確です。マイクロストリップトレースのインピーダンスを決定するためには、より正確なワデルの方程式を使用すべきです：

同様の方程式は、対称ストリップライン、埋め込みマイクロストリップ、共面導波路、オフセット/非対称ストリップラインについても開発されています。今のところ、マイクロストリップについての議論に限定しますが、他のトレース形状についても、ここで概説するプロセスに従うことができます。上記の方程式は、他のすべての信号トレースから隔離された単一端末の表面マイクロストリップに適用されることに注意してください。

今、上記の方程式を使用して、指定されたトレースインピーダンス値に対して単位長さあたりの最小トレースインダクタンスを提供するw値を決定します。単位長さあたりのインダクタンスを最小限にする必要性は非常に重要です。なぜなら、任意の過渡リンギング信号（ここでは反射について話しているわけではありません）の減衰定数は、PCBトレースのインダクタンスに反比例するからです。 

PCBトレースのインダクタンスとインピーダンスの制御

上記の方程式を見ると、トレースとPCBトレースインダクタのサイズを決定する際に考慮すべき3つの重要な幾何学的パラメータがあることがわかります。実際のボードでは、hの値にいくつかの制約があり、これはボードと層の厚さに依存します。また、トレースの厚さにも制限があり、これは使用する銅の重さに比例します。これは、層の厚さとボードの銅の重さを制約として考慮しながら、上記の方程式を最適化問題で使用できることを意味します。

ここで、特定の(t/h)値、基板の誘電率、および所望のインピーダンス値に対して決定する重要なパラメータは(w/h)です。これらの値の組み合わせで特性インピーダンスの方程式を解くことができる組み合わせは無限にあります。過渡的なリンギングに対して最大レベルの減衰を提供したい場合は、単位長さあたりのインダクタンスを最小化する(w/h)の値を決定する必要があります。これは、特定の(t/h)値、基板の誘電率、および所望のインピーダンス値に対して、有効誘電率を最小化する問題として再定義することができます。単位長さあたりのインダクタンス、単位長さあたりのキャパシタンス、基板の誘電率、およびインピーダンスは、このPCBトレースのインダクタンス式で次のように関連しています：

この問題をグラフィカルに、または連続した手動計算によって解決しようとすることは確かに可能です。導関数から臨界点を計算することによってこれを試みる場合、(t/h)とDkのさまざまな値に対して数値的に解かなければならない超越方程式のセット（一つは区分的で、もう一つは連続的です！）に終わるでしょう。これは原理的には解ける問題ですが、有効誘電率の非線形区分的性質と、関連する幾何学的パラメータが三つあるという事実のため、明らかに解くことが困難です。

このタイプの問題を解決する最良の選択肢は、反復最適化アルゴリズムを使用して、PCBトレースの単位長さあたりのインダクタンスを最小限にする(w/h)と(t/h)の値を決定することです。このタイプの問題は、勾配降下法、進化アルゴリズム、クーン・タッカー法、または他の非線形最適化アルゴリズムを使用して簡単に解決できます。これにより、(w/h)の値に実用的な上限と下限を定義することができます。また、(t/h)の値に制限を設け、この比率を最適化変数として使用することもできます。

幸いにも、この問題はExcelのソルバーツールを使って簡単に解決できます。私は、Waddellの方程式とPCBインダクタの方程式を使って、以下の最小化問題を解くシンプルなスプレッドシートを作成しました。以下の方程式では、aとbは、それぞれ(w/h)と(t/h)の実用的な最大値を定義する定数であり、これらは設計者によって選択することができます：

このPCBトレースインダクタンスの公式では、トレースインピーダンスを一定に保ちながら、L（上記で定義）を最小化する(w/h)と(t/h)の値を決定することが目標です。もしご希望であれば、銅の重さから特定のtの値を設定し、与えられたt値（層の厚さ）に対してhの値を設計者が選択することができます。

例1：銅の重さと層の厚さを変える

この最初の例では、銅の重さと層の厚さ（つまり、比率の値（t/h））を最適化変数として許可することにします。基板の誘電率定数はDk = 4です。上記の制約について、a = 5およびb = 2を選択しました。私の結果では、（w/h）= 1.572332および（t/h）= 1.213156のとき、最小インダクタンスはメートルあたり290 nHであることがわかります。

結果を解釈する際、トレース幅を無限に増やすことができず、トレースインピーダンスを変更せずにはいられないことは明らかです。最適なトレース幅があり、伝送線を最適化します。設計者が選択する必要がある残りのパラメーターは、層の厚さhです。これが設計者によって選択されると、上記の計算された比率からwおよびtの値を簡単に決定できます。

例2：1 oz/sq. ft. 銅の重さ、4層ボード

この例では、より実践的な状況を示しています。1オンス/平方フィートの銅重量（トレース厚さt = 0.035 mm）を持つ基板と、等しいサイズの層を持つ標準的な4層基板（h = 0.393 mm）に対して、上記の最適化問題を実行しました。実際の誘電率定数Dk = 4です。tとhの値を選んだので、比率（t/h）はもはや最適化変数ではありません。なぜなら（t/h）= 0.089172だからです。（w/h）の制約については、a = 5を選びました。私の結果では、（w/h）= 1.92445のとき、最小インダクタンスはメーターあたり292 nHです。私の層の厚さが0.393 mmであるため、この特定のPCBトレースインダクタンス値に必要なトレース幅はw = 0.7563 mm（約30ミル）です。

常識チェックとして、この方法で決定されたトレースの全インダクタンスを素早く計算し、典型的な値と比較することができます。約1インチのトレースのインダクタンスは通常、5から10 nHと見積もられています。このモデルで設計した最適化されたトレースの場合、1インチの長さに対する全インダクタンスは7.4168 nHであり、小さなPCBトレースで通常測定される範囲内です。さらに、IPC 2152のノモグラフを見ると、このトレースで与えられた電流に対する温度上昇を直ちに決定することができます。

このスプレッドシートのコピーが欲しい場合は、contact@nwengineeringllc.comまでリクエストを送ってください。Excelの組み込み進化的最適化アルゴリズムは収束するまでにかなりの時間がかかりますが、組み込みのGRG非線形アルゴリズムよりもわずかに正確な結果を提供します。この方法は他のトレースの形状に簡単に適応させ、同様の結果を得ることができます。

正確である必要はありますか？

簡単な答えは「いいえ」、幅が正確である必要はありません。必要な精度レベルは、特定の信号標準や相互接続設計で許容される特性インピーダンスの偏差に依存します。これを逆にすると、製造業者から受け入れることができるDkの変動にも依存します。上記の方法論はDk値を仮定しており、インピーダンスに許容範囲を適用していませんが、製造業者が特定のDk値の材料を用意していない場合、異なるDk値をレイヤースタックで受け入れる必要があるかもしれません。

この問題に対処するために、2つの可能なアプローチがあります：

1. Dk値の可能な範囲をサイクルし、Dk範囲の最小および最大幅を決定します。
2. 許容可能なインピーダンスの上限値と下限値を設定し、それぞれについてオプティマイザーを実行して、許容可能なトレース幅の範囲を取得します。

この分析は、幅広い材料と多様な製造業者でボードを製造できるようにするために重要です。製造前に幅とDkの許容範囲を知っていれば、製造業者がスタックアップを変更しようとした場合に、迅速に製造提案を評価できるでしょう。

Altium Designer®のルーティングおよびインピーダンス計算ツールを使用すると、レイヤースタックマネージャーに組み込まれたフィールドソルバーのおかげで、必要なPCBトレースのインダクタンスと幅を維持できます。このツールセットは、ルーティング機能および設計ルールと直接連携し、ボード全体で一貫したインピーダンスを維持しながらトレース幅の制約を満たすことができます。また、高速設計用のさまざまな長さ/遅延チューニング機能にもアクセスできます。

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